你好，很好的功能，谢谢!
不过我有个小问题……当你使用polyn2sympoly(p)提取的系数时，这些系数有几个较小的小数，使用它们的拟合不会很好。我怎么解决这个问题呢?请

当两个独立变量的大小不同时，是否有可能让它工作?我有一个多维数组，我想适合，但为了不同的目的，我的自变量向量有不同的长度!

非常漂亮的工具箱!我有一个问题;有没有办法为每个indepvar指定ModelTerms的特定顺序?假设我将函数调用为:
p = polyfitn([X(:)，Y(:)，Q(:)]， Z(:)， 2);
p.ModelTerms变成:
2 0 0
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 2 0
0 1 1
0 1 0
0 0 2
0 0 1
0 0 0

但如果我想要Y和Q的顺序都是1而不是2，我将不得不手动构建modelTerms矩阵等于:
2 0 0
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0

有没有办法让函数自动解析这个?

当我尝试用三个输入来拟合多项式模型时，我得到了这个错误" error using betainc .
Z必须是实数
非负。

polyfitn(行)错误
266)
polymodel。p =
betainc (polymodel.DoF. / (t ^ 2
+
polymodel.DoF)、polymodel.DoF / 2 1/2);”。但实际上，所有的输入都是实数且非负的。有人知道问题出在哪里，如何解决吗?

精彩分享，约翰·迪里科。但是有一个小小的疑问，当我们使用高阶多项式来建模大型数据集的时候，自变量矩阵的列变得线性相关，矩阵变得奇异。
i.我们可以在polyfitn的第232-241行中对法线使用伪逆代替吗?
2但是，这会导致某些系数的方差变为零，t统计量变为NaN，如何克服这个问题呢?

看起来棒极了，似乎非常准确(与我手动计算的几个相比)。但这是简单的如此好包装，你得到所有你需要在一个点击!伟大的工作!

亲爱的,约翰D 'Errico
感谢您分享您的有益代码
你能解释一下你用来求项数的方程吗?实际上，根据下面的公式，我成功计算出了二次模型的项数(系数)

No = (n+2)(n+1)/ 2% n为变量个数
目前，如果我使用3度或更多，我在计算系数的数量上面临一个问题。你能帮帮我吗?

问候

有人知道如何在gpu上运行这个函数吗?

谢谢你的工作。你知道如何使用多项式作为被接受的优化函数(例如fminimax)吗?多变量的输入必须在这里向量化。

这很好。拇指。

项[1,1,10]是一个三阶项，至少在polyfitn看来是这样。这是一个三方相互作用的术语。如果您想在您的模型中使用该术语，您可以始终指定该模型。

伟大的工作!我只有一个问题。当我看modelterms是如何生成的，让我们说:
阶= 2;
P = 4;
我们得到:
modelterms =
2 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 2 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 2
0 0 0 1
0 0 0 0
varlist = {'X1'} {'X2'} {'X3'} {'X4'}
我的问题是为什么缺少一些组合，例如:
1 1 1 0
1 0 1 1

我仍然是这个套餐的忠实粉丝!

嗨,约翰!了不起的工作!我是MatLab的初学者，我试着用你的工具来得到曲线的方程。我有两组点x和y，其中命令图(x,y)产生所需曲线(https://imgur.com/a/Nq7pQXA)．我要的是这条曲线的方程。能用你的工具做吗还是我全搞错了?非常感谢:)

请在以下地址找到该函数的更正版本，该函数采用Massimo Ciacci解，并在确定系统时修复betainc错误(Ndata == Nterms)。
http://ecco-qua.modexpeng.com/?fi=IVAp1nE6iR&fn=polyfitn.m

希望能帮助到别人

在第419行发现了一个简单的错误:
------------
如果没有这个修复，它会触发一个解析错误，比如'Y^2*X^2'
K > > pTot = polyfitn ([YY (:), XX (:)), Zfunc (:), Y Y ^ 2 Y * X ^ 2 Y ^ 2 * X ^ 2”)
使用polyfitn> parsemmodel错误(第379行)
变量不是有效名称:'2'
------------
解决办法:
Term = Term (1+k1:end);修复解析错误
%term(k1(1)) = ' ';

------------

在此修正中，指数部分也从项字符串中消耗，而不留下类似于
“X ^ 2 * X ^ 2”
“^ 2 * X ^ 2”
'2 X^2' <——错误
'X^2' <——对

这太棒了!它像符咒一样有效。对于那些有一维向量x y和矩阵Z的人，这样做可能会有帮助
(X, Y) = ndgrid (X, Y);
p = polyfitn ([X (:), Y(:))、Z(:),“恒X1 X1 ^ 2 X2 ^ X1 * X2”)%
感谢这个伟大的工具!

请问，如何解决“betainc”错误?

发现这个工具非常有用!
幂律的拟合也适用吗?如果是，它的语法是什么?提前谢谢!

抱歉，刚发完这条消息，我终于找到了“下载”…——“无论如何还是要谢谢你

在这里，在文件交换中，我发现了工具“permn”。
permn (0:2, 2)
给出一个完整二次型模型的全部9项。

伟大的工具!
然而，我注意到，如果我使用polyfitn([x1 x2]， y, 2)，模型项不包含混合项[2 1]和[1 2]。只使用混合术语[1 1]。这是有意的吗?还是一个bug?

