求渐近线、临界点和拐点

这个例子描述了如何分析一个简单的函数来找出它的渐近线、最大值、最小值和拐点。

定义一个函数

这个例子中的函数是

$f （ x ）＝ \frac{3. x^{2} + 6 x - 1}{x^{2} + x - 3.} ．$

首先，创建函数。

信谊xNum = 3*x^2 + 6*x -1;n = x^2 + x - 3;f = num /分母项

f =
                 
                   $\frac{3. x^{2} + 6 x - 1}{x^{2} + x - 3.}$

使用fplot．的fplot函数自动显示垂直渐近线。

fplot (f)

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个functionline类型的对象。

找到渐近线

求…的水平渐近线 $f$ 数学上，取极限 $f$ 作为 $x$ 方法正无穷。

限制(f,正)

ans =
                  $3.$

的极限 $x$ 趋近于负无穷也是3。这个结果表示直线 $y ＝ 3.$ 水平渐近线是到 $f$ ．

求的垂直渐近线 $f$ ，让分母等于0，然后解它。

根=解决(分母项)

根=
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \end{array} ）$

根表示垂直的渐近线就是直线

$x ＝ \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2}$

和

$x ＝ \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}$ ．

求最大值和最小值

从图表中可以看出 $f$ 点之间有局部最大值吗 $x ＝ - - - - - - 2$ 和 $x ＝ 0$ ．它也有一个局部最小值 $x ＝ - - - - - - 6$ 和 $x ＝ - - - - - - 2$ ．找到 $x$ -最大值和最小值的坐标，首先求导 $f$ ．

f1 = diff (f)

f1 =
                 
                   $\frac{6 x + 6}{x^{2} + x - 3.} - \frac{(2 x + 1) (3. x^{2} + 6 x - 1)}{{(x^{2} + x - 3.)}^{2}}$

为了简化这个表达式，输入以下内容。

f1 =简化(f1)

f1 =
                 
                   $- \frac{3. x^{2} + 16 x + 17}{{(x^{2} + x - 3.)}^{2}}$

接下来，设导数为0，解出临界点。

crit_pts =解决(f1)

crit_pts =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{\sqrt{13}}{3.} - \frac{8}{3.} \\ \frac{\sqrt{13}}{3.} - \frac{8}{3.} \end{array} ）$

如图所示 $f$ 表示，函数有一个局部最小值为

$x_{1} ＝ \frac{- 8 - \sqrt{13}}{3.}$

和一个局部最大值

$x_{1} ＝ \frac{- 8 + \sqrt{13}}{3.}$ ．

画出最大值和最小值f．

fplot (f)在情节(双(crit_pts)双(潜艇(f, crit_pts)),“罗”)标题(f的最大值和最小值)文本(-4.8,5.5,局部最小值的)文本(2、4、当地最大的)举行从

图中包含一个坐标轴。标题为f的最大值和最小值的轴包含4个类型为functionline, line, text的对象。

找到转折点

找到…的拐点 $f$ ，设二阶导数为0，解出这个条件。

f2 = diff (f1);inflec_pt =解决(f2,“MaxDegree”3);双(inflec_pt)

ans =3×1复杂-1.3682 - 0.8511i -1.3682 + 0.8511i

在这个例子中，只有第一个元素是实数，所以这是唯一的拐点。MATLAB®并不总是以相同的顺序返回方程的根。

而不是通过索引到选择真正的根inter_pt，通过确定哪些根有一个零值的虚部来确定实根。

Idx = imag(double(inflec_pt)) == 0);inflec_pt = inflec_pt (idx)

inflec_pt =
                 
                   $- \frac{13}{9 {(\frac{169}{54} - \frac{\sqrt{2197}}{18})}^{1 / 3.}} - {(\frac{169}{54} - \frac{\sqrt{2197}}{18})}^{1 / 3.} - \frac{8}{3.}$

画出拐点。额外的参数(9 - 6)在fplot扩展的范围 $x$ 值，以便您可以更清楚地看到拐点，如图所示。

fplot (f,[6] 9日)在情节(双(inflec_pt)双(潜艇(f, inflec_pt)),“罗”)标题(“f的拐点”1)文本(7日,“拐点”)举行从

图中包含一个坐标轴。标题为拐点f的轴包含3个类型为functionline, line, text的对象。

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