Padé时延输入近似

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这个例子展示了如何在控制系统理论中使用Padé近似来建模一阶系统响应中的时滞。时间延迟出现在诸如化学和运输过程等系统中，在这些系统中，输入和系统响应之间存在延迟。当这些输入被建模时，它们被称为死区输入。

此示例使用符号数学工具箱™来解决一阶系统的传输功能，并使用Padé近似找到系统响应到死时间步骤输入。此示例符号执行计算以获取分析结果。

介绍

皮肤近似的订单[m，n]近似函数f (x)大约 $x ＝ x_{0}$ 作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米}}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

Padé近似是由两个幂级数的比值形成的有理函数。由于它是有理函数，所以在用极点逼近函数时比泰勒级数更精确。Padé近似是用符号数学工具箱™函数表示的pade．

当在膨胀点存在一个极点或零点时 $x ＝ x_{0}$ ，则Padé近似的准确性下降。为了提高准确性，使用Padé近似的另一种形式

$\frac{（ x - x_{0} ）^{p} （ {一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米} ）}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

的pade函数将返回Padé近似函数的替代形式orderMode.输入参数相对．

查找一阶系统的传递函数

一阶系统的行为可用这个微分方程来描述

$τ. \frac{d y （ t ）}{d t} + y （ t ）＝一个 x （ t ）．$

在MATLAB®中输入差分方程。

信谊TAU一个x (t)y（t）XS（s）ys（s）H(年代)TMP.f = tau * diff（y）+ y == a * x;

找到拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

f =拉普拉斯（F，T，S）

F =
                  $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） - τ. (y （ 0 ） - 年代 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ）) ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

假设系统的响应t = 0.是0．使用潜艇来代替y (0) = 0．

f =子（f，y（0），0）

F =
                  $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） + 年代 τ. 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

收集常见术语，使用简化．

F =简化(F)

F =
                  $(年代 τ. + 1) 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

为便于阅读，请替换x (t)和y（t）与XS（s）和ys（s）．

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                  $ys. （ 年代 ） (年代 τ. + 1) ＝ 一个 xS （ 年代 ）$

转移功能的拉普拉斯变换是y (s) / xS (s)．划分方程的两侧XS（s）用潜艇代替y (s) / xS (s)与H(年代)．

f = f / xs;f =子（f，ys（s）/ xs，h（s））

F =
                  $H （ 年代 ） (年代 τ. + 1) ＝ 一个$

解决方程H(年代)．替代品H(年代)使用虚拟变量，使用解决方案解决虚拟变量，并将解决方案分配给Hsol（s）．

f =子（f，h（s），tmp）;HSOL =解决（F，TMP）

Hsol =
                 
                   $\frac{一个}{年代 τ. + 1}$

求系统对时滞阶跃输入的响应

到一阶系统的输入是一个时间延迟的步骤输入。表示步骤输入，使用亥维赛．将输入延迟三个时间单位。求拉普拉斯变换拉普拉斯．

Step = heaviside(t - 3);一步=拉普拉斯(步骤)

步骤=
                 
                   $\frac{e^{- 3. 年代}}{年代}$

找到系统的响应，这是传递函数和输入的乘积。

y = Hsol (s) *步骤

y =
                 
                   $\frac{一个 e^{- 3. 年代}}{年代 (年代 τ. + 1)}$

若要绘制响应，请设置参数一个和TAU到特定值。为了一个和TAU，选择值1和3.,分别。

Y =潜艇（y，[a tau]，[1 3]）;y = ilaplace（y，s）;

使用Padé近似找到系统的响应

找到Padé近似的顺序(2 - 2)使用订单输入参数的步骤输入pade．

stepPade22 = pade(步骤,'命令'(2 - 2))

steppade22 =
                 
                   $\frac{3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

通过乘以输入的传输函数和Padé近似来找对输入的响应。

ypade22 = hsol（s）* steppade22

ypade22 =
                 
                   $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ. + 1) (年代 + 1)}$

找到逆拉普拉斯变换ypade22使用ilaplace．

yPade22 = ilaplace (yPade22年代)

ypade22 =
                 
                   $一个 + \frac{9 一个 e^{- 年代}}{2 τ. - 2} - \frac{一个 e^{- \frac{年代}{τ.}} (2 {τ.}^{2} + 4 τ. + 3.)}{τ. (2 τ. - 2)}$