@Jacob如果你的数据被组织在一个10x10的网格中，你的x, y和z向量都有100个值。X和y将有每个不同的网格值重复10次。这与使用scatter3绘图函数的格式相同。这样做更有用，因为它不需要将x和y值组织成网格。

@Chad:
谢谢乍得!是的，我最终弄明白了，但我还是不明白z怎么可能是x - y平面上的数据分布当它的大小不是n_x x n_y?

@Jacob:
polyfitn的语法要求在polyfitn(x,y,z…是列或行向量，而不是网格。

嘿,约翰,
谢谢这个功能!我有一个问题:由于我绝对缺乏Matlab知识，我不能得到我的头围绕以下:我有一个(x,y)平面/网格-让我们说10x10 -和z=f(x,y)的测量数据点。所以z是一个10x10矩阵，有100个元素。每当我尝试polyfitn([x,y]， z, 3) Matlab告诉我z必须是一个向量，而不是一个矩阵。你的“手册”说z的大小必须是nx1，其中n的大小是x或y。但我不明白为什么z只能有10个条目而不是10^2。如果你能帮我就太好了。雅各干杯

非常感谢!

嗨,约翰,
谢谢你的polyfitn工具箱，它很有帮助!

我正在处理一个有4-5个输入参数(从Excel-File导入，一个列向量)和一个其他参数所依赖的参数的问题。
我用CF工具箱用两个参数验证了我的函数。
当我尝试使用第三个输入参数时，我得到了一个警告:

警告:矩阵接近奇异或缩放严重。结果可能不准确。RCOND = 1.794064e-17。

另外，我检查了R2(=0.9495)，结果在我看来调整得太好了。

你能想到一个可能的方法来解决这个问题吗，还是我错过了什么?
我以为工具箱是专门用来处理多维问题的。

如果你能想到任何可以帮助我的事情，我会非常感激!

非常感谢，
欢呼声托拜厄斯

这是我的代码。

x = Durchmesser3;
y = Plattendicke3;
w = EModulNiet3;
z = Kraft3;

P = polyfit([x,y,w]，z,2);

如果存在('sympoly') == 2
polyn2sympoly (p)
结束
如果存在('sym') == 2
polyn2sym (p)
结束

@Ramon:

A + b*√(x):
polyfitn (x, y) (0; 1/2))

A + b/x:
polyfitn (x, y, [0, 1])

约翰! !谢谢。不用多说了，我要给它编程。谢谢!；）

它是多拟合函数，能够拟合如下函数:

A + b*√(x)或者A + b/x

?

非常感谢这个工具箱，帮助很大!

它是否能够替代统计工具箱中的逐步eglm功能?

有没有具体的会议论文解释polyfitn的整个过程?
深入研究算法，而不是试图理解代码，真的会有帮助。
谢谢

有没有人有在3d中如何使用这个的例子?

谢谢!

我在寻找一种用多项式来拟合3D场的方法。这个函数完美而快速地解决了任务。

谢谢分享!

嗨,约翰!我是Matlab的初学者。我需要找到一个多项式拟合的曲面，有两个向量x和y。

X是1x191 y是1x51。

然后有平面z，它的尺寸是51x191。

我可以用:
表面(x, y, z)

但是我不明白我怎么能用你的文件来找到我的方程。

谢谢你的回答!

我已经克服了新手，现在成功地使用了它。完整的魔法!谢谢你！

嗨,约翰,
我可以开始说，我是一个严重的matlab新手。我有三组记录的数据，我使用分散插值和网格创建一个表面图。现在我想求出这个曲面的公式。但当输入三个数据集时，我得到“错误使用betainc
Z必须是实数
非负。

polyfitn(行)错误
266)
polymodel。p =
betainc (polymodel.DoF. / (t ^ 2
+
polymodel.DoF)、polymodel.DoF / 2 1/2);“

Z变量都是25到26的正数。我不确定使用三个特定的数据集与从函数中获取数据相比是否存在问题。

多谢。

咪咪-我不知道你在问什么。

你是在问是否只有一个变量x，而有多个y向量?Polyfitn不是为解决这种形式的问题而设置的，但它只是Polyfitn内部的一个循环。我想我可以写polyfitn来循环y的列。这是我下次发布一个版本的想法。：）

问题是你是使用polyfitn来简单地计算回归系数，还是你想要整个9码，即标准误差，R^2等。

例如，如果你的问题和你描述的一样简单……

假设x是数据的一个nx1列向量，自变量向量，适用于所有问题。Y是一个NXP阵列，所以有p个单独的问题需要解决。那么回归系数很容易得到:

Ab = [ones(n,1)，x(:)]\y;

数组ab将是一个2xp数组，其中ab的每一列是一组回归系数。ab的第一行是每个问题的常数项。

A = ab(1，:);
B = ab(2，:);

同样，它没有提供任何统计数据，如R^2等。但这是我认为你提出的问题的一个简单的解决方案。

嗨,约翰,
这个函数很神奇。我刚刚遇到了一个问题，是否有可能找到多元线性回归的形式为" y(I)=a(I)+b(I) "。X”，只有一个变量X，通过找到向量a(i)和b(i)?

假设和是变量，那么就这样做:

MDL = polyfitn([phi(:)，theta(:)]，z(:)，2);

您可能需要使用meshgrid或ndgrid(如果合适的话)来生成和。

嗨,伙计们!我一直在一个3D图中工作，(从- /3到/3的点)和相同，并且每个点都有一个值(z)，所以最后我得到了和的每个可能组合的矩阵。我想多项式地近似于函数和的矩阵中的点。我看了多fitn但你必须放的点(z)不可能是一个矩阵。Polyfit也不行因为它只适用于2D (，z)或(teta,z)

不错的工作!

