定点状态空间系统的极限环检测
这个例子展示了如何分析一个不动点状态空间系统来检测极限环。
这个例子着重于检测由于零输入溢出而导致的大规模极限环，并强调了足以防止这种振荡的条件。
引用:
[1] Richard A. Roberts和Clifford T. Mullis，“数字信号处理”，Addison-Wesley, Reading，马萨诸塞州，1987,ISBN 0-201-16350-0，章节9.3。
[2] S. K. Mitra，“数字信号处理:基于计算机的方法”，mcgrao - hill，纽约，1998,ISBN 0-07-042953-7。
选择系统的状态空间表示。
通过观察状态转移矩阵A的特征值的大小小于1，我们观察到系统是稳定的。
originalFormat = get (0,“格式”）;格式A = [0 1;-．5 1];B = [0;1);C = [1 0];D = 0;eig (A)
Ans = 0.5000 + 0.5000i
滤波器的实现
类型(fullfile (matlabroot“工具箱”，“定点”，“fidemos”，' + fidemo '，“fisisostatespacefilter.m”）)
函数[y, z] = fisisostatespacefilter (A, B, C, D, x, z) % fisisostatespacefilter单,对于statespace过滤器% [y, Zf] = fisisostatespacefilter (A, B, C, D, x, Zi)过滤数据x %的初始条件子矩阵定义的状态滤波器%,B, C, D .输出y和最终条件Zf返回。% Copyright 2004-2011 The MathWorks, Inc. y = x;z(: 2:长度(x) + 1) = 0;for k=1:length(x) y(k) = C*z(:，k) + D*x(k);z(:，k+1) = A*z(:，k) + B*x(k);结束
浮点型过滤器
创建一个浮点滤波器并观察状态的轨迹。
首先，我们在单位平方内选择随机状态，并观察它们与状态转移矩阵A相乘一步后的投影位置。
rng (“默认”）;CLF x1 = [-1 1 1 -1];Y1 = [-1 -1 1 -1];情节(x1, y1,“c”)轴([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);轴广场；网格;持有在画出正方形的投影p = * (x1, y1);情节(p(1:)、p (2:)“r”r = 2*rand(2,1000)-1;公关= * r;情节(公关(1:),公关(2:)“。”）
随时间的随机初始状态
以随机初始状态驱动滤波器，归一化到单元平方内，输入全部为零，运行滤波器。
注意，有些状态会游离在单位方格外，最终在原点z=[0;0]处趋于零状态。
x = 0 (10, 1);子= (0,0);Q =量化器([16 15]);为K =1:20 y = x;子(:)= randquant (q,大小(A, 1), 1);(y, zf) = fidemo.fisisostatespacefilter (A, B, C, D, x, zi);情节(zf (1:), zf (2:),“去,”，“markersize”8);结束标题(“双精度状态序列图”）;包含(“z1”）;ylabel (“z2”）
状态轨迹
因为本征值的幅值小于1，系统是稳定的，所有初始状态在输入为零的情况下绕回原点。然而，特征值并不能说明状态轨迹的全部，就像在这个例子中，在状态开始收缩之前，它们首先向外投射。
A的奇异值可以更好地指示整个状态轨迹。最大奇异值约为1.46，表示与相应奇异向量对齐的状态将被投影到远离原点的地方。
圣言(A)
Ans = 1.4604 0.3424
定点过滤器创建
创建一个定点过滤器并检查极限环。
滤波器的MATLAB®代码保持不变。它变成了一个定点过滤器因为我们用定点输入驱动它。
为了说明溢出振荡，我们选择将溢出的乘积和和数据类型。
rng (“默认”）;F = fimath (“OverflowAction”，“包装”，．．．“ProductMode”，“SpecifyPrecision”，．．．“ProductWordLength”, 16岁,“ProductFractionLength”15岁的．．．“SumMode”，“SpecifyPrecision”，．．．“SumWordLength”, 16岁,“SumFractionLength”15);一个= fi (,“fimath”B = F (B, F)“fimath”C = fi(C, F)“fimath”，F) D = fi(D，“fimath”F)
= 0 1.0000 -0.5000 1.0000 DataTypeMode:定点:二进制扩展Signedness:签了字:16 FractionLength: 14 RoundingMethod:最近OverflowAction:包装ProductMode: SpecifyPrecision ProductWordLength: 16 ProductFractionLength: 15 SumMode: SpecifyPrecision SumWordLength: 16 SumFractionLength: 15 CastBeforeSum:真正的B = 0 1 DataTypeMode:定点:二进制扩展Signedness:签了字:16 FractionLength: 14 RoundingMethod:最近OverflowAction:包装ProductMode: SpecifyPrecision ProductWordLength: 16 