矩阵旋转与变换

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这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™和矩阵在3D中进行旋转和转换。

定义并绘制参数曲面

定义参数曲面x (u, v)，y (u, v)，z (u, v)如下。

信谊uvX = cos(u)* sinv;Y = sin(u)* sinv;Z = cosv * sinv;

使用以下方法绘制曲面fsurf．

fsurf轴(x, y, z)平等的

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个parameterizedfunctionsurface类型的对象。

创建旋转矩阵

创建3 × 3矩阵处方，变化中,Rz用角度表示平面旋转的t关于x-，y- - - - - -,z分别设在。

信谊tRx = [1 0 0;0 cost - sint;0 sint cos t]

Rx =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 因为 （ t ） & - 罪 （ t ） \\ 0 & 罪 （ t ） & 因为 （ t ） \end{array} ）$

Ry = [cos(t) 0sint;0 10 0;- sint 0 cos t]

一=
                  
                    $（ \begin{array}{c} 因为 （ t ） & 0 & 罪 （ t ） \\ 0 & 1 & 0 \\ - 罪 （ t ） & 0 & 因为 （ t ） \end{array} ）$

Rz = [cos(t) -sin(t) 0;sint cost 0;0 0 1]

Rz =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 因为 （ t ） & - 罪 （ t ） & 0 \\ 罪 （ t ） & 因为 （ t ） & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} ）$

在三维空间中旋转每个轴

首先，旋转表面x-轴逆时针旋转45度。

xyzRx = Rx*[x;y;z];Rx45 = subs(xyzRx, t, pi/4);fsurf(Rx45(1)， Rx45(2)， Rx45(3)) title(“逆时针绕x旋转\pi/4”)轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o t t g空白b y空白pi / 4空白a o u t空白x，空白cont R l o c k w e的轴对象包含一个类型为参数化函数曲面的对象。

旋转z-轴顺时针旋转90度。

xyzRz = Rz*Rx45;Rx45Rz90 = subs(xyzRz, t， -pi/2);fsurf(Rx45Rz90(1)， Rx45Rz90(2)， Rx45Rz90(3)) title(“围绕z，顺时针旋转\pi/2”)轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o t n g空白b y空白pi / 2空白a o u t空白z，空白c l o k w e的坐标轴对象包含一个类型为参数化函数曲面的对象。

旋转y-轴顺时针旋转45度。

xyzRy = Ry*Rx45Rz90;Rx45Rz90Ry45 = subs(xyzRy, t， -pi/4);fsurf(Rx45Rz90Ry45(1)， Rx45Rz90Ry45(2)， Rx45Rz90Ry45(3)) title(“绕y，顺时针旋转\pi/4”)轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o t n g空白b y空白pi / 4空白a o u t空白y，空白c l o k w e的坐标轴对象包含一个类型为参数化函数曲面的对象。

缩放和旋转

沿这条线乘以3乘以这个曲面z设在。你可以乘以z3,Z = 3* Z．更通用的方法是创建一个缩放矩阵，然后将缩放矩阵乘以坐标向量。

S = [1 0 0;0 10 0;0 0 3];xyzScaled = S*[x;y;z]

xyzScaled =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 因为 （ u ） 罪 （ v ） \\ 罪 （ u ） 罪 （ v ） \\ 3. 因为 （ v ） 罪 （ v ） \end{array} ）$

fsurf(xyzScaled(1)， xyzScaled(2)， xyzScaled(3))'沿z方向缩放3 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为Scaling by 3 along z的axis对象包含一个parameterizedfunctionsurface类型的对象。

旋转缩放表面x-，y- - - - - -,z-轴顺时针45度，按顺序z,然后y,然后x．这个变换的旋转矩阵如下。

R = Rx*Ry*Rz

R =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} {因为 （ t ）}^{2} & - 因为 （ t ） 罪 （ t ） & 罪 （ t ） \\ σ_{1} & {因为 （ t ）}^{2} - {罪 （ t ）}^{3.} & - 因为 （ t ） 罪 （ t ） \\ {罪 （ t ）}^{2} - {因为 （ t ）}^{2} 罪 （ t ） & σ_{1} & {因为 （ t ）}^{2} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 因为 （ t ） {罪 （ t ）}^{2} + 因为 （ t ） 罪 （ t ） \end{array}$

使用旋转矩阵找到新的坐标。

xyzscaledrotate = R*xyzScaled;xyzSR45 = subs(xyzscaledrotate, t， -pi/4);

画出曲面。

fsurf(xyzSR45(1)， xyzSR45(2)， xyzSR45(3)) title(“绕x, y, z，顺时针旋转\pi/4”)轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o t n g空白b y空白pi / 4空白a o u t空白x，空白y，空白a d空白z，空白c l o k w e的坐标轴对象包含一个类型为参数化函数曲面的对象。

检查旋转矩阵的属性`R`

旋转矩阵是正交矩阵。因此，转置R也是它的逆，还有行列式R是1。

简化(R。”* R)

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} ）$

简化(侦破(R))

ans =
                   $1$