这里没有超出基本的东西。(我承认基本是因人而异的。)就是经典的多元线性回归。可以参考Draper和Smith关于回归分析的文章。因此，只要您为模型准备了适当的设计矩阵，stats工具箱中的任何工具都可以完成同样的工作。

亲爱的约翰

谢谢你的好工具。我正在积极地使用它，而且效果很好。我想学习你使用的方法。我想知道你是否知道我在哪里可以找到相关的理论。

欢呼,

塞巴斯蒂安。

你好约翰,
非常感谢你的精彩剧本。它非常非常好用!

但是，我有一个问题是关于一个稍微难一点的问题…实际上，我使用matlab fit()与以下代码(其中arr_node_coords_y， _x和arr_temperaturefield为33x5-Matrices)执行数据拟合:

[xData, yData, zData] = prepareSurfaceData(arr_node_coords_y, arr_node_coords_x, arr_temperaturefield);

设置适合类型和选项。
Ft = fittype('poly24');
Opts = fitoptions(ft);

%拟合模型与数据。
[fitresult, gof] = fit([xData, yData]， zData, ft, opts);

%的阴谋
Subplot (2,2,2);
h = plot(fitresult， [xData, yData]， zData);
轴([0 2.5 0 8 20 60]);
xlabel('Width [m]');
ylabel('Height [m]');
zlabel('温度[°C]');
标题(“适合的温度”);
网格;
Daspect ([8 8 60]);
colorbar;

．.．怎么可能用polyfitn()执行同样的事情?．.．-我尝试了几种方法，但不幸的是，我没有找到一个有效的解决方案。

也许有人能帮我…?

你好,约翰
自变量是100x1100x1因变量是100x100也是一个复数。你能帮我用多项式来拟合吗?
虽然我一直试图做polyfitn对角元素的因变量，它显示'错误使用betainc
输入必须是实数、满数和双或
单”。
这意味着什么?我该如何克服这个问题?

@Sagar -但这不是一个多项式模型。所以你不能用多项式模型的工具来拟合任何一般的非线性模型。使用非线性回归工具。曲线拟合工具箱是最简单的选择，但对于初学者来说，在统计或优化工具箱中还有许多其他选择。或者使用像fminsearch或fminbod这样的优化器，但你需要最小化残差的平方和。

你好，功能很好。我们可以这样做:poly_fit = polyfitn(x, y, 3);用于测试输入变量的所有组合(比如x1和x2)。但是如果我想要构造自定义的输入指数，我应该怎么做呢?我想要适合这样的东西:
Poly_fit = 2.3x1^3 + 1.5e^-x2

我该怎么做呢?

修正了NaN问题。很抱歉。

约翰·迪里科的众多优秀作品之一。

如果因变量包含任何nan，则会产生混淆的betainc错误。我建议在代码的早期添加这个错误检查:

断言(sum(isnan(depvar))==0，'因变量不能包含任何nan。')

难以置信的感谢您的贡献!

作品伟大，应该包括在标准包

嗨,约翰,

基于三个输入变量，我用“polyfitn”找到非线性系统的变参数多项式。在三个方程中插入这些多项式，然后我试图“解”他们，但我不能收敛到一个解决方案的插入多项式的不同顺序。

我一直在查看您的文件交换列表，以寻找其他相关的代码。我想知道我是否应该尝试使用一些样条方法而不是'多边形拟合'，但我不确定我如何可以插入它在方程和解决他们。同时也是他们求解三个非线性方程的其他方法。

谢谢

抱歉，但我只能假设Gautam，像Mitch一样，使用的是一个相当老的MATLAB版本。

如果你真的想解决这个问题，你应该提供足够的信息让我知道是不是这样。由于您所描述的测试用例非常完美，正如我在这里所展示的，我的建议是使用一个相对较新的版本，而且由于Mitch说他使用的是一个7年前的版本，并且得到了相同的错误，所以我假设情况就是这样。

如果您确实在使用一个最新的版本，并且仍然有问题，那么我只能假设您没有正确地使用它，或者您安装了其他导致问题的东西。例如，当我执行这个测试时，它运行得很好，但我没有7年前的MATLAB版本，我甚至不能运行这么老的东西。

Indvar = rand(12,2);
Depvar = rand(12,1);
M = [0 0;1 0;0 1;2 0;1 1;0 2;3 0;2 1;1 - 2;0 3];
P = polyfitn(indvar,depvar,m)
p =

ModelTerms: [10x2 double]
系数:[-0.0610 -4.6966 5.5355 27.4400 -24.9658 -0.4228 -32.4825 42.3187 -18.4250 5.9917]
ParameterVar: [12.5177 249.5518 129.5089 850.2142 511.0641 282.0906 504.6530 953.0042 477.2848 209.7347]
ParameterStd: [3.5380 15.7972 11.3802 29.1584 22.6067 16.7956 22.4645 30.8708 21.8468 14.4822]
景深:2
P: [0.9878 0.7943 0.6748 0.4460 0.3845 0.9822 0.2851 0.3040 0.4878 0.7192]
R2: 0.6497
AdjustedR2: -0.9265
RMSE: 0.1327
VarNames: {'' ''}

