微分方程与线性代数,2.3c:脉冲响应与阶跃响应gydF4y2Ba
从系列中:gydF4y2Ba微分方程和线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院gydF4y2Ba
脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba是力为脉冲时的解(脉冲函数)。这也解决了一个初始条件非零的零方程(无力)。gydF4y2Ba
好的。这节课我们讲二阶方程,常系数方程。我们要找脉冲响应,整个过程中的关键函数,还有阶跃响应。gydF4y2Ba
这些就是反应。我设g,这是脉冲响应,右边是脉冲函数,一个脉冲,t = 0时刻的一个突发性力。这就是方程。这就是冲量。g是响应,我们需要一个公式。gydF4y2Ba
另一种可能性,非常有趣的可能性,就是右边是阶跃函数。然后我们想要这个函数的响应。我点击一个开关。机器开始工作,并接近稳定的响应。解从0开始上升。gydF4y2Ba
从r (0) = r '(0) = 0开始。阶跃响应从静止开始。当我在t = 0点按一个开关时,r (t)会上升到一个常数。非常非常重要的解决方案。万博 尤文图斯但我们会特别关注这个。gydF4y2Ba
好的。这就是右边的方程。当然,右边不是很熟悉,不像e ^ st那么好,但是有一些东西,有另一种方法来处理它,这是一个关键的想法,从解一个零方程得到这个非常重要的函数。这是怎么回事?gydF4y2Ba
我从一个零方程开始,但是现在这个没有初始条件。这个是从g(0)和g '(0)开始的。一切都从函数开始。这是同一个函数。只是当我看t = 0时发生了什么,g '立即跳到1。gydF4y2Ba
另一种接近g的方法,g的计算,是这样想的,我只是在寻找一个零解。我在寻找从0开始的零解。但它的初始导数是,斜率为1。所以我知道g是一个组合。我知道如何解这样的方程,零方程。还记得s1和s2吗?我看s²,我让这个系数为1,所以s²+ b + C = 0。得到s1和s2。gydF4y2Ba
现在我告诉你g是什么。这就给出了零解中的s1和s2,我们正在寻找一个零解。g (t)等于e ^ (s1t)和e ^ (s2t)的组合。好吗?是它们的某种组合。我们想让它等于0。毫无疑问,如果我减去这些,我从t = 0开始。我开始,这是1 - 1。是0。gydF4y2Ba
现在我只需要确定初始斜率,一阶导数,等于1。它的导数是什么?下面是s1。这就得到了s2。t = 0时,得到s1 - s2。所以我要除以它,s1 - s2。好了。这就是脉冲响应,一个满足这些特殊初始条件的零解。gydF4y2Ba
这个函数在数学中有时被称为基本解。这是一个解决方案,您可以从中创建所有解决方案。万博 尤文图斯它是这个二阶微分方程的解之母。万博 尤文图斯因为如果我有另一个强迫函数,它告诉我增长率。gydF4y2Ba
就像e ^ at对于一阶方程一样。还记得利率系数为a的一阶简单方程的增长率e ^ at吗?现在我们有两个。不是a,而是s1和s2,这就是特殊函数。gydF4y2Ba
好的。我们需要更深入地了解具体情况。让我给你们看没有阻尼时的相同函数。从这个例子开始,总是最简单的例子。当B = 0时,B是阻尼系数,微分方程中的一阶导数。我能把微分方程写下来吗?gydF4y2Ba
当B = 0时,没有阻尼。我只有二阶导数和函数。这就是事物永远振荡的时候。这就是将要发生的事情。当B = 0时,有纯振荡。s1和s2是震荡的余弦和正弦。或者用指数更简洁,i和- i,这是n,固有频率。gydF4y2Ba
现在,如果我代入s1和s2,正的是s1负的是s2,代入这里,我就得到了g (t)的一个很好的公式,这就是没有阻尼时g (t)的样子。它只是振荡。gydF4y2Ba
好的。下一个例子是阻尼不足。每次都能看到所有这些案例是很好的。所以这是一个很小的b值,欠阻尼意味着有一些阻尼,但它足够小,所以现在有一个实部,但仍然有一个虚部。gydF4y2Ba
在某种程度上,这是当s是复数时的技巧。如果我增加阻尼,进一步增加B,那么我就会到达一个点,那里有两个实数解相等。万博 尤文图斯如果我把B推到这个范围之外,阻尼就过大了,这两个实解就分开了。万博 尤文图斯它们是不同的,但它们是真实的。然后我的公式,在这种情况下,过阻尼,这是最好的公式。gydF4y2Ba
