马尔可夫链分析与平稳分布

这个例子展示了如何推导一个平凡的符号平稳分布马尔可夫链通过计算其特征分解。

的平稳分布表示马尔可夫过程的极限的，时间无关的，状态的分布，随着步数或过渡的增加。

定义状态之间的(正)转移概率一个通过F如上图所示。

信谊一个bcdefcCA建行积极的；

添加进一步的假设限制转移概率。这将有助于以后选择理想的平稳分布。

假设([a, b, c, e, f, cCA, cCB] < 1 and d == 1);

定义转移矩阵。州一个通过F映射到列和行1通过6．注意，每行的值总和为1。

P =符号(0 (6,6));P(1,1:2) = [a 1-a];P(2,1:2) = [1-b b];P(3,1:4) = [cCA cCB c (1-cCA-cCB-c)];P (4, 4) = d;P(5,5:6) = [e 1-e];P(6,5:6) = [1-f f];P

P =
                
                  $（ \begin{array}{c} 一个 & 1 - 一个 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - b & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ cCA & 建行 & c & 1 - cCA - 建行 - c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e & 1 - e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - f & f \end{array} ）$

计算所有可能的马尔可夫链状态的解析平稳分布。这就是提取的问题特征向量对应的特征值对于转移概率的某个值可以等于1。

[V D] = eig (P ');

分析特征向量

V =
                
                  $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{b - 1}{一个 - 1} & 0 & - \frac{(c - d) (建行 - b cCA - b 建行 + c cCA)}{σ_{1}} & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & - \frac{(c - d) (cCA - 一个 cCA - 一个 建行 + c 建行)}{σ_{1}} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{c - d}{c + cCA + 建行 - 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{f - 1}{e - 1} & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ (c + cCA + 建行 - 1) (一个 + b - 一个 c - b c + c^{2} - 1) \end{array}$

分析特征值

诊断接头(D)

ans =
                
                  $（ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ c \\ d \\ 一个 + b - 1 \\ e + f - 1 \end{array} ）$

找到正好等于1的特征值。如果对任何特征值确定这个条件有任何歧义，用一个错误停止-这样我们就可以确定，当这一步成功时，下面的指标列表是可靠的。

isAlways(diag(D) == 1，“未知”，“错误”));诊断接头(D(第九,ix))

ans =
                
                  $（ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ d \end{array} ）$

提取解析平稳分布。特征向量是用1范数或标准化的sum (abs (X))前显示．

为简化(V(:，k)/范数(V(:，k))，1);结束概率= V(第九:,)

概率=
                
                  $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{b - 1}{(一个 - 1) σ_{2}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{σ_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{f - 1}{σ_{1} (e - 1)} & 0 \\ 0 & \frac{1}{σ_{1}} & 0 \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \sqrt{\frac{{(f - 1)}^{2}}{{(e - 1)}^{2}} + 1} \\ σ_{2} ＝ \sqrt{\frac{{(b - 1)}^{2}}{{(一个 - 1)}^{2}} + 1} \end{array}$

稳态的概率是一个或B在第一个特征向量的情况是一个转移概率的函数一个和b．想象这种依赖性。

fsurf(Probability(1)， [0 1 0 1]);包含一个ylabelb标题(“概率”）;

图中包含一个坐标轴。标题为“概率A”的轴包含一个函数曲面类型的对象。

图(2);fsurf(Probability(2)， [0 1 0 1]);包含一个ylabelb标题(“B”的概率）;

图中包含一个坐标轴。标题为“概率B”的轴包含一个函数曲面类型的对象。

平稳分布证实了以下情况(回忆状态)一个通过F对应于行指数1通过6)：

状态C是永远不会到达的，因此是短暂的，即第三行完全为零。
其余的州组成三个集团，{一个，B}， {D}, {E，F}，它们之间不相互通信，而且是反复出现的。

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