没有你提供的有用信息，我猜不出问题出在哪里。我在这方面提到的信息将涉及告诉我你有什么MATLAB版本。这将涉及到告诉我完整的错误消息，而不仅仅是错误消息的片段。

顺便说一下，试图将一个只有12个数据点的数据集与一个有10个项的模型拟合将产生一个几乎毫无意义的结果。我认为这是一个大规模过拟合数据的例子。

D'Errico先生，非常感谢你的意见。它看起来很有帮助，除了当我给出一个12 × 2的矩阵作为自变量矩阵和一个12 × 1的列矩阵作为因变量时，它显示了以下结果:
未定义函数或变量"varlist"。

polyfitn错误(第233行)
polymodel。VarNames = varlist;

我使用的模型是:
M = [0 0;1 0;0 1;2 0;1 1;0 2;3 0;2 1;1 - 2;0 3];

任何关于如何让你的功能为我工作的建议将是非常有帮助的，非常感谢。非常感谢。
Gautam。

米奇,

你认为它在你的测试中被正确定义是不相关的。我只是不知道它的定义是什么，因为你给了我除了那个变量之外的所有东西。所以除非你能给我一个可构建的失败的例子，否则我不知道你在做什么。我使用了一个不同的变量名，这完全无关紧要。我可以很容易地把我传入的变量命名为Fred和Barney，它就会运行。

我也不知道那旧的MATLAB版本是否有问题。该网站告诉我，我使用R2007b编写了这个工具，所以它应该适合您，但也可以想象，多年来对它进行的某个mod现在使它在旧版本中失败。这是我不能测试的东西，因为我不能使用老的MATLAB版本。

所以我的第一个建议是运行我给出的测试。验证它是否正常运行。如果它没有运行，那么您需要查看您所拥有的测试中的输入参数有什么不同。或者，如果你不想在网上发布，你可以把你的数据发给我。

如果问题是你的旧版本确实是问题所在，那么你将需要学习使用反斜杠(不是那么难的任务)来解决问题，或者获得stats工具箱的副本。

嗨,约翰,
谢谢您的快速回复。
我很抱歉在我的问题中缺少数据，但我的变量err_func是您的outpar和它被定义。
我检查了所有的变量尺寸，它们都是正确的。
然后我试图复制和过去你的例子，出现相同的错误:

?？?未定义函数或变量"varlist"。

==> polyfitn在232处出错
polymodel。VarNames = varlist;

可能是我的Matlab版本(R2007b)的问题?

提前谢谢
米奇

米奇,

我不知道你在做什么。我最初的猜测是，您试图从编辑器或类似的地方“运行”函数。您不能运行这样的函数，尽管许多人试图这样做。

我确实看到你没有在你的例子中定义变量err_func，但是，所以我真的甚至不能猜出你的错误是什么。

Inpar =兰特(20,2);
Outpar =兰特(20,1);
Model_exp = [1 0;2 0;0 1;1 2];
P = polyfitn(inpar,outpar,model_exp);

这个测试用例运行得很好。

嗨,约翰,
谢谢你的大力投稿。
我试着在我自己的数据上使用它。但我不能设置正确的模型术语参数:

即。

in_par =(ζθ);
Model_exp = [1 0;2 0;0 1;1 2];
P = polyfitn(in_par,err_func,model_exp)

运行后出现以下错误:

?？?未定义函数或变量"varlist"。

==> polyfitn在232处出错
polymodel。VarNames = varlist;

在==> launch_regr在14错误
P = polyfitn(in_par,err_func,model_exp)

你能帮帮我吗?

我想这仍然回避了一个问题，polyfitn是否需要有能力拟合多个右边，也就是，相同的模型，但有多个因变量?

就我个人而言，我发现很少需要这种功能，而且当我们在之前的化身中使用这种功能支持一大批颜色科学家时，它实际上只在构建监视器模型时有用。万博1manbetx从那时起，监视器变得更加复杂，因此线性程度降低。我猜想，使用更复杂的模型可以更好地处理较新的显示器。这对打印机来说当然是真的，它们最好是使用3d查找表，用像我自己的网格匹配工具来匹配。

但事实是，我经常惊讶地发现其他人以我没有预料到的方式使用这些工具。

因此，如果我看到至少有一些人请求这个功能，我会考虑添加它。在那之前，我更喜欢这方面的代码的简单性。(嘿，我应该退休了!)

我完全同意约翰的观点;我没有仔细考虑，就轻率地提出了那个建议。对不起，如果我让你误入歧途了。谢谢约翰的建议和高超的数学工具——它们是无价的!

