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求解具有不连续的偏微分方程

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这个例子展示了如何解决与材料接口的偏微分方程。材料界面在问题中产生了不连续<年代p一个n class="inlineequation"> x ＝ 0 ． 5 ，且初始条件在右边界处存在不连续<年代p一个n class="inlineequation"> x ＝ 1 ．

考虑分段偏微分方程

｛ ∂ u ∂ t ＝ x - 2 ∂ ∂ x （ x 2 5 ∂ u ∂ x ） - 1000 e u （ 0 ≤ x ≤ 0 ． 5 ） ∂ u ∂ t ＝ x - 2 ∂ ∂ x （ x 2 ∂ u ∂ x ） - e u （ 0 ． 5 ≤ x ≤ 1 ）

初始条件是

u （ x ， 0 ） ＝ 0 （ 0 ≤ x < 1 ） ， u （ 1 ， 0 ） ＝ 1 （ x ＝ 1 ） ．

边界条件为

∂ u ∂ x ＝ 0 （ x ＝ 0 ） ， u （ 1 ， t ） ＝ 1 （ x ＝ 1 ） ．

要在MATLAB中求解这个方程，需要对方程、初始条件和边界条件进行编码，然后在调用求解器之前选择合适的解网格pdepe．您可以将所需的函数作为本地函数包含在文件的末尾(如这里所做的)，或者将它们保存为单独的命名文件，保存在MATLAB路径的目录中。

代码方程

在对方程进行编码之前，您需要确保它的形式是pdepe解算器的预期。标准形式是pdepe预计是

c （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ∂ u ∂ t ＝ x - 米 ∂ ∂ x （ x 米 f （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ） + 年代 （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ．

在这种情况下，偏微分方程是正确的形式，所以你可以读出系数的值。

｛ ∂ u ∂ t ＝ x - 2 ∂ ∂ x （ x 2 5 ∂ u ∂ x ） - 1000 e u （ 0 ≤ x ≤ 0 ． 5 ） ∂ u ∂ t ＝ x - 2 ∂ ∂ x （ x 2 ∂ u ∂ x ） - e u （ 0 ． 5 ≤ x ≤ 1 ）

通量项的值<年代p一个n class="inlineequation"> f （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） 源项<年代p一个n class="inlineequation"> 年代 （ x ． t ， u ， ∂ u ∂ x ） 的值而改变<年代p一个n class="inlineequation"> x ．系数为:

米 ＝ 2

c （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ＝ 1

｛ f （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ＝ 5 ∂ u ∂ x （ 0 ≤ x ≤ 0 ． 5 ） f （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ＝ ∂ u ∂ x （ 0 ． 5 ≤ x ≤ 1 ）

｛ 年代 （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ＝ - 1000 e u （ 0 ≤ x ≤ 0 ． 5 ） 年代 （ x ， t ， u ， ∂ u ∂ x ） ＝ - e u （ 0 ． 5 ≤ x ≤ 1 ）

现在您可以创建一个函数来编码这个方程。函数应该具有签名[c,f,s] = pdex2pde(x,t,u,dudx)：