要绘制响应，需要设置参数一个和TAU他们的价值观1和3.,分别。

ypade22 =潜艇（ypade22，[tau]，[1 3]）

ypade22 =
                 
                   $\frac{9 e^{- 年代}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{年代}{3.}}}{4} + 1$

绘制系统的响应y从Padé近似计算的响应ypade22．

fplot（y，[0 20]）保持上fplot（ypade22，[0 20]）网格上标题“Padé近似于死时间步进输入”传奇('响应死区时间步骤'，'padé近似[2 2]'，．..'位置'，“最佳”）;

图中包含一个坐标轴。空时步长输入的标题为Padé近似的轴包含2个函数线类型的对象。这些对象表示对死时间步长输入的响应，Padé近似[2 2]。

使用OrderMode提高Padé近似的精度

的(2 - 2)Padé近似不能很好地表示响应，因为在展开点处存在一个极点0．提高准确性pade当膨胀点有极点或零点时，设orderMode.对相对和重复步骤的输入参数。有关详细信息，请参阅pade．

steppade22reel = pade（步骤，'命令'(2 - 2),“OrderMode”，“相对”）

steppade22rel =
                 
                   $\frac{3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4}{年代 (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

ypade22reel = hsol（s）* steppade22rel

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ. + 1) (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

ypade22reel = ilaplace（ypade22rel）;YPade22REL =潜艇（YPADE22REL，[A TAU]，[1 3]）

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{12 e^{- t} (COS. （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） + \frac{2 \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ）}{3.})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3.}}}{7} + 1$

fplot（ypade22rel，[020]，“DisplayName的”，'Relative Padé approant [2 2]'）

图中包含一个坐标轴。具有标题Padé用于死区时间步进输入的轴的轴包含3个类型函数线的对象。这些对象表示对死区时间步进输入的响应，Padé近似[2]，相对Padé近似[2]。

通过增加顺序提高Padé近似的精度

您可以通过增加订单来提高Padé近似的准确性。增加订单5 [4]并重复这些步骤。的n (n - 1)Padé approant更适合近似于t = 0.比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(步骤,'命令'，[4 5]）

steppade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} - 840 年代 + 560.}{年代 (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} + 840 年代 + 560.)}$

* stepPade45 yPade45 = Hsol(年代)

ypade45 =
                 
                   $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} - 840 年代 + 560.)}{年代 (年代 τ. + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} + 840 年代 + 560.)}$

yPade45 = subs(yPade45，[a tau]，[1 3])

ypade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} - 840 年代 + 560.}{年代 (3. 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540. {年代}^{2} + 840 年代 + 560.)}$

找到逆拉普拉斯变换yPade45使用ilaplace．近似yPade45数值使用vpa．绘制来自Padé近似计算的响应yPade45．

YPADE45 = VPA（ILAPLACH（YPADE45））;fplot（ypade45，[0 20]，“DisplayName的”，'Padé approant [4 5]'）

图中包含一个坐标轴。空时步进输入的标题为Padé近似的轴包含4个函数线类型的对象。这些对象表示对死时间步长输入的响应，Padé approximation [2 2]， Relative Padé approximation [2 2]， Padé approximation[4 5]。

结论

提出了以下几点:

Padé近似可以模拟死时间步长输入。
Padé近似的准确性随着近似顺序的增加而增加。
当在膨胀点存在极点或零点时，Padé近似关于膨胀点是不准确的。为了提高近似的准确性，设置orderMode.选择相对．你也可以用增加分母相对于分子的顺序。

Padé时延输入近似

介绍

查找一阶系统的传递函数

求系统对时滞阶跃输入的响应

使用Padé近似找到系统的响应

使用OrderMode提高Padé近似的精度

通过增加顺序提高Padé近似的精度

结论

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