提升方法构造小波- MATLAB和Simulink MathWorks瑞士万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

提升方法构造小波

所谓的第一代小波和扩展函数是二元相呼应和翻译的一个函数。傅里叶方法扮演着一个关键角色,这些小波的设计。然而,小波基的要求包括翻译和扩张的一个函数强加一些限制,限制的效用多分辨率小波分析的核心概念。

小波方法的效用是延长的设计第二代小波通过提升。

典型设置,不能使用翻译和扩张的一个函数包括:

设计小波在有限域——这包括建设区间小波,在高维欧氏空间或有限域。
加权小波——在某些应用程序中,如偏微分方程的解决方案,对加权小波双正交的内积是必要的。
间隔不规则数据——在许多实际的应用程序,数据样本之间的采样间隔不相等。

设计新的第一代在傅里叶分析小波需要专长。提出的解除方法Sweldens(见[Swe98]引用)删除在傅里叶分析的必要性,并允许你产生无限的离散双正交的小波从最初的一个开始。除了代第一代小波具有提升,提升方法还使您能够设计第二代小波,不能使用Fourier-based设计方法。通过取消,您可以设计小波解决的缺陷第一代小波。

提升的更多信息,请参阅[Swe98], [Mal98], [StrN96], [MisMOP03]引用。

提升背景

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实现DWT的滤波器组被定义为四个过滤器中描述快速小波变换算法(淡水舱)。两个主要感兴趣的属性

完美的重建财产
与“真正的”小波(如何生成,从过滤器、正交或双正交的基地空间有限能源的功能)

为了说明完美重建属性,下面的滤波器组包含两个分解滤波器和两个合成。分解和合成过滤器可能构成一对双正交的基地或一个正交的基础上。大写字母表示的z变换过滤器。

这将导致以下两个条件,一个完美的重建(PR)滤波器组:

$H_{}^{\sim} (z) H (z) + G_{}^{\sim} (z) G (z) = 2 z^{- - - - - - l + 1}$

和

$H_{}^{\sim} (- - - - - - z) H (z) + G_{}^{\sim} (- - - - - - z) G (z) = 0$

第一个条件通常是(错误地)被称为完美重建条件,第二个是反锯齿状态。

的 $z^{- - - - - - l + 1}$ 术语意味着完美重建是实现一个样品的延迟小于滤波器长度,l。这个结果如果分析过滤器是转变因果。

提升开始设计完美重建滤波器的小波变换的基本性质。利用小波变换建立稀疏表示最真实世界固有的相关数据。例如,情节的例子在为期3天的期间的电力消耗。

负载leleccum情节(leleccum)网格在轴紧标题(的电力消耗)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与用电量的标题包含一个类型的对象。

多相表示

的多相表示解除的信号是一个重要的概念。你可以查看每个信号组成的阶段,包括每一个N与一些指数th示例开始。例如,如果指数的时间序列n= 0并采取其他示例开始n= 0,你甚至提取样本。如果你把每一个样本从n= 1,你提取的样本。这些都是偶数和奇数多相组件的数据。因为你的增量之间的样品是2,只有两个阶段。如果你增加增加到4,你可以提取4个阶段。对于提升,足以把精力集中在偶数和奇数多相组件。下面的图表说明了该操作的输入信号。

在哪里Z表示单位推进运营商和2号的向下的箭头代表downsampling由两个。语言的提升,操作将一个输入信号分离为偶数和奇数的组件被称为分裂操作,或懒惰的小波。

要理解提升数学,有必要了解偶数和奇数多相的z域中表示组件。

即使是多相的z变换组件

$X_{0} (z) = \sum_{n} x (2 n) z^{- n}$

奇怪的多相的z变换组件

$X_{1} (z) = \sum_{n} x (2 n + 1) z^{- n}$

您可以编写输入信号的z变换的总和扩张多相的z变换组件的版本。

$X (z) = \sum_{n} x (2 n) z^{- 2 n} + \sum_{n} x (2 n + 1) z^{- 2 n + 1} = X_{0} (z^{2}) + z^{- 1} X_{1} (z^{2})$

分裂、预测和更新

一个提升步骤可以被描述为以下三个基本操作:

分裂——信号分离组件。一个常见的方法是提取偶数和奇数多相组件中解释多相表示。这是也被称为懒惰的小波。
预测——奇怪的多相组件基于样本的线性组合甚至多相组件。奇怪的多相组件的样品取而代之的是奇怪的多相组件之间的差异和预测价值。
更新——甚至多相组件基于不同样本的线性组合得到的预测步骤。

在实践中,标准化是合并的预测和更新操作。

下图展示了一个提升一步。

通过提升Haar小波

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使用的操作分裂、预测和更新通过提升,你可以实现Haar小波。

分裂——把信号分成偶数和奇数多相组件
预测——取代 $x (2 n + 1)$ 与 $d (n) = x (2 n + 1) - - - - - - x (2 n)$ 。简单的预测算子 $x (2 n)$ 。
更新——取代 $x (2 n)$ 与 $x (2 n) + d (n) / 2$ 。这就等于 $(x (2 n) + x (2 n + 1)) / 2$ 。

z域中的预测算子可以用矩阵形式如下:

$(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - - - - - - P (z) & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

与 $P (z) = 1$ 。

更新操作符可以用矩阵形式如下:

$(\begin{array}{c} 1 & 年代 (z) \\ 0 & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - - - - - - P (z) & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

与 $年代 (z) = 1 / 2$ 。

最后,更新和预测正常化可以包含如下:

$(\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}] (\begin{array}{c} 1 & 年代 (z) \\ 0 & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - - - - - - P (z) & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

您可以使用liftingScheme构建一个与Haar小波提升计划。

lscHaar = liftingScheme (“小波”,“哈雾”);disp (lscHaar)

小波:“哈尔”LiftingSteps: [2×1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 - 0.7071] CustomLowpassFilter:[]的细节LiftingSteps:类型:“预测”系数:1 MaxOrder: 0类型:“更新”系数:0.5000 MaxOrder: 0

请注意,为了方便起见,纳入负号预测提升一步。的元素NormalizationFactors,1.4142和0.7071,分别预测和更新标准化因素。MaxOrder给出了最高程度的Laurent多项式描述相应的提升一步。在这种情况下,两者都是零,因为预测和更新臂都是由标量描述。

Bior2.2通过提升小波

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这个示例介绍了提升方案bior2.2缩放和双正交小波滤波器。

哈尔提升方案,预测算子差的甚至样品。在这个例子中,定义一个新的预测算子,计算两个相邻甚至样本的平均值。减去平均其间的奇怪的样本。

$d (n) = x (2 n + 1) - - - - - - \frac{1}{2} (x (2 n) + x (2 n + 2)]$

z域中,您可以编写预测操作符

$(\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - - - - - - \frac{1}{2} (1 - - - - - - z) & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

获取更新算子,检查更新运营商通过提升Haar小波。中定义的更新,近似系数之和正比于输入数据的均值向量。

$\sum_{n} x (n) = \frac{1}{2} \sum_{n} 一个 (n)$

获得相同的结果在这个提升一步,定义的更新

$(\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} (z^{- - - - - - 1} + 1) \\ 0 & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - - - - - - \frac{1}{2} (1 + z) & 1 \end{array}] (\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

您可以使用liftingScheme获得提升方案。

lscBior = liftingScheme (“小波”,“bior2.2”);disp (lscBior)

小波:“bior2.2”LiftingSteps: [2×1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 - 0.7071] CustomLowpassFilter:[]的细节LiftingSteps:类型:“预测”系数:[-0.5000 - -0.5000]MaxOrder: 1类型:“更新”系数:[0.2500 - 0.2500]MaxOrder: 0

添加哈雾提升一步提升方案

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这个例子展示了如何添加一个小学提升一步提升方案。

创建一个与Haar小波相关的吊装方案。

lsc = liftingScheme (“小波”,“哈雾”);disp (lsc)

小波:“哈尔”LiftingSteps: [2×1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 - 0.7071] CustomLowpassFilter:[]的细节LiftingSteps:类型:“预测”系数:1 MaxOrder: 0类型:“更新”系数:0.5000 MaxOrder: 0

创建一个更新小学提升一步。附加步骤取消计划。

els = liftingStep (“类型”,“更新”,“系数”(-1/8 1/8),“MaxOrder”,0);els lscNew = addlift (lsc);disp (lscNew)

小波:“定制”LiftingSteps: [3×1] liftingStep NormalizationFactors: [1.4142 - 0.7071] CustomLowpassFilter:[]的细节LiftingSteps:类型:“预测”系数:1 MaxOrder: 0类型:“更新”系数:0.5000 MaxOrder: 0类型:“更新”系数:[-0.1250 - 0.1250]MaxOrder: 0

得到新的提升计划的分解和重构滤波器。

[lod,藏,生气,hir] = ls2filt (lscNew);

使用bswfun情节产生的尺度函数和过滤器。

bswfun (lod、藏、卤、雇佣“阴谋”);

图包含4轴对象。坐标轴对象1标题分析扩展函数(phiA)包含一个类型的对象。坐标轴对象2标题分析小波函数(psiA)包含一个类型的对象。坐标轴对象3标题合成扩展函数(φ)包含一个类型的对象。坐标轴对象4标题合成小波函数(psi)包含一个类型的对象。

Integer-to-Integer小波变换

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在多个应用程序需要整数输入整数小波变换,地图缩放和小波系数。你可以使用升降实现容易。

创建一个与Haar小波相关的吊装方案。添加一个小学提升一步取消计划。

lsc = liftingScheme (“小波”,“哈雾”);els = liftingStep (“类型”,“更新”,“系数”(-1/8 1/8),“MaxOrder”,0);lscNew = lsc.addlift (els);

创建一个整数值的信号。获得integer-to-integer从轻型信号的小波变换,利用提升方案,“Int2Int”设置为真正的。

rng默认的sig =兰迪(20日16日1);(ca、cd) =轻型(团体,“LiftingScheme”lscNew,“Int2Int”,真正的);

确认近似系数都是整数。

马克斯(abs (ca-floor (ca)))

ans = 0

确认细节系数都是整数。

len =长度(cd);为k = 1: len disp ([k,马克斯(abs (cd {k}地板(cd {k})))));结束

1 0 2 0 3 0 4 0

反变换和展示完美的重建。

xrec = ilwt (ca, cd,“LiftingScheme”lscNew,“Int2Int”,真正的);马克斯(abs (xrec-sig))

ans = 0

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