多元和理性的花纹 - Matlab＆Simulink -Mathworks Austra万博1manbetxlia

多变量和理性花纹

多变量花键

可以通过张量产物构建体从单变量的花纹获得多变量细条。例如，B形中的琐碎样条由

$F （（ X ，，，， y ，，，， z ） = \sum_{你 = 1}^{你} \sum_{v = 1}^{v} \sum_{w = 1}^{w} b_{你，，，， k} （（ X ） b_{v ，，，， l} （（ y ） b_{w ，，，， m} （（ z ） {一种}_{你，，，， v ，，，， w}$

和b_英国，b_v，l，b_W，m单变量B-Splines。相应地，该样条是秩序的k在X，秩序l在y，秩序m在z。同样，张量产生样条的PPForm由每个变量中的断裂序列指定，并且对于每个超矩形，因此指定了系数阵列。此外，与单变量的情况一样，系数可以是向量，通常是2个向量或3个向量，使得例如表示ℜ中的某些表面是可能的。³。

一个非常不同的双变量样条是薄板样条。这是表格的函数

$F （（ X ） = \sum_{j = 1}^{n - 3} ψ （（ X - C_{j} ） {一种}_{j} + X （（ 1 ） {一种}_{n - 2} + X （（ 2 ） {一种}_{n - 1} + {一种}_{n}$

与ψ（X）= |X|²日志|X|²薄板样条基函数，|X|表示矢量的欧几里得长度X。为了方便起见，在这里表示自变量X，但X现在是向量其两个组成部分，X（1）和X（2），扮演两个自变量的作用，较早表示X和y。相应地，这些站点C_j是ℜ²。

薄板花键作为双变量出现平滑的花键，意味着薄板样条最小化

$p \sum_{一世 = 1}^{n - 3} | y_{一世} - F C_{一世}^{2} | + （（ 1 - p ） \int （（ {| d_{1} d_{1} F |}^{2} + 2 {| d_{1} d_{2} F |}^{2} + {| d_{2} d_{2} F |}^{2} ）$

在所有足够光滑的功能上F。在这里，y_一世是数据站点给出的数据值C_一世，，，，p是平滑参数，并且d_jF表示部分衍生物F关于X（（j）。积分被占用整个ℜ²。上求的限制，n–3反映了以下事实：薄板样条的3度与多项式部分有关。

薄板花键是构象的函数，这意味着，直到某些多项式项，它们是一个任意或散射的加权总和，它是一个固定函数ψ的ψ（·-c）。这个所谓的薄板样条的基础功能是特殊的，因为它是径向对称的，这意味着ψ（X）仅取决于欧几里得长度，|X|，X。因此，薄板条纹也称为rbfs或径向基函数。看构建和使用STFORM花纹了解更多信息。

理性的花纹

一种理性样条是表格的任何功能r（（X）=s（（X）/w（（X），既s和w花键，尤其是w标量值的样条，而s通常是矢量值。

理性的花键具有吸引力，因为可以将各种基本的几何形状（如圆锥形部分）描述为理性样条的范围。例如，可以通过仅有两个片段的二次理性样条来描述一个圆圈。

在此工具箱中，还有其他要求s和w具有相同的形式，甚至相同的顺序，并具有相同的结或断裂序列。这使得可以存储理性样条r作为普通的样条r谁的价值X是矢量[s（（X）；w（（X）。取决于这两个花条是在B形式中还是PPFORM中，此处称为RBForm或此类有理样条的RPForm。

很容易获得r从r。例如，如果v是价值r在X，然后v（1：end-1）/v（end）是价值r在X。作为另一个例子，请考虑获得衍生物r从那些r。因为s=WR，莱布尼兹的规则告诉我们

$d^{m} s = \sum_{j = 0}^{m} （（ \begin{matrix} m \\ j \end{matrix} ） d^{j} w d^{m - j} r$

在哪里d^ms这m衍生物的s。

因此，如果v（：，j）包含d^j–1r（（X），j= 1 ...m+ 1，然后

$（（（（（（ v （（ 1 ：结尾 - 1 ，，，， m + 1 ） - \sum_{j = 1}^{m} （（ \begin{matrix} m \\ j \end{matrix} ） v （（结尾，，，， j + 1 ） v （（ 1 ：结尾 - 1 ，，，， j + 1 ）） / v （（结尾，，，， 1 ））$

提供的价值d^mr（（X）。

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