但由于阻尼不足,我能看到振动。如果我只是代入s1和s2的两个解,你会看到e ^ (- 万博 尤文图斯B / 2t)贯穿始终。然后我有sin除以,和之前一样,只是现在阻尼频率比固有频率慢一些。阻尼降低了频率。在另一个视频中,我们有阻尼的公式。gydF4y2Ba
然后再增加一些阻尼,然后这部分,阻尼趋于0。在解中看不到虚部。我们看到两个相等的实数。他们是简单的。它们必须是- B/2。gydF4y2Ba
这是两个s在一起的情况。当两件事结合在一起时,我们习惯看到因子t出现。所以它们在- B/2处结合。我得到了它的指数。但是我有一个因子t来自这两个的归并。然后如果B增加超过这个,这就是我的公式。两个s是实数。gydF4y2Ba
我觉得没人能把这些都记住。在开始这个视频之前,我得先查一下,然后写在黑板上。但我希望你能看到他们非常好。无阻尼情况下[?纯?]频率和欠阻尼情况下的实衰减。当你进一步增加B时,临界阻尼,就只有这个,没有振荡。然后是过阻尼。好的。这样就可以求脉冲响应了。gydF4y2Ba
现在我只需要问,阶跃响应是什么?我可以回到方程来结束这个视频吗?我得把黑板拿下来给你们看。现在我要处理阶跃响应。所以方程是一样的。我把响应的解称为r。重点是,右边现在是阶跃而不是。gydF4y2Ba
所以我们要从静止开始解这个方程。开关打开了,我想要一个r (t)的公式,剩下的就是这个了。实际上,你可以看到特解是什么。我们看一个特解。右边是1。右边是1 + t = 0。所以我要找一种方法来得到1。也可以是常数。gydF4y2Ba
特解就是我们正在接近的稳态。还有一件很酷的事要做。有时候,对单位和维度都很清楚的人会把C写在这里。这样做的好处是把C写在这里因为现在r的单位是一样的,r会趋于1。gydF4y2Ba
稳态现在是1因为Cr等于C乘以1。在无穷远处,简单的解是r = 1。当r = 1时,它的导数为0。二阶导数是0。R = 1是一个解。这是一个特解。这是稳态解。好。gydF4y2Ba
但是r (t) = 1的起点不正确。我们要从0开始,斜率为0。所以我要减去其中一个带e ^ s1的特解。万博 尤文图斯现在我要得到它,我要减去它,使它从0开始。gydF4y2Ba
我看看能不能做。我想如果我用s2e ^ (s1t)减去s1e ^ (s2t)你看到它的成就了吗?在t = 0时,至少在t = 0时,我把导数设为0因为这里的导数是s1。这个导数会得到一个s2。当我令t = 0时,我得到s1 s2 - s1 s2。好,好,好。好的。gydF4y2Ba
现在我认为他们都是正确的。我需要除以s1 - s2。让我这么说吧,我觉得就是这样了。我想就是这样了。我去看看也不是个坏主意。经过检查,我知道这是一个加号。好的。gydF4y2Ba
r的图像,这是r (t)的图像,它从0开始,一直上升到1。渐近是1。这是r (t)的图像,在实践中,这是一个非常重要的数字。起床时间是几点?在它上升到1的95%之前你要走多远?所有这些问题对于工程师来说都是非常实际的问题。几点起床?你在用这个公式。gydF4y2Ba
让我对r (t)的阶跃响应做另一个解释。我的另一个评论是,我强调过g (t)脉冲响应是决定一切的。它一直伴随着我们。它们是如何联系在一起的?这是这集视频的最后一个问题。r (t)和g (t)是如何联系起来的?gydF4y2Ba
我来问一下右边。阶跃函数是如何和函数联系起来的?阶跃函数是函数的积分。函数的积分是0只要你在函数为0的地方积分。但一旦过了大的峰值,积分就会跳到1,就得到了阶跃函数。gydF4y2Ba
阶跃函数是函数的积分。阶跃响应就是响应的积分。它是脉冲响应的积分。R是g的积分R是g的积分在正确的初始条件下得到了这个最终,接近1。gydF4y2Ba
可以说,这是两个关键的解决方案。万博 尤文图斯脉冲响应在理论和实践中都具有重要意义。阶跃响应在实践中非常重要,因为打开开关是工程中非常基本的操作。很好。谢谢你!gydF4y2Ba
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