我很抱歉，但我完全、全心全意地不同意马克给安德森的建议。

具有多个输出变量的系统只需要一个围绕polyfitn的简单循环。这个循环的成本还不足以增加代码的复杂性和接口的复杂性。

相反，建议使用像高斯-牛顿、lsqnonlin或lsqcurvefit等迭代格式，这些都是荒谬的方法。你仍然需要循环，或者你需要用块对角雅可比矩阵产生一个大问题。所有这些都是为了避免一个简单的循环?或者你会写一个循环，只是为了避免循环?注意，在Mark的建议中，您将需要编写一些代码来评估模型。如果你使用像lsqnonlin或lsqcurvefit这样的工具，那么你要么需要提供雅可比矩阵，要么你需要让这个工具多次调用你的目标函数来计算有限差分来生成雅可比矩阵。

不要为了避免一个简单的循环而将迭代工具扔到一个真正可以用基本线性代数解决的问题上。请注意，即使迭代工具会快速收敛，这些工具实际上也会尝试进行多余的迭代，直到它有效地意识到它确实收敛了。这需要一个备用的雅可比矩阵求值。

@安德森，你可以用牛顿拉弗森(//www.tianjin-qmedu.com/matlabcentral/fileexchange/43097-newton-raphson-solver)或者如果你有优化工具箱lsq曲率fit或lsqnonlin (//www.tianjin-qmedu.com/help/optim/nonlinear-least-squares-curve-fitting.html）

这个工具看起来很有用。但我是否正确地理解了它将不适合有多个输出变量的系统?如果是的话，有没有人知道一种工具可以对有多个输出变量的系统进行多项式拟合?

Eran—这对一些人来说可能很有趣，但我认为这将鼓励人们去适应一些要求过高的模型，这是我经常被迫提醒人们不要去做的事情。

因为您的想法需要向代码中添加更多的选项，这将使代码更加复杂。同样，使用该工具也不那么简单，因为如果生成并返回许多模型，那么像polyvaln和polyn2sym这样的工具将不能直接工作，或者还需要修改。

就效率的显著提高而言，请记住，当代码中有更多选项时，对基本用户来说效率就会降低。复杂的代码也更有可能出现意外的错误。

所以我自己不会加入这个增强功能。你自己能做到吗?嗯，是的，理论上可以。为了提高效率，需要在建模过程中添加一个循环，可能使用qrupdate函数从模型中添加或删除术语。我不确定这是否值得在整个代码中进行简单的循环，只是重复调用polyfitn，除非您大量使用该工具。

你好再次,

非常感谢你最后的回答!
当然这是一个愚蠢的问题:)

我还有一个问题，可能有点棘手
假设我有n个点的集合。
我想检查对于每个k当然我可以做一个for循环并得到我的答案…但这是非常低效的。

有没有办法稍微修改一下你的代码，这样就可以工作了?

我认为主要问题在于你如何定义“设计矩阵”。

再次感谢您的快速帮助!

作为一个延续，让我这样解释它，因为这是回归中常见的问题。

当您创建一个y = x/2的数据集时，您的数据位于一个不填充(x,y)平面区域的区域中。相反，它完全在直线y = x/2上。实际上，x和y是完全相互依赖的，给定x，我们知道y的值。

问题是，我们不知道当你的点脱离这条线时z会发生什么，所以没有一个完整模型的系数估计是令人满意的。

为了帮助您理解发生了什么，让我们从您创建的原始函数z开始。

z = 4 + x + x, y ^ 2 + x。*;

把已知的y和z的关系代入z，得到它只是x的函数。

Z = 4 + x + 1.5*x^2

我们可以把z建模为x的函数。

= polyfitn (x, z, 2)
了=
ModelTerms: [3x1 double]
系数:[1.5 1 4]
ParameterVar: [1.5362e-32 1.6407e-28 7.6808e-26]
ParameterStd: [1.2394e-16 1.2809e-14 2.7714e-13]
R2: 1
AdjustedR2: 1
RMSE: 9.327 e-13
VarNames: {X1的}

这里没有任何警告，拟合基本上是完美的，得到了我们预期的系数值。我可以很容易地把z作为y的函数来拟合。

嗨,伊兰,

但是想想你在做什么。

乍一看，我迅速判断x是中等大的，因此这只是一个比例问题。然后我看了看你的问题。这条线就是问题的根源!

Y = x/2

你的模型是x和y的二次方程，也就是说它有x。^2 x。*y和y。^2。当然，你希望polyfitn会告诉你x ^2的系数是零，就像你创建数据时隐含的那样。

但是你创建的y是x的简单倍数，你应该看到x *y == 2*y。^2 == x ^2/2。

世界上没有一个线性代数方案可以智能地恢复这些项的系数，并知道你从哪一组系数开始。解决方案不是唯一的。这就是为什么你会得到关于奇点的警告。你会得到一个答案，但不是唯一的。

这里的故事就是垃圾进来，垃圾出去。您的数据不能充分支持对您希望拟合的模型的估计。万博1manbetx

嗨,乔恩,

非常感谢您提供了如此必要的功能。可惜matlab不支持这个…万博1manbetx

我试着使用这个函数，遇到了一个小问题。
我使用:
x = 0:100;
y = x / 2;
z = 4 + x + x ^ 2 + x.y;
在= (x, y);

= polyfitn (z, 2);

我得到的是一个关于由函数qr产生的矩阵R的奇异性的警告。当然，当我用"\"的时候，它实际上用的是"R"的倒数。
在使用函数"qr"之后，这在行中发生了两次。

你对如何解决这个问题有什么建议吗?

当然，我之所以问这个问题，是因为我知道“polyfitn”产生的系数与你预期的非常不同……

非常感谢!

嗨,亚历克斯,

我觉得你想用ezsurf，而不是ezplot。例如，这对我很有效:

Xy = rand(100,2);
z = 3 + 2 * (xy, 2)总和+总和(xy。^ 2,2)+ 4 *刺激(xy, 2) + randn (100 1) / 10;
模型= polyfitn(xy,z,2);
Fun = polyn2sym(模型);
ezsurf(有趣)

嗨,约翰,

这些功能太棒了!

