Kontinuierliche和diskrete Wavelet-Transformationen

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在diesem主题了死Thema Hauptunterschiede说是der kontinuierlichen小波变换(CWT)和der diskreten小波变换(DWT) beschrieben - sowohl毛皮死dezimierte欧什死错dezimierte版本。类这是diskretisierte版本der CWT和萤石哒在静脉Rechenumgebung implementiert了。这张Erlauterung konzentriert西奇天改1 d-fall,是河口欧什auf hohere Dimensionen anwendbar。

死类小波变换vergleicht静脉信号麻省理工学院verschobenen和skalierten (gestreckten奥得河geschrumpften) Kopien进行Basis-Wavelets。要是 $ψ (t)$ 静脉贝t = 0zentriertes小波麻省理工学院Zeitunterstutzung冯(- T / 2, T / 2)是,丹是 $\frac{1}{年代} ψ (\frac{t - u}{年代})$ 贝t = u麻省理工学院zentriert Zeitunterstutzung冯[- / 2 + u, sT / 2 + u)。贝德类-Funktion她死L1-Normierung zum Einsatz, d . h。,alle Frequenzamplituden werden auf denselben Wert normiert. Wenn0 < s < 1,将小波zusammengezogen das (geschrumpft),要是s > 1,将小波gestreckt das。Der mathematische Begriff hierfur坚持扩张。螺母Kontinuierliche小波变换和skalenbasierte分析法登您Beispiele水平,是不是这位Vorgang Merkmale im信号extrahiert indem er es麻省理工学院dilatierten和verschobenen小波abgleicht平行。

Der wichtigste更来Der CWT diskreten Wavelet-Transformationen体育运动dwt和modwtliegt der艺术和怀斯der Diskretisierung des Skalierungsparameters。贝der CWT将死Skalierung feiner diskretisiert als贝der diskreten小波变换。贝der CWT legen您normalerweise一张节日,死一张Zweierpotenz麻省理工学院布鲁赫als指数是,z。B。 $2^{1 / v}$ ,wobeiv明信片ganze Zahl großer als 1坚持。Der参数v将haufig als死Anzahl der„是的pro bezeichnet Oktave”。Verschiedene Skalierungen erhalt人,indem的人这Basisskalierung auf积极ganzzahlige Potenzen erhoht, z。B。 $2^{j / v} j = 1, 2, 3, \dots$ 。在Der CWT将Der Translationsparameter ganzzahlige Werte diskretisiert,死海尔麻省理工学院米bezeichnet了。死resultierenden diskretisierten小波毛皮CWT信德而死

$\frac{1}{2^{j / ν}} ψ (\frac{n - 米}{2^{j / v}}) 。$

。

模具名称„是的pro Oktave“毛穴参数vruhrt哒,dassvZwischenskalierungen erforderlich信德,嗯死Skalierung嗯一张Oktave祖茂堂erhohen (Verdopplung)。Verwenden您z。B。 $2^{v / v} = 2$ 学院指导和erhohen您丹穴im Exponenten, bis您4 erreichen死nachste Oktave。您wechseln冯 $2^{v / v} = 2$ 祖茂堂 $2^{2 v / v} = 4$ 。Es有vZwischenschritte。Ubliche Werte皮毛v信德10、12、14、16和32。我großer范德维尔特·冯·v,desto feiner Diskretisierung des Skalierungsparameters死亡年代。死erhoht jedoch欧什窝erforderlichen Rechenaufwand, da死CWT毛皮jede Skalierung berechnet了吵架。死Differenz说是静脉Skalierungen再见日志₂斯卡拉betragt1 / v。Beispiele毛皮Skalierungsvektoren毛皮死CWT法登您螺母CWT-Based时频分析和调制信号的连续小波分析。

贝der diskreten小波变换将der Skalierungsparameter总是汪汪汪ganzzahlige Zweierpotenzen diskretisiert,2^jj = 1, 2, 3,…,苏打水死Zahl der是的pro Oktave总是1坚持。死Differenz说是静脉Skalierungen再见日志₂斯卡拉betragt毛皮diskrete Wavelet-Transformationen总是1。Beachten您,dass死亡一张sehr祝grobere Abtastung Skalierungsparameters年代是als贝der类。Außerdem是der Translationsparameter der dezimierten版本(麻省理工学院将采样)der diskreten小波变换(DWT)总是苏珥Skalierung成比例。死bedeutet dass贝der Skalierung2^j总是一张翻译冯2^j米durchgefuhrt将,wobei米明信片不消极ganze Zahl坚持。贝不dezimierten diskreten Wavelet-Transformationen体育运动modwt和swt是der Skalierungsparameter auf Zweierpotenzen beschrankt,河口der Translationsparameter这ganze Zahl是不是贝der类。Das diskretisierte小波毛皮死DWT帽子folgendes格式:

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ (\frac{1}{2^{j}} (n - 2^{j} 米)) 。$

。Das diskretisierte小波毛皮死错dezimierte diskrete小波变换包括z。b . MODWT坚持

$\frac{1}{\sqrt{2^{j}}} ψ (\frac{n - 米}{2^{j}}) 。$

。

Zusammenfassung:

死CWT和死diskreten Wavelet-Transformationen unterscheiden西奇im Hinblick改模艺术和威尔斯,衡量Skalierungsparameter diskretisiert将。死CWT verwendet normalerweise exponentielle Skalierungen麻省理工学院静脉基础kleiner als 2 z。B。2^1/12。死diskrete小波变换verwendet总是exponentielle Skalierungen麻省理工学院der基础2。死Skalierungen der diskreten小波变换信德Zweierpotenzen。Beachten您,dass贝der physikalischen解释der Skalierungen sowohl毛皮死CWT als欧什毛死diskrete小波变换在Abtastintervall des信号berucksichtigt了混乱,sofern es不gleich 1。Angenommen那些,您verwenden死类和有死的基础 ${年代}_{0} = 2^{1 / 12}$ festgelegt。该死死Skalierung报道aussagekraftig将,得您一张Multiplikation麻省民主党Abtastintervall $Δ t$ vornehmen、汽水静脉Skalierungsvektor der unt Berucksichtigung des Abtastintervalls大约竞争者Oktaven umfasst, ${年代}_{0}^{j} Δ t j = 1, 2, \dots 48$ betragt。Beachten您,dass das Abtastintervall死Skalierungen multipliziert, es besteht凯文exponentieller Zusammenhang。毛皮diskrete Wavelet-Transformationen是死Basisskalierung音麦2。
死dezimierte和死错dezimierte diskrete小波变换unterscheiden西奇im Hinblick auf死艺术和威尔斯,衡量Translationsparameter diskretisiert将。贝der dezimierten diskreten小波变换(DWT) erfolgt死翻译总是麻省理工学院einem ganzzahligen Vielfachen der Skalierung,2^j米。贝der不dezimierten diskreten小波变换信德Translationen ganzzahlige Verschiebungen。

这Unterschiede贝der Diskretisierung冯Skalierung和翻译有伏尔——Nachteile毛皮请来两Wavelet-Transformationsklassen死去。这张Unterschiede bestimmen欧什Anwendungsfalle死去,在denen死一张小波变换wahrscheinlich bessere Ergebnisse liefert als死安德利果汁。Wichtige Konsequenzen der Diskretisierung der Skalierungs——和Translationsparameter信德美国。:

死DWT stellt一张sparsame Darstellung祝naturlicher Signale bereit。麻省理工学院anderen Worten:死wichtigen Merkmale祝naturlicher Signale了军队一张Teilmenge冯DWT-Koeffizienten erfasst,死在der Regel祝kleiner是als das Originalsignal。Hierdurch将das信号„komprimiert”。贝der DWT erhalten您总是死gleiche Anzahl冯Koeffizienten是不是im Originalsignal,但有der Koeffizienten能帮您杯温特nahe 0。大刀您能这Koeffizienten oft weglassen和有trotzdem还有qualitativ hochwertige近似一个das信号。贝der CWT wechseln您·冯·N Abtastwerten皮毛静脉信号der兰格祖茂堂静脉M-mal-N-Matrix冯·Koeffizienten wobei M gleich der Anzahl der Skalierungen坚持。死CWT这hochredundante转换。Es有一张erhebliche Uberlappung说是小波,sowohl innerhalb静脉einzelnen Skalierung als欧什说是Skalierungen。毛死Berechnung der CWT和死Speicherung der Koeffizienten了wesentlich mehr Rechenressourcen benotigt als贝der DWT。死亡不dezimierte diskrete小波变换是ebenfalls冗余,但der Redundanzfaktor协助der Regel deutlich kleiner als贝der CWT, da der Skalierungsparameter不那么费恩diskretisiert将。 Bei der nicht dezimierten diskreten Wavelet-Transformation wechseln Sie von N Abtastwerten zu einer L+1-mal-N-Matrix von Koeffizienten, wobeilEbene der转换是死亡。
死strikte Diskretisierung冯Skalierung和翻译在der DWT sorgt水平,dass死DWT一张orthonormale转换是(贝Verwendung进行orthogonalen小波)。在der Signalanalyse Orthonormale Transformationen您有Vorteile。有Signalmodelle bestehen来自einem deterministischen信号和weißem Gauß'schem Rauschen。orthonormale转换verwendet这张艺术·冯·信号als Eingabe和有死auf das信号angewendete转换+ weißes Rauschen来自。麻省理工学院anderen Worten:一张orthonormale转换nimmt weißes Gauß'sches Rauschen和汪汪汪有weißes Gauß'sches Rauschen来自。Das Rauschen是贝Eingabe和Ausgabe unkorreliert。模具是在十分Bereichen der statistischen Signalverarbeitung冯Bedeutung。Im Falle der DWT将das relevante信号der Regel军队einige wenige DWT-Koeffizienten großer Großenordnung erfasst,当das Rauschen在十分感谢克雷能DWT-Koeffizienten resultiert, entfernt了可以在死去。您要是线性代数studiert您,您有zweifellos Vorteile der Verwendung冯Orthonormalbasen贝der分析和Darstellung冯Vektoren kennengelernt。死小波在der DWT信德麻省理工学院orthonormalen Vektoren vergleichbar。 Weder die CWT noch die nicht dezimierte diskrete Wavelet-Transformation sind orthonormale Transformationen. Die Wavelets in der CWT und der nicht dezimierten diskreten Wavelet-Transformation werden technisch als Frames bezeichnet; sie sind linear abhängige Mengen.
DWT坚持不verschiebungsinvariant死去。Da DWT静脉Downsampling durchfuhrt死去,fuhrt一张Verschiebung des Eingangssignals不祖茂堂静脉einfachen aquivalenten Verschiebung der艾伦Ebenen DWT-Koeffizienten再见。明信片einfache Verschiebung einem信号萤石一张erhebliche Neuausrichtung der Signalenergie在窝DWT-Koeffizienten去Skalierung bewirken。死CWT和死错dezimierte diskrete小波变换信德verschiebungsinvariant。Es有einige Modifizierungen der DWT,是不是死komplexe diskrete Dual-Tree-Wavelet-Transformation,死的死fehlende Verschiebungsinvarianz der DWT ausgleichen。螺母严格采样和采样过量小波滤波器法登您Grundlagenmaterial祖茂堂diesem主题和Thema螺母Dual-Tree复小波变换Beispiel。
死diskreten Wavelet-Transformationen entsprechen diskreten Filterbanken。Konkret handelt西文西奇嗯diskrete Filterbanke在静脉Baumstruktur,贝denen das信号zunachst苏珥Erzeugung冯Tiefpass——和Hochpass-Teilbandern杯Tiefpass——和杯Hochpassfilter durchlauft。Anschließend将das Tiefpass-Teilband iterativ demselben票模式gefiltert,嗯schmalere Oktavband-Tiefpass——和Hochpass-Teilbander祖茂堂erzeugen。在杰德贝der DWT将毛皮死Filterausgaben静脉Downsampling durchgefuhrt aufeinanderfolgenden阶段。贝der不dezimierten diskreten小波变换erfolgt凯文Downsampling Ausgaben。过滤器死去,死的死diskreten Wavelet-Transformationen definieren,您在der Regel努尔一张kleine Anzahl冯·Koeffizienten苏打水模转换效率sehr implementiert了萤石。Sowohl毛皮死DWT als欧什毛死错dezimierte diskrete小波变换benotigen您eigentlich keinen Ausdruck毛皮das小波。模滤波器信德ausreichend。贝der CWT是死了不下降。毛死gangigste Implementierung der CWT于是在小波explizit definiert了。 Auch wenn bei der nicht dezimierten diskreten Wavelet-Transformation kein Downsampling des Signals stattfindet, ermöglicht die Filterbank-Implementierung trotzdem eine gute Rechenleistung, die jedoch nicht so gut ist wie die der DWT.
贝窝diskreten Wavelet-Transformationen将das信号去der反演perfekt rekonstruiert。Das bedeutet,您死diskrete小波变换进行信号verwenden和丹mithilfe der Koeffizienten exakte Reproduktion des信号麻省理工学院numerischer Genauigkeit synthetisieren能帮。您可以在一张逆CWT implementieren,但经常是死Rekonstruktion不perfekt。死Rekonstruktion进行信号来自窝CWT-Koeffizienten这wesentlich wenig稳定numerische操作。
在der CWT fuhrt死feinere Abtastung der Skalierungen der Regel祖茂堂静脉Signalanalyse麻省理工学院hoherer Genauigkeit。麻省理工学院der CWT您能Transienten Ihrem信号besser lokalisieren奥得河oszillatorisches Verhalten genauer beschreiben als麻省理工学院窝diskreten Wavelet-Transformationen。