ProductFractionLength: 15 SumMode: SpecifyPrecision SumWordLength: 16 SumFractionLength: 15 CastBeforeSum:真正的C = 1 0 DataTypeMode:定点:二进制点缩放Signedness:签了字:16 FractionLength: 14 RoundingMethod:最近OverflowAction:包装ProductMode: SpecifyPrecision ProductWordLength: 16 ProductFractionLength: 15 SumMode: SpecifyPrecision SumWordLength: 16 SumFractionLength: 15 CastBeforeSum:真正的D = 0 DataTypeMode:定点:二进制点缩放signediness: Signed WordLength: 16 FractionLength: 15 RoundingMethod: Nearest OverflowAction: Wrap ProductMode: specificprecision ProductWordLength: 16 ProductFractionLength: 15 SumMode: specificprecision SumWordLength: 16 SumFractionLength: 15 CastBeforeSum: true
在定点绘制正方形的投影
同样，我们在单位方框中选择随机状态，并观察它们与状态转移矩阵A相乘一步后的投影位置。不同之处在于，这个时间矩阵A是定点的。
注意，之前以浮点形式向正方形外投射的三角形，现在被包裹回正方形的内部。
CLF r = 2*rand(2,1000)-1;公关= * r;地块([-1 1 1 -1]，[-1 -1 1 -1]，“c”)轴([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);轴广场；网格;持有在情节(公关(1:),公关(2:)“。”）
执行定点筛选。
这段代码与前面的代码的唯一区别是，我们使用定点数据类型来驱动它。
x = fi(0(10, 1), 1, 16日15日“fimath”F);子= fi(0, 0, 1, 16日15日“fimath”F);q = assignmentquantizer(子);e =双(eps(子));rng (“默认”）;为K =1:20 y = x;子(:)= randquant (q,大小(A, 1), 1);(y, zf) = fidemo.fisisostatespacefilter (A, B, C, D, x, zi);如果abs(双(zf(结束)))> 0.5,c =“ro - - - - - -”；其他的c =“去,”；结束情节(zf (1:), zf (2:), c,“markersize”8);结束标题(“定点状态序列图”）;包含(“z1”）;ylabel (“z2”）
对其他随机选择的初始状态进行这种尝试表明，一旦一种状态进入其中一个三角形区域，那么它就会被投射到另一个三角形区域，来回移动，永远不会逃脱。
防止溢出极限循环的充分条件
有两个充分条件可以防止系统的溢出极限循环:
系统稳定，即，abs(eig(A))<1，
矩阵A是正规的，即A'*A = A*A'。
注意，对于当前表示，第二个条件不成立。
应用相似变换创建一个正常的a
我们现在对原始系统应用一个相似变换，它将创建一个正常的状态转移矩阵A2。
T = [-2 0;-1 1];Tinv =(-。5 0; -。5 1];A2 = Tinv * * T;B2 B = Tinv *;C2 = C * T;D2 = D;
相似变换保持特征值，使变换后的系统传递函数保持不变。然而，变换后的状态变换矩阵A2是正常的。
检查变换系统的极限环。
绘制正规形式系统的平方的投影
现在在单位平方内的随机初始状态的投影都是一致收缩的。这是状态转移矩阵A2正常的结果。这些状态也逆时针旋转90度。
CLF r = 2*rand(2,1000)-1;公关= A2 * r;地块([-1 1 1 -1]，[-1 -1 1 -1]，“c”)轴([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);轴广场；网格;持有在情节(公关(1:),公关(2:)“。”）
绘制状态序列
再次为相同的初始状态绘制状态序列，我们看到输出现在螺旋向原点。
x = fi(0(10, 1), 1, 16日15日“fimath”F);子= fi(0, 0, 1, 16日15日“fimath”F);q = assignmentquantizer(子);e =双(eps(子));rng (“默认”）;为K =1:20 y = x;子(:)= randquant (q,大小(A, 1), 1);(y, zf) = fidemo.fisisostatespacefilter (A2、B2, C2, D2, x, zi);如果abs(双(zf(结束)))> 0.5,c =“ro - - - - - -”；其他的c =“去,”；结束情节(zf (1:), zf (2:), c,“markersize”8);结束标题(“标准形式定点状态序列图”）;包含(“z1”）;ylabel (“z2”）
对其他随机选择的初始状态进行此尝试，说明没有哪个区域是过滤器无法恢复的。
集(0,“格式”, originalFormat);% #好< * NASGU, * NOPTS >
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