我用它来建模两个垂直锥体的交点，这为我提供了三维空间中的抛物线。我想知道，是否有一种内在的方法来绘制合适尺寸的拟合曲线?我尝试使用polyn2sym工具，然后使用ezplot，但它不能正确地显示3D曲线。

谢谢,
亚历克斯
Ecosat团队

你好雷蒙德,

这些参数的推导适用于有噪声的模型。例如，假设我在一个点上得到了给定过程的10个测量值。常数模型的最小二乘最佳估计，即y=c，由样本的平均值给出。同时，我们可以在平均值的估计值中计算不确定度的估计值，用它来计算参数周围的近似置信区间。我们可以对更复杂的回归模型做类似的事情，根据数据中感知到的噪声，对模型中的参数和这些参数周围的不确定性进行估计。噪声被认为基本上是模型估计后剩下的东西。再一次，这将给我们对参数本身的标准差的估计。(将所提供的标准差乘以学生的t统计量，得到所需置信水平的近似置信区间。使用大约+/- 2或3 sigma是得到置信区间的常用方法)

事实上，大多数情况下，当你拥有比参数更多的数据点来拟合一个模型时，我们也可以在这些参数中形成对不确定性的估计。当然，你拥有的数据越多越好，因为它可以让我们更好地估计参数。一个很好的事情是我们甚至不需要纯粹的复制来形成对参数不确定度的估计。这种不确定性是基于模型无法预测的数据。

传统上，对于多项式模型，这些标准差估计是决定删除模型中的项的一种方法。如果置信区间包含0作为一种可能性，那么我们可能得出结论，我们无法区分给定参数的所提供的估计值与0。

至少在传统模型中是这样的，我们试图将正确的模型与我们的数据相匹配，而阻碍这一过程的是随机(高斯)噪声的存在。上面的近似也假设参数是独立的，因此根据数据的不同，x和x^2通常不是正交变量。正交性的缺乏在回归估计中引入了相关性，不幸的是，在用于报告的参数标准差的近似中被忽略了。

当模型缺乏拟合时，这种方法还存在其他问题。在这里，我们试图将一个模型与数据相匹配，但实际上，这个过程并不是真正基于该模型。我们选择的模型可能只是接近现实，也可能是完全错误的。假设你有一个曲面，你试图估计一个线性模型。在这种情况下，将缺乏拟合，因为数据没有很好地表示为模型。

当然，线性代数不明白，缺乏拟合不只是纯粹的噪声。数学在这方面有点笨。它不能像我们一样从残差中发现规律。它只是认为残差是纯噪声，并使用标准统计技术使用该噪声对参数中的不确定性进行估计。

最后，我想说的是，这些标准偏差粗略地衡量了软件认为参数估计的好坏，基于你提供的数据，基于几个近似值，基于你对这些数据的模型的有效性。

嗨,约翰,

这是一个伟大的工具!我用它来拟合一个二次函数在三维晶格上的磁场。

我对拟合参数的不确定性感兴趣。将“ParameterStd”解释为这种不确定性是否正确?(如果不是，什么是?)我对如何确定“ParameterStd”有点困惑，因为我没有向代码提供测量不确定度。你能解释一下这个“ParameterStd”是如何计算的吗?

谢谢你！
雷蒙德

对系数的约束不是选项之一。相反，您可以使用lsqnonneg之类的工具对系数进行基本的非负约束。例如，如果x和y是列向量，那么为了得到a和b作为一个向量的非负系数，你可以这样做:

Ab = lsqnonneg([x, x.^2]，y);

对于系数上更复杂的约束，通常需要优化工具箱中的lsqlin这样的工具。例如，如果您只想约束其中一个系数，或者希望约束系数的和，那么lsqlin将很有用。如果没有这个工具箱，就会有其他工具，比如我自己的文件交换lee，它们可以沿着这些方向为您做一些事情，并且通过一些努力，您总是可以将许多一般问题转换为lsqnonneg可以处理的问题。

这太棒了!
有没有办法限制函数的系数为正?
例如，f(x) = a*x + b*x^2对于正a和正b?
提前感谢。

这太棒了!

马丁:你需要列出模型中的术语。例如，要指定一个总阶数不高于3，但y中没有三次项的模型，你可以将modelterms参数指定为

Modelterms = [3 0 .
2 1;
2 0;
1 - 2;
1 1;
1 0;
0 2;
0 1;
0 0]

或者，你可以通过为相同的模型提供一个术语列表作为字符串来实现:

modelterms = ' x ^ 3, x ^ 2 * y, x ^ 2, x * y ^ 2, x * y, x, y ^ 2, y,不变的

嗨，约翰，首先，干得好!
我的问题是，是否有可能对多项式使用两种不同的阶数?因为我设法用一个6阶多项式(n=6)来拟合我的函数(3D)。但是如果用一个多项式来拟合我的函数就更好了，例如一个方向是5，另一个方向是6 (m和n)。
z (x, y) = (n) * x ^ n + b (m) * y ^ m + (n - 1) * x ^ (n - 1) + b (m - 1) * y ^ (m - 1)…

Jeff—polyfitn返回结构的原因是模型可能有些复杂，用户在几个变量中指定了通用术语。一维多项式用系数列表来描述要容易得多，因为一维多拟合总是采用非常特定的模型形式。

