离散余弦变换- MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

离散余弦变换

DCT的定义

离散余弦变换(DCT)将图像表示为不同幅度和频率的正弦信号的和。的dct2函数计算图像的二维离散余弦变换(DCT)。DCT的特点是，对于一个典型的图像，关于图像的大部分视觉上重要的信息都集中在DCT的几个系数中。由于这个原因，DCT经常用于图像压缩应用程序。例如，DCT是国际标准有损图像压缩算法JPEG的核心。(这个名字来自制定该标准的工作组:联合摄影专家组。)

m × n矩阵的二维DCT一个定义如下。

$\begin{array}{l} \begin{matrix} B_{p 问} ＝ α_{p} α_{问} \sum_{米＝ 0}^{米 - 1} \sum_{n ＝ 0}^{N - 1} {一个}_{米 n} 因为 \frac{π （ 2 米 + 1 ） p}{2 米} 因为 \frac{π （ 2 n + 1 ）问}{2 N} ， & \begin{array}{l} 0 \leq p \leq 米 - 1 \\ 0 \leq 问 \leq N - 1 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} α_{p} ＝｛ \begin{array}{l} 1 / \sqrt{米} ， \\ \sqrt{2 / 米} ， \end{array} & \begin{array}{l} p ＝ 0 \\ 1 \leq p \leq 米 - 1 \end{array} & α_{问} ＝｛ \begin{array}{l} 1 / \sqrt{N} ， \\ \sqrt{2 / N} ， \end{array} & \begin{array}{l} 问＝ 0 \\ 1 \leq 问 \leq N - 1 \end{array} \end{matrix} \end{array}$

的值B_魁人党被称为“DCT系数的一个．(注意MATLAB中的矩阵指标^®总是从1而不是0开始;因此，MATLAB的矩阵元素(1)和B (1,1)对应于数学上的数量一个₀₀和B₀₀分别)。

DCT是一个可逆变换，它的逆是

$\begin{array}{l} \begin{matrix} {一个}_{米 n} ＝ \sum_{p ＝ 0}^{米 - 1} \sum_{问＝ 0}^{N - 1} α_{p} α_{问} B_{p 问} 因为 \frac{π （ 2 米 + 1 ） p}{2 米} 因为 \frac{π （ 2 n + 1 ）问}{2 N} ， & \begin{array}{l} 0 \leq 米 \leq 米 - 1 \\ 0 \leq n \leq N - 1 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} α_{p} ＝｛ \begin{array}{l} 1 / \sqrt{米} ， \\ \sqrt{2 / 米} ， \end{array} & \begin{array}{l} p ＝ 0 \\ 1 \leq p \leq 米 - 1 \end{array} & α_{问} ＝｛ \begin{array}{l} 1 / \sqrt{N} ， \\ \sqrt{2 / N} ， \end{array} & \begin{array}{l} 问＝ 0 \\ 1 \leq 问 \leq N - 1 \end{array} \end{matrix} \end{array}$

逆DCT方程可以解释为任意m × n矩阵一个可以写成的和锰表单的功能

$α_{p} α_{问} 因为 \frac{π （ 2 米 + 1 ） p}{2 米} 因为 \frac{π （ 2 n + 1 ）问}{2 N} ， \begin{matrix} 0 \leq p \leq 米 - 1 \\ 0 \leq 问 \leq N - 1 \end{matrix}$

这些函数称为基函数DCT。DCT系数B_魁人党，则可视为权重应用于每个基函数。对于8 × 8矩阵，64个基函数由这幅图表示。

8 × 8矩阵的64个基函数

水平频率从左到右增加，垂直频率从上到下增加。左上方的常值基函数通常称为直流基函数，以及相应的DCT系数B₀₀经常被称为直流系数．

DCT变换矩阵

使用Image Processing Toolbox™软件有两种方法来计算DCT。第一种方法是使用dct2函数。dct2使用基于fft的算法，在大量输入的情况下实现快速计算。第二种方法是使用DCT变换矩阵，由函数返回dctmtx对于小的方形输入，比如8 × 8或16 × 16，可能更有效。m × m变换矩阵T是由

$\begin{matrix} T_{p 问} ＝｛ \begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{米}} \\ \sqrt{\frac{2}{米}} 因为 \frac{π （ 2 问 + 1 ） p}{2 米} \end{array} & \begin{array}{l} p ＝ 0 ， \\ 1 \leq p \leq 米 - 1 ， \end{array} & \begin{array}{l} 0 \leq 问 \leq 米 - 1 \\ 0 \leq 问 \leq 米 - 1 \end{array} \end{matrix}$

对于m × m矩阵一个，T *是一个m × m矩阵，它的列包含的列的一维DCT一个．二维DCT一个可以计算为B = T * * T '．自T是一个实标准正交矩阵，它的逆等于它的转置。因此，二维DCT的逆B是由T ' * B * T．

基于离散余弦变换的图像压缩

打开生活的脚本

这个例子展示了如何使用离散余弦变换(DCT)压缩图像。该示例计算输入图像中8 × 8块的二维DCT，丢弃(设置为零)每个块中的64个DCT系数中的10个，然后使用每个块的二维逆DCT重建图像。算例采用变换矩阵计算方法。

在JPEG图像压缩算法中使用了DCT。输入图像被分为8 × 8或16 × 16块，并对每个块进行二维DCT计算。然后对DCT系数进行量化、编码和传输。JPEG接收器(或JPEG文件阅读器)解码量化的DCT系数，计算每个块的二维DCT的逆，然后将这些块重新组合成单个图像。对于典型的图像，许多DCT系数的值接近于零。这些系数可以被丢弃而不会严重影响重建图像的质量。

将图像读入工作区并将其转换为类双．

我= imread (“cameraman.tif”）;I = im2double(我);

计算图像中8 × 8块的二维DCT。这个函数dctmtx返回n × n DCT变换矩阵。

T = dctmtx (8);dct = @(block_struct) T * block_struct. dct =数据* T ';B = blockproc(I，[8 8]，dct);

丢弃每个区块中64个DCT系数中的10个。

掩码= [1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];B2 = blockproc(B，[8 8]，@(block_struct) mask .* block_struct.data);

使用每个块的二维逆DCT重建图像。

invdct = @(block_struct) T'数据* T;I2 = blockproc(B2，[8 8]，invdct);

并排显示原始图像和重建图像。尽管在重建图像中有一些质量损失，但它是清晰可识别的，即使几乎85%的DCT系数被丢弃。

imshow(我)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个image类型的对象。

图imshow (I2)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个image类型的对象。