简化高阶植物模型
这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™通过简单的低阶模型来近似高阶工厂模型。
介绍
鲁棒控制工具箱提供的工具来处理大型号如：
高阶植物:详细的第一性原理或你的工厂的有限元素模型往往是高阶的。为了进行仿真或控制设计，我们通常希望简化这些模型。
高阶控制器:鲁棒控制技术通常产生高阶控制器。这是常见的，例如，当我们使用频率加权函数来形成开环响应。我们将希望简化这些控制器的实现。
出于控制的目的，一般足有接近交叉频率点的精确模型。对于仿真，它是足以捕捉基本动力学在激励信号的频率范围。这意味着，它往往可以找到高阶机型的低阶近似。鲁棒控制工具箱提供了多种模型还原算法，以最适合您的需求以及模型的特点。
模型约简过程
模型简化任务通常包括以下步骤:
从时域或频域响应分析模型的重要特性
步或波德为例。通过绘制原始模型的汉克尔奇异值(
hankelsv），以确定哪些模式（状态）可以在不牺牲关键特性被丢弃。选择一个约简算法。在工具箱中可用的一些减少方法是:
balancmr,bstmr,schurmr,hankelmr,中心
我们可以通过顶层接口轻松访问这些算法减少。该方法采用原始和简约模型之间的“亲密”的不同的措施。选择是依赖于应用程序。让我们尝试他们每个人来调查他们的相对优点。
验证：我们通过简化模型的动态比较原始的验证我们的结果。我们可能需要如果结果不令人满意，以调整我们还原参数（型号顺序，算法，误差范围等的选择）。
例如:建筑物刚体运动的模型
在这个例子中，我们应用的还原方法洛杉矶大学医院建设的典范。该模型是从SLICOT工作注意2002-2采取“基准的例子一件收藏品为线性时不变的动力系统模型简化”，由Y. Chahlaoui和P.V。Dooren。它有八层，每三个自由度 - 两个位移和旋转一圈。我们代表用于使用48状态模型，其中每个状态代表一个位移或它的变化（速度）的速率这些位移的任一项所述的输入输出关系。
让我们为例子加载数据:
加载buildingData.mat
考察植物动态
我们从分析模型的频响开始:
波德(G)网格在
图1:用波德图分析频率响应
如从该模型的频率响应观察到的，系统在于3-50弧度的频率范围的基本动力学/秒。幅度降至同时在非常低，高频率范围。我们的目标是找到可以保留在该频率范围内的信息内容，以在可接受的准确水平低阶模型。
计算汉克尔奇异值
要了解该模型的状态可以安全地丢弃，看看模型的汉克尔奇异值：
hsv_add = hankelsv (G);标题栏(hsv_add) (“模型的汉克尔奇异值(G)”);包含(“国号”) ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”)行([10.5 10.5]，[0 1.5e-3]，“颜色”,“r”,“线型”,' - ',“线宽”1)文本(6日,1.6 e - 3,“10占主导地位的国家。”)
图2:模型的Hankel奇异值(G)。
汉克尔奇异值图表明，该系统存在四种主要模式。然而，其余模式的贡献仍然是显著的。我们将在10个状态处划线，并丢弃剩余的状态，以找到一个10阶的简化模型GR最接近原始系统G。
使用加性误差限制执行模型缩减
这个函数减少是通往工具箱中的所有可用的模型简化程序。我们将使用默认值，平方根平衡截断（“balancmr”）的选项减少作为第一步。这种方法使用一个“附加的”误差限制来减少，这意味着它试图保持绝对近似误差一致地小跨频率。
%计算10阶简化模型(reduce默认使用balancmr方法)[Gr_add, info_add] =减少(G, 10);现在％原车型G比较简化模型Gr_add波德(G,“b”，Gr_add，“r”）网格在标题（'比较原始(G)与简化模型(Gr\_add)')传说('G - 48-状态原始','Gr\_add - 10状态还原','位置',“东北”)
图3:原始(G)与简化模型(Gr_add)的比较
使用乘法误差界执行模型缩减
如图3中从Bode图看到的，减小的模型捕获共振低于30弧度/秒相当好，但是匹配在低频区域（<2弧度/秒）是很差。此外，减少的模型不完全捕获在30-50弧度/秒的频率范围内的动态。在低频率的误差较大的可能解释是在这些频率模型的相对低增益。因此，即使在这些频率误差较大贡献不大总体误差。
为了解决这个问题，我们可以尝试乘法误差方法，如bstmr。该算法强调的是相对误差，而不是绝对误差。因为当增益接近于零时，相对比较不起作用，所以我们需要增加一个最小增益阈值，例如通过增加一个馈通增益D我们原来的模型。假设我们不会在低于-100 dB的增益关心的错误，我们可以穿通设置为1E-5。
GG = G;GG.D = 1 e-5;
现在，让我们看看乘法(相对)错误的奇异值(使用的“mult”选项)hankelsv)