然而，从返回的结构中提取系数完全不是问题。例如，考虑这个简单的模型z(x,y)。

%一些简单的数据…
X =兰特(10,1);
Y = rand(10,1);
Z = x + 2*y + 3 + randn(size(x))/10;

%生成模型
MDL = polyfitn([x,y]，z，{'x'，'y'，'constant'})
mdl =
ModelTerms: [3x2 double]
系数:[0.9706 2.0162 3.0302]
ParameterVar: [0.0214 0.0266 0.0093]
ParameterStd: [0.1462 0.1631 0.0966]
R2: 0.9787
AdjustedR2: 0.9726
RMSE: 0.1180
VarNames: {'x' 'y'}

当然，系数只是结构中的一个字段中的数字。所以我们可以提取系数作为一个向量:

格式长
C = mdl。系数
C =
0.970599545975740 2.016179608143575 3.030225230230983

它们不是我放进去的，但数据上的随机噪声有点破坏了东西。

或者我们甚至可以把这个结构转换成一个符号多项式，或者一个符号多项式，或者我自己的符号多项式形式。

polyn2sympoly (mdl)
ans =
0.97059954597574*x + 2.01617960814358*y + 3.03022523023098

我们可以自己求多项式的值而不需要polyvaln，只要你知道模型是什么。(因为每个项的指数都存储在结构中，所以这也很容易。)

C(1) *。5 + c(2)*。25 + c (3)
ans =
4.019569905254746

比较:
polyvaln (mdl [5, .25])
ans =
4.019569905254746

约翰，干得好。我想我读到过用polyfitn解出的系数只能用polyvaln解释。对吗?如果我想使用polyfitn来寻找数据拟合练习的系数，然后将它们应用到matlab之外的未来数据集(因此没有polyvaln)，这是不可能的吗?或者，我误解了什么?

丹尼斯·伍特斯
感谢您提供此修复。它的工作原理!

约翰，干得好。
我遇到了一个小故障。
当指定modelterms作为指数数组时，变量“varlist”没有赋值。
我通过在第160行插入以下语句来解决这个问题:
Else varlist = repmat({"}，1,p);

尽管我写过polyfitn，但高阶多项式(特别是在多维度上)很少能很好地替代选择有适当行为的非线性模型。也就是说，如果你有这样一个模型。这些多项式会给你带来麻烦，尤其是在外推的时候。除非您有足够的数据，否则即使在您的数据中，模型也可能表现得很奇怪。我称之为插值问题。

基本上，你需要非常小心高次多项式拟合。

顺便说一下，nlinfit确实处理多个自变量。你说它不需要，但这是没有限制的。问题是要从多个维度选择智能模型。这通常是非常困难的。一个很好的原因是像w = f(x,y,z)这样的函数形式很难可视化。

就我个人而言，我一直倾向于用样条曲线模型来解决这些问题。我经常不能凭空得出一个模型，我宁愿避免高阶多项式。我自己的网格拟合就是一个简单的例子，有两个自变量。

你好约翰,

谢谢你的意见。我真的很感谢你的帮助。从我的理解是，数据是不够充分的足够使用这样的高阶多项式拟合。我实际上正在寻找拟合数据到我自己的自定义方程，但还没有为它找到一个模型-类似于nlin拟合，但有多个自变量。如果你有任何建议，请让我知道。

谢谢你！

卡兰

嗨,卡兰,

在回归建模中，您陷入了一个常见的谬误。它是这样的:“如果n是好的，那么n+1更好，n+2一定非常棒。”

谬论很容易开始。我们尝试在数据上建立一个线性模型。它确实有效，但不是很好。毕竟，must问题只是局部线性的。我们尝试二次模型。它更合身。减少了拟合不足。但这个模型仍然存在一些问题。它不足以适应我们数据的形状。

既然我们对二次方程做得很好，那么试试三阶模型。是的，它做得更好。哇。继续推进，直到我们得到6阶模型，或10阶模型。多项式模型就像泰勒级数近似，所以更多的项必须给出更好的结果。但最终，这一切都变成了我们眼前的数字垃圾。那么发生了什么?

这里有3个变量。一阶模型有一个常数项，还有x y和z项。这个模型中有4项。你有74个数据点，估计相应的系数肯定没有问题。

二次模型增加了6项，x^2, y^2, z^2，还有叉乘项x*y, x*z, y*z，总共有10个系数需要估计。

谬误的诅咒在于，当我们按顺序往上移动时，项的数量增长得越来越快。在3阶，我们有20项需要估计，4阶35项，5阶56项，6阶84项。十阶模型有286项。

你的数据呢?你只有74个数据点。(在我早年做统计咨询的时候，我的客户总是问他们需要多少数据。我的回答几乎总是“比你拥有的多。”)

每个不同的数据点最多是一个额外的信息。(复制点在这里不算数。它们所做的就是减少估算中的不确定性。因此，复制是好的，但在某些方面不如独特点有价值。)

更糟糕的是，新的数据点并不总是提供新的信息。例如，两点决定一条直线。直线上的第三个点对直线的斜率或截距没有增加新的信息。就像复制一样，它所做的就是减少你对系数估计的不确定性。

当你试图估计一个只有74个数据点的六阶模型时，会发生什么?您的数据中信息太少，无法支持如此大的模型。万博1manbetx返回的消息来自MATLAB，告诉你你的矩阵在数值上是奇异的(秩不足)。

说了这么多，情况可能会变得更糟，使问题变得更加困难。有些数据比其他数据更糟糕。例如，如果你给所有的自变量加上1e6，一个给定顺序的多项式在数学上(理论上)仍然是可估计的，但它可能会得到一个在数字上奇异的矩阵。这是因为线性代数是用双精度浮点算术编写的。这些数字可能只是分布在一个太大的动态范围内，以致代数运算无法成功。(当你把1e6的数量级的数依次提高到更高的幂时会发生什么?)

