样本数据

这里有一些样本数据，多用于测试样条近似与可变结，所谓的钛热数据。它们记录了钛的一些性质，作为温度的函数来测量。

[xx,yy] =钛;情节(xx, yy,“x”）;轴([500 1100 .55 2.25]);标题(“钛热数据”）;持有在

注意这个尖峰。我们将用这些数据来说明一些选择结的方法。

首先，我们从这些粗略的数据中选取一些数据点。我们将使用这个子集进行插值，然后将结果与整个数据集进行比较。

Pick = [1 5 11 21 27 29 31 33 35 40 45 49];Tau = xx(pick);Y = yy(pick);情节(τ,y,“罗”）;传奇({完整的数据集的“子样品数据”}，“位置”，“西北”）;

一般考虑

一条有序的样条k与n + k结了n自由度。因为我们有12个数据站点，Tau(1) <…<τ(12)，一个三次样条拟合，即四阶样条，需要一个结序列t长度为12+4。

此外，结序列t必须满足Schoenberg-Whitney条件，即必须使第i个数据点位于第i条b样条的支持下，即，万博1manbetx

对于所有i, T (i) < (i) < T (i+k)

只有在多重结的情况下才允许平等k．

选择满足所有这些条件的结序列的一种方法是作为最佳结，Gaffney/Powell和Micchelli/Rivlin/Winograd。

最佳的结

在最优样条插值，到点的值

τ(1),…,τ(n)

比如说，选择结点是为了使标准误差公式中的常数最小。具体地说，选择第一个和最后一个数据点作为k折结点。剩下的n - k绳结由optknt．

这里是帮助的开始optknt：

OPTKNT最佳结分布。

OPTKNT(TAU,K)返回一个'最佳'的结序列

数据点插值TAU(1)，…的样条，TAU(n)

k阶TAU一定是一个递增序列，但这个不是

检查。

OPTKNT(TAU,K,MAXITER)指定迭代的MAXITER数

要尝试，默认值为10。

这个结序列的内部结是n-K

任何绝对常数函数h ~= 0的符号变化

满足

积分{f(x)h(x): TAU(1) < x < TAU(n)} = 0

对于所有f (K)的样条函数，加上结序列TAU。

尝试OPTKNT

我们尝试使用optknt在我们的例子中，用三次样条插值数据

(tau(i)， y(i))， for i = 1，…, n。

K = 4;Osp = spapi(optknt(tau,k)， tau,y);fnplt(百“r”）;Hl =传说({完整的数据集的“子样品数据”.．.“使用最优结点的三次样条插值”}，.．.“位置”，“西北”）;霍奇金淋巴瘤。Position = hl.Position-[.14,0,0,0];

这有点令人不安!

这里用星号标出的，也是内部的最佳结:

“节”）;情节(xi, repmat(1.4、大小(xi)),‘*’）;Hl =传说({完整的数据集的“子样品数据”.．.“使用最优结点的三次样条插值”.．.“最优节”}，“位置”，“西北”）;霍奇金淋巴瘤。Position = hl.Position-[.14,0,0,0];

发生了什么事?

最优插补的结点选择设计是为了使最大值超过所有功能f的比值

范数(f - If) /范数(D^k f)

当分子是插值误差的范数时，f -如果，分母为的范数k插值函数的-th导数，D ^ k f．因为我们的数据表明D ^ k f是相当大的，插值误差附近的平坦部分的数据是这样的“最佳”方案的可接受的大小。

实际上，对于这些数据，普通三次样条插值由csapi做得很好:

Cs = csapi(tau,y);fnplt (cs,‘g’2);Hl =传说({完整的数据集的“子样品数据”.．.“使用最优结点的三次样条插值”.．.“最优节”使用CSAPI的三次样条插值}，.．.“位置”，“西北”）;霍奇金淋巴瘤。Position = hl.Position-[.14,0,0,0];持有从

最小二乘逼近的结选择

在用样条进行最小二乘逼近时，必须选择结点。一种方法是使用等间距的结开始，然后使用newknt用近似得到了更好的结分布。

下一节用完整的钛热数据集说明这些步骤。

均匀结序列的最小二乘逼近

我们从一个统一的结序列开始。

if = linspace(xx(1)， xx(end)， 2+fix(length(xx)/4));Sp = spap2(augknt(unif, k)， k, xx, yy);情节(xx, yy,“x”）;持有在fnplt (sp,“r”）;轴([500 1100 .55 2.25]);标题(“钛热数据”）;Hl =传说({完整的数据集的.．.“均匀结的最小二乘三次样条”}，.．.“位置”，“西北”）;霍奇金淋巴瘤。Position = hl.Position-[.14,0,0,0];

这一点也不令人满意。所以我们用newknt对于相同阶数相同次数的样条近似，但断点分布更好。

利用NEWKNT改善结分布

Spgood = spap2(newknt(sp)， k, xx,yy);fnplt (spgood‘g’, 1.5);Hl =传说({完整的数据集的.．.“均匀结的最小二乘三次样条”.．.'使用NEWKNT的最小二乘三次样条'}，.．.“位置”，“西北”）;霍奇金淋巴瘤。Position = hl.Position-[.14,0,0,0];持有从

这很好。顺便说一句，在这种情况下，即使少一个内部结也不够。