b样和平滑样条函数——MATLAB仿真软件万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

b样和平滑样条函数

在这个工具箱,b样条的定义与节<年代p一个nclass="inlineequation">t<年代ub>j、……t_j+k是由

$B_{j, k} (x) = B (x | t_{j}, …, t_{j + k}) = (t_{j + k} - t_{j}) (t_{j}, …, t_{j + k}] {(x - \cdot)}_{+}^{k - 1} 。$

这只是几个合理的标准化的b样条之一。这是选择这样

$\sum_{j = 1}^{n} B_{j, k} (x) = 1, t_{k} \leq x \leq t_{n + 1} 。$

但是,而不是试图理解上面的公式b样条,看参考页面GUIbspliguib样条的一些基本性质,并使用GUI来获得一些第一手的经验,这个有趣的功能。其最重要的属性对于本工具箱也在它的名字字母B的原因是:

每一个空间(一元)piecewise-polynomials有一个给定的顺序基础组成的B<年代p一个nclass="emphasis">在B样条曲线(因此“B”)。

b样条属性

因为B<年代ub>j, k只间隔(非零t<年代ub>j。。t<年代ub>j₊_k),花键的b样条系数的线性系统,通过插值或最小二乘逼近,甚至一些微分方程的近似解,<年代p一个nclass="emphasis">带状,使得解决线性系统特别容易。例如,要构造一个花键年代的订单k与结序列t₁≤t₂≤···≤t<年代ub>n₊_k这年代(x<年代ub>我)=y<年代ub>我为我= 1,…,n,使用线性系统<一个class="indexterm" name="d124e15761">

$\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} B_{j, k} (x_{我}) {一个}_{j} = y_{我} & 我 = 1 : n \end{matrix}$

对未知的b样条系数一个<年代ub>j每个方程都有最多k非零的条目。

同时,许多理论事实有关样条函数是最容易表示和/或证明了b样。例如,它可以匹配任意数据在网站<年代p一个nclass="inlineequation"> $x_{1} < \dots < x_{n}$ 独特的花键<一个class="indexterm" name="d124e15784">k与结序列<年代p一个nclass="inlineequation">(t<年代ub>1、……t<年代ub>n + k)当且仅当<年代p一个nclass="inlineequation">B<年代ub>j, k(x<年代ub>j)≠0对所有j(<一个class="indexterm" name="d124e15810">Schoenberg-Whitney条件)。与b样通过稳定计算<年代p一个nclass="emphasis">递归关系

$B_{j, k} (x) = \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j, k - 1} (x) + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1, k - 1} (x)$

这也是帮助的吗<一个class="indexterm" name="d124e15833">从b形式转换到ppform。的<年代trong class="emphasis bold">双功能<一个class="indexterm" name="d124e15841">

${一个}_{j} (年代) : = \sum_{我 < k} {(- D)}^{k - 我 - 1} Ψ_{j} (τ) D^{我} 年代 (τ)$

提供了一个有用的表达式j花键的b样条系数年代的价值和衍生品在任意站点τt<年代ub>j和t<年代ub>j + k,用<年代p一个nclass="inlineequation">ψ_j(t):= (t<年代ub>j + 1- t)···(t<年代ub>j + k - 1- t)/ (k1)!。它可以用来显示一个<年代ub>j(年代)密切相关年代在区间[t<年代ub>jt . .<年代ub>j + k,似乎是最有效的方法从ppform b形式。

变分方法和平滑样条函数

上面的<年代p一个nclass="emphasis">有建设性的方法<一个class="indexterm" name="d124e15905">样条函数并不是唯一的途径。在<年代p一个nclass="emphasis">变分方法,获得作为一个花键<年代p一个nclass="emphasis">最好interpolant,例如,函数最小米th导数在所有这些规定匹配函数值在某些网站。事实证明,在许多这样的样条函数可用,只有那些piecewise-polynomials或者,也许,piecewise-exponentials找到了多大用处。特定的实际利益<年代trong class="emphasis bold">平滑样条年代=年代_p,对于给定数据(x<年代ub>我y<年代ub>我),x∊[a . .),所有我,并给出相应的积极的权重w<年代ub>我,对于给定的<年代trong class="emphasis bold">平滑参数p,<一个class="indexterm" name="d124e15961">最小化

$p \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - f (x_{我}) |}^{2} + (1 - p) \int_{一个}^{b} {| D^{米} f (t) |}^{2} d t$

在所有的功能f与米衍生品。事实证明,平滑样条年代样条的订单吗2米休息在每个数据的网站。平滑参数,p,巧妙地选择想要正确的平衡<一个class="indexterm" name="d124e15981">误差测量

$E (年代) = \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - 年代 (x_{我}) |}^{2}$

小,想要<一个class="indexterm" name="d124e15990">粗糙度测量

$F (D^{米} 年代) = \int_{一个}^{b} {| D^{米} 年代 (t) |}^{2} d t$

小。希望年代包含尽可能多的信息,和小的<一个class="indexterm" name="d124e16001">噪音,在数据。一种方法(用于<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/help/curvefit/spaps.html">spaps)是使F (D<年代up>米f)尽可能小的情况E (f)不大于规定的公差。计算的原因,spaps使用(等效)平滑参数<年代p一个nclass="inlineequation">ρ= p / (1 - p),即,最小化<年代p一个nclass="inlineequation">ρE(f)+F(D<年代up>米f)。此外,有时是有用的使用更加灵活的粗糙度测量

$F (D^{米} 年代) = \int_{一个}^{b} λ (t) {| D^{米} 年代 (t) |}^{2} d t$

和λ合适的积极的权函数。