hsv_mult = hankelsv（GG，“乘”);巴（hsv_mult）标题（“模型的乘法误差奇异值(G)”);包含(“国号”) ylabel (“奇异值(\ sigma_i)”)
图4:模型乘差奇异值(G)
一个26阶的模型看起来很有希望，但是为了与之前的结果进行比较，让我们坚持降低10阶。
%使用bstmr算法选择模型缩减[Gr_mult, info_mult] =减少(GG 10“算法”,“英国”);现在％原车型G比较简化模型Gr_mult波德(G, Gr_add Gr_mult,{1飞行,1 e4}),网格在标题（'比较原件（G）到缩减的模型（GR \ _add和Gr \ _mult）')传说('G - 48-状态原始',Gr \ _add (balancmr)”,Gr \ _mult (bstmr)”,'位置',“东北”)
图5:原始(G)与简化模型(Gr_add和Gr_mult)的比较
乘法误差法对原始模型和简化模型的拟合效果要好得多，即使在低频情况下也是如此。我们可以通过比较步骤响应来证实这一点:
步骤（G，Gr_add，Gr_mult，15）%阶跃响应，直到15秒传说（“G: 48州原件”,'的Gr \ _add：10状态（balancmr）',“Gr \ _mult:十余个州(bstmr) ')
图6:三种模型的阶跃响应
验证结果
所有的算法都给出了逼近误差的界限。对于加法误差方法，比如balancmr，该逼近误差由误差模型的峰值（最大）增益测量G-Greduced在所有频率。这个峰值增益也被称为误差模型的h -∞范数。加法误差算法的误差界如下:
其中的和是所有丢弃的汉克尔奇异值G（条目11至48的hsv_add)。通过比较不等式两边，可以证明满足这个界:
规范(G-Gr_add正)%实际误差
ans = 6.0251 e-04
％的理论结合的（存储在“INFO”的“ErrorBound”字段由归国％结构|减少|）info_add.ErrorBound
ans = 0.0047
对于乘法误差方法，如bstmr时，近似误差由相对误差模型的频率增益峰值测量G \ (G-Greduced)。误差界是这样的
其中总和是在丢弃乘法汉克尔奇异值通过计算hankelsv (G,“乘”)。同样，我们可以比较简化模型的这些边界Gr_mult
规范(GG \ (GG-Gr_mult)、正)%实际误差
ans = 0.5949
%的理论束缚info_mult.ErrorBound
ANS = 473.2954
绘制确认相对误差
bodemag (GG \ (GG-Gr_mult){1飞行,1 e3})网格在文本(0.1,-50,'峰值增益：-4.6分贝（59％）在17.2弧度/秒')标题(‘原始模型(G)与简化模型(Gr\_mult)的相对误差’)
图7:原始模型(G)与简化模型(Gr_mult)的相对误差
从上面的相对误差图可以看出，在17.2 rad/s时，相对误差高达59%，这可能超出了我们的接受范围。
选择与期望的精度水平相匹配的最低顺序
提高…的准确性Gr_mult(我们需要增加订货量。)为了达到至少5%的相对精度，我们能得到的最低阶数是多少?这个函数减少可以自动选择符合我们期望精度水平的最低阶模型。
％指定最多5％的近似误差的[gre,信息]=减少(GG,“ErrorType”,“乘”,'MaxError值', 0.05);大小(gre)
状态空间模型与1个输出，1个输入端和34点的状态。
该算法选择了一个34状态的约简模型GRED。实际误差与理论界比较:
范数（GG \（GG-GRED），INF）
ans = 0.0068
info.ErrorBound
ans = 0.0423
看看相对误差大小作为频率的函数。更高的精度已经达到了一个更大的模型订单(从10到34)的代价。值得注意的是，实际最大误差为0.6%，远低于5%的目标。这种差异是函数的结果bstmr使用错误边界而不是实际错误来选择顺序。
bodemag (GG \ (GG-Gred) {1 1 e3})网格在文本(-75,峰值增益:-43.3 dB (0.6%)， 73.8 rad/s)标题(原始模型(G)和简化模型(Gred)之间的相对误差)
图8：原始模型(G)与简化模型(Gred)的相对误差
比较博德的反应
波德(G, gre,{1飞行,1 e4})网格在传说（“G - 48州原稿”,'GRED - 34-状态减小')
图9:48状态的原始模型的伯德图和34态简化模型
最后，比较原始模型和简化模型的阶跃响应。它们实际上是无法区分的。
步骤(G,“b”，GRED，'R--'，15）%阶跃响应，直到15秒传说（“G: 48州原件”,“gre: 34-state (bstmr) '）文本（5，-4E-4，‘最大相对误差<0.05’)
图10:48状态原始模型和34状态简化模型的阶跃响应图
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