线性混合效应模型的参数估计- MATLAB & Simulink - MathWorks澳大利亚万博1manbetx

线性混合效应模型的参数估计

线性混合效应模型的形式是

$y ＝ \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}} ，$

在哪里

y是n-by-1响应向量，和n是观察数。
X是一个n——- - - - - -p固定效果设计矩阵。
β是一个p-by-1固定效果向量。
Z是一个n——- - - - - -问随机效应设计矩阵。
b是一个问-by-1随机效应向量。
ε是n-乘1的观测误差向量。

随机效应向量，b，误差向量，ε，假设具有以下独立的先验分布:

$\begin{array}{l} b ～ N （ 0 ， σ^{2} D （ θ ））， \\ ε ～ N （ 0 ， σ {}^{2}我）， \end{array}$

在哪里D由方差分量向量参数化的对称正半正定矩阵θ，我是一个n——- - - - - -n单位矩阵，和σ²是误差方差。

在该模型中，估计的参数是固定效应系数β和方差分量θ而且σ²．线性混合效应模型中最常用的两种参数估计方法是极大似然法和限制性极大似然法。

最大似然(ML)

最大似然估计既包括回归系数也包括方差分量，即似然函数中的固定效应项和随机效应项。

对于上述定义的线性混合效应模型，响应变量的条件响应y鉴于β，b，θ、σ²是

$y | b ， β ， θ ， σ^{2} ～ N （ X β + Z b ， σ^{2} 我_{n} ）．$

的可能性y鉴于β，θ、σ²是

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ） P （ b | θ ， σ^{2} ） d b ，$

在哪里

$\begin{array}{l} P （ b | θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D （ θ ） |}^{\frac{1}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b ｝而且 \\ P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{n}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ）｝． \end{array}$

假设Λ(θ的下三角Cholesky因子D（θ)和Δ(θ)是Λ(θ)．然后,

$D {（ θ ）}^{- 1} ＝ Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ）．$

定义

$r^{2} （ β ， b ， θ ）＝ b^{T} Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ） b + {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ），$

假设b^＊的值b满足

${\frac{\partial r^{2} （ β ， b ， θ ）}{\partial b} |}_{b^{＊}} ＝ 0$

对于给定β而且θ．则似然函数为

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ {（ 2 π σ^{2} ）}^{- \frac{n}{2}} {| D （ θ ） |}^{- \frac{1}{2}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} （ β ， b^{＊} （ β ）， θ ）｝ \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} ．$

P (y |β，θ,σ²)首先对的最大值β和σ²对于一个给定的θ．因此优化的解决方案万博尤文图斯 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 而且 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ 的函数θ．把这些解代入似然函数万博尤文图斯 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ ．这个表达式叫做剖面似然β和σ²已经被侧写出来了。 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ 是一个函数θ，然后算法对其进行优化θ．一旦找到的最优估计值θ的估计。β和σ²是由 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 而且 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ ．

ML方法处理β作为固定但未知的量时估计方差分量，但不考虑自由度损失估计的固定效应。这导致ML估计有较小的偏差。然而，ML相对于REML的一个优点是可以比较两个模型的固定和随机效应项。另一方面，如果使用REML估计参数，则只能比较两个模型，它们嵌套在随机效应项中，具有相同的固定效应设计。

限制极大似然(REML)

限制极大似然估计只包括方差分量，即参数化线性混合效应模型中的随机效应项的参数。β在第二步中估计。假设一个均匀的不恰当的先验分布β对似然P(y|β，θ,σ²)就β结果的限制性似然P(y|θ,σ²)．也就是说,

$P （ y | θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） P （ β ） d β ＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） d β ．$

算法首先进行概要分析 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ 最大化剩下的目标函数θ找到 ${\overset{＾}{θ}}_{R}$ ．然后根据σ求极限似然值的最大值²找到 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ ．然后，它估计β通过求它关于后验分布的期望值

$P （ β | y ， {\overset{＾}{θ}}_{R} ， {\overset{＾}{σ}}_{R}^{2} ）．$

REML通过估计固定效应来解释自由度损失，并对随机效应方差进行偏倚较小的估计。的估计θ和σ²的值不变吗β与ML估计相比，对数据中的异常值不太敏感。但是，如果使用REML来估计参数，则只能比较具有相同固定效应设计矩阵并嵌套在随机效应项中的两个模型。

参考文献

[1]平赫里奥，j.c.和d.m.贝茨。S和S- plus中的混合效应模型．统计与计算系列，施普林格，2004。

哈里哈兰和j·h·罗杰斯。"层级线性模型的估计方法"教育数据的多层次建模(A. A. Connell和D. B. McCoach主编)。夏洛特，北卡罗来纳州:信息时代出版公司，2008年。

[3]劳登布什，S. W.和A. S.布莱克。分层线性模型:应用与数据分析方法加州千橡市:Sage出版社，2002年。

[4] Hox, J。多层次分析、技术与应用．Lawrence Erlbaum Associates, Inc, 2002年。

[5]斯奈德杰，T.和R.博斯克。多层次分析．加州千橡市:Sage出版社，1999年。

McCulloch, c.e.， R. S. Shayle, J. M. Neuhaus。广义，线性和混合模型．威利,2008年。

另请参阅

LinearMixedModel|fitlme|fitlmematrix