所以当你要估计的系数比数据点多的时候，你总是会得到一个秩亏矩阵，但取决于数据本身，你可能仍然会有秩亏问题。

如果您将变量居中并缩放，一些多项式模型将变得更易于估计。因此，使每个变量的均值为零，并大致位于区间[-1,1]内。请注意，将+/-1数量级的数字提高到更高的幂并不会产生动态范围问题。这将迫使您转换您的问题，但它通常允许您对一个棘手的问题获得可行的估计。(使用正交多项式是另一种经常有用的方法。)

我希望这能有所帮助。事实上，这是一门我已经学了一学期的课程，所以我只接触了表面。

约翰

非常感谢你。我收到这个警告-
警告:Rank不足，Rank = 64, tol = 5.8216e-010。
我使用了3个自变量，74个数据点，使用了6的度数。你能帮我理解一下这是什么意思吗?谢谢你！

约翰,

代码和往常一样棒!

当只给出一个数据点时，它似乎失败了。

N = 1;
X = rand(n,2);
Y = exp(sum(x,2)) + randn(n,1)/100;
P = polyfitn(x,y,3);

虽然在某些情况下失败可能是可取的，但它实际上应该抛出一个错误。您的代码确实为n-1个输入提供了n参数的输出，因此处理这种情况不会不一致。

我认为它是在第120行之后的逻辑-检查输入的大小和相应的换位。

谢谢!

约翰:这里可能有两个问题。首先，如果你对所谓的多个右手边有问题，那么是的，它是非常可向量化的。我的意思是这个问题有相同的自变量集，但有不同的因变量集。那么反斜杠就是一种方法，它允许您对方程进行因式分解一次，可以节省大量的时间。当然，您需要构建设计矩阵，但这并不难做到。

然而，如果您有多个问题，每个问题都有不同的自变量集，那么向量化将需要您构建一个稀疏块对角设计矩阵。因此，您可以在此努力中获得一些收获，但不像第一个情况那样显著。您需要将设计矩阵构建为稀疏矩阵。这里的技巧是将块作为单独的稀疏矩阵提供给blkdiag。因此，在单元格数组中创建单个(稀疏)设计矩阵，然后将其作为逗号分隔的列表传递给blkdiag。您能有效地做到这一点，使反斜杠解决比循环调用更有效吗?是的，但正如我所说，这需要一些努力。

您可能可以从我的回答中了解到，对这段代码的结果进行向量化不是一个微不足道的操作，而是可以通过投入一些时间来更有效地完成工作。

伟大的功能集!

你能建议一些方法来向量化它们的使用吗?我有一个标量函数它依赖于它在空间f(x,y,z)中的位置，我计算这个函数围绕N个物体。目前，我为每个主体运行一个循环，但是否有一种方法可以修改代码，使反斜杠操作符一次跨所有它们工作，返回N组系数?

这个应该可以了…

看看下面这两行:

[Q,R,E] = qr(M,0);

polymodel.Coefficients(E) = R\(Q'*depvar);

假设权重的列向量为W，每个数据点对应一个。将上面的行改为:

[Q,R,E] = qr(bsxfun(@times,W(:)，M)，0);

polymodel.Coefficients (E) = R \ (Q * (W(:)。* depvar));

这将为您提供参数的加权估计。我认为参数的统计也可以，还有R^2等等。当然，您还需要传入权值向量作为参数。

上面的更改假设您正在使用一个有bsxfun可用的版本。它已经存在一段时间了，所以这应该不是问题。即使没有，调用repmat也会替换它。

伟大的功能!谢谢你！有没有一种简单的方法把它转换成加权最小二乘。我想试着自己做，也许你有一些见解或警告?

线性回归(polyfitn)的核心使用反斜杠。例如，假设有人希望使用polyfit来估计一个变量中的二次模型。这个模型是

Y = a1*x^2 + a2*x + a3 (+noise)

Polyfit能够通过求解线性(但超定)方程组，以最小化残差平方和的方式估计三个未知系数[a1,a2,a3]。反斜杠是下面的引擎。

现在，假设有人希望估计一个更复杂的模型，有两个自变量z(x,y)。我把它写成一个完整的二元二次模型，有6个未知系数。

Z = a1*x^2 + a2*x*y + a3*y^2 + a4*x + a5*y + a6 +噪声

只要你有足够的数据来估计这六个未知系数，问题本质上是一样的。注意它们以和我们之前看到的单变量问题相同的方式线性地进入问题。再次反斜杠可以解决估计系数的过确定问题。

事实上，polyfit和polyfitn都使用设计矩阵的QR分解来实现它们的目标。这是因为它们都被设计用来生成参数的协方差矩阵估计。QR分解是同时满足这两个目的的最简单方法，但它只是线性代数。

谢谢，你的函数解决了我的问题，但说实话，我对二维曲面线性回归的概念很好奇。我们是否必须对每一行进行polyfit(一级)才能得到曲面的最佳拟合平面?

谢谢。