Weitere Informationen祖茂堂Wavelet-Transformationen和Anwendungen法登您螺母

Leitlinien毛皮kontinuierliche小波变换和diskrete小波变换

Basierend auf民主党vorherigen Abschnitt法登您昨天einige grundlegende Leitlinien皮毛还没有死去,ob一张diskrete奥得河kontinuierliche小波变换verwendet了sollte。

您要是Anwendung一张moglichst sparsame Signaldarstellung皮毛Kompression, Rauschunterdruckung奥得河Signalubertragung erfordert, sollten您死DWT麻省理工学院wavedecverwenden。
您要是Anwendung一张orthonormale转换erfordert verwenden您死DWT麻省理工学院einem der orthogonalen Wavelet-Filter。死orthogonalen Familien der小波工具箱™了im Wavelet-Manager (wavemngr肌萎缩性侧索硬化症)小波Typ 1 ausgewiesen生效。Folgende fundierte orthogonale Wavelet-Familien信德integriert: Best-localized Daubechies (“提单”),Beylkin (“beyl”),Coiflets (“头巾”),Daubechies (“数据库”),Fejer-Korovkin (“颗”)、哈雾(“哈雾”(韩),线性相位时刻“汉”),莫里斯最小带宽(“m”),Symlets (“符号”)和Vaidyanathan (“乌”)。明信片Liste der小波在窝einzelnen Familien法登您螺母wfilters。Weitere Informationen法登您螺母民意调查进行小波和waveinfo。
您要是Anwendung一张verschiebungsinvariante转换erfordert您河口dennoch一张perfekte Rekonstruktion和一杯gewisses Maß一个Recheneffizienz benotigen, sollten您一张不dezimierte diskrete小波变换体育运动modwt奥得河风景明信片Dual-Tree-Transformation是不是dualtreeverwenden。
《国际卫生条例》要是primares ziel4一张detaillierte Zeit-Frequenz——(Skalierungs)分析奥得河风景明信片prazise Lokalisierung冯Signaltransienten坚持,verwenden您类。静脉Beispiel毛皮一张Zeit-Frequenz-Analyse麻省理工学院der CWT法登您在螺母CWT-Based时频分析。
Zum Entrauschen进行信号的军队Schwellenwertbildung毛皮Wavelet-Koeffizienten verwenden您Funktion死去wdenoise奥得河死应用小波信号降噪。wdenoise和小波信号降噪stellen Standardeinstellungen bereit,死您汪汪汪Daten angewendet了能帮,和verfugen超级einfache Schnittstelle祖茂堂静脉Vielzahl冯Rauschunterdruckungsmethoden。麻省理工学院《应用您能Signale visualisieren和entrauschen死Ergebnisse vergleichen。Beispiele毛皮das Entrauschen进行信号法登您螺母消除干扰信号使用默认值和消除干扰信号的小波降噪信号。Verwenden您zum Entrauschen冯Bildern Funktion死去wdenoise2。静脉Beispiel法登您螺母去噪信号和图像。
您要是umfassende Kenntnisse超级死statistischen Eigenschaften der Wavelet-Koeffizienten benotigen, sollten您一张diskrete小波变换verwenden。死statistischen Eigenschaften der CWT了aktuell intensiv untersucht,河口derzeit有es祝mehr Verteilungsergebnisse毛皮死diskreten Wavelet-Transformationen。Der Erfolg Der DWT贝Der Rauschunterdruckung是großtenteils auf unser Verstandnis我statistischen Eigenschaften zuruckzufuhren。静脉Beispiel Schatzung Hypothesentests麻省理工学院和静脉不dezimierten diskreten小波变换法登您螺母小波分析的财务数据。

Kontinuierliche和diskrete Wavelet-Transformationen

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