热传导与非均匀热流多畴的几何

这个例子展示了如何执行空心球体的三维瞬态热传导分析三种不同层次的材料做的。

球面非均匀的外部热通量。

这个问题的物理特性和几何描述了辛格Jain,和Rizwan-uddin(见参考),也有这个问题的解析解。球的内表面的温度是零。外半球和积极的 $y$ 已定义的非均匀热流值

$问_{o u t e r} = θ^{2} (π - - - - - - θ)^{2} ϕ^{2} (π - - - - - - ϕ)^{2}$

$0 \leq θ \leq π, 0 \leq ϕ \leq π 。$

$θ$ 和 $ϕ$ 方位角和高度角点的球体。最初,温度范围中的所有点是零。

创建一个热模型进行瞬态热分析。

thermalmodel = createpde (“热”,“瞬态”);

创建一个多层使用范围multisphere函数。指定生成的几何热模型。球面三层的中空的核心材料。

通用= multisphere (1、2、4、6,“空白”,真的,假的,假的,假的);thermalmodel。几何=通用;

绘制几何图形和显示细胞标签和标签。使用一个FaceAlpha0.25标签内部层是可见的。

图(“位置”[10800400]);次要情节(1、2、1)pdegplot (thermalmodel,“FaceAlpha”,0.25,“CellLabel”,“上”)标题(“几何与电池标签”次要情节(1、2、2)pdegplot (thermalmodel,“FaceAlpha”,0.25,“FaceLabel”,“上”)标题(“几何与标签”)

图包含2轴对象。坐标轴对象1与标题几何单元格标签包含2颤类型的对象,补丁。坐标轴对象2与标题几何面标签包含对象类型的颤抖,补丁。

生成的网格几何。选择一个足够粗的网格大小速度的解决方案,但好足以代表了几何准确合理。

generateMesh (thermalmodel“Hmax”1);

指定导热系数、质量密度和比热的每一层球体。材料属性是无量纲值,而不是由现实的材料特性。

thermalProperties (thermalmodel“细胞”,1“ThermalConductivity”,1…“MassDensity”,1…“SpecificHeat”1);thermalProperties (thermalmodel“细胞”2,“ThermalConductivity”2,…“MassDensity”,1…“SpecificHeat”,0.5);thermalProperties (thermalmodel“细胞”3,“ThermalConductivity”4…“MassDensity”,1…“SpecificHeat”,4/9);

指定边界条件。最内层的脸上的温度是零。

thermalBC (thermalmodel“面子”,1“温度”,0);

球的外表面有一个外部热通量。使用热边界条件的函数形式定义热通量。

函数Qflux = externalHeatFlux(地区,~)

[θ,φ~]= cart2sph (region.x, region.y region.z);

θ=π/ 2 -θ;%转换为0 < =θ< =π

id =φ> 0;

Qflux = 0(大小(region.x));

Qflux (ids) =θ(ids) ^ 2。*(π-θ(ids)) ^ 2 ^ 2 *φ(ids)。*(π-φ(ids)) ^ 2;

结束

绘制表面通量。

(φ,θ,r) = meshgrid (linspace(0, 2 *π),linspace(-π/ 2π/ 2),6);[x, y, z] = sph2cart(φ,θ,r);地区。x = x;地区。y = y;地区。z = z;通量= externalHeatFlux(地区、[]);图冲浪(x, y, z,通量,“线型”,“没有”)轴平等的视图(130年,10)colorbar包含(“x”)ylabel (“y”)zlabel (“z”)标题(“外部流量”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题外部通量,包含x, y ylabel包含一个类型的对象的表面。

包括这个模型中的边界条件。

thermalBC (thermalmodel“面子”4…“HeatFlux”@externalHeatFlux,…“矢量”,“上”);

定义初始温度为零分。

thermalIC (thermalmodel 0);

定义一个时间步长向量和解决瞬态热的问题。

tlist = [0、2、5:5:50];R =解决(thermalmodel tlist);

在几次情节轮廓,轮廓水平是相同的所有情节,确定温度的解决方案的范围。最低温度是0,因为它是在球的内表面边界条件。

Tmin = 0;

找到最后一个时间步的最高温度的解决方案。

达峰时间= max (R.Temperature(:,结束));

绘制轮廓的范围Tmin来达峰时间在《纽约时报》tlist。

h =图;为i = 1:元素个数(tlist) pdeplot3D (thermalmodel,“ColorMapData”R.Temperature(:我)caxis ([Tmin,达峰时间])视图(130年,10)标题([“温度时间”num2str (tlist (i))));M (i) = getframe;结束

去看电影的轮廓你的电脑上运行这个示例时,执行以下:

电影(M, 2)

可视化温度对截面轮廓。首先,定义一个矩形网格上的点 $y - - - - - - z$ 飞机在哪里 $x = 0$ 。

[YG, ZG] = meshgrid (linspace (6100), linspace (6100);XG = 0(大小(YG));

插入在网格点的温度。执行几次插值步骤观察温度的演变轮廓。

tIndex = [2、3、5、7、9、11);varNames = {“Time_index”,“Time_step”};index_step =表(tIndex。”, tlist (tIndex)。’,“VariableNames”,varNames);disp (index_step);

Time_index Time_step __________ _____ 2 2 3 5 5 15 7 25 9 35 11 45

TG = interpolateTemperature (R, XG, YG、ZG tIndex);

定义几何球面层横截面。

t = linspace(0, 2 *π);ylayer1 = cos (t);zlayer1 =罪(t);ylayer2 = 2 * cos (t);zlayer2 = 2 * sin (t);ylayer3 = 4 * cos (t);zlayer3 = 4 * sin (t);ylayer4 = 6 * cos (t);zlayer4 = 6 * sin (t);

绘制轮廓范围内Tmin来达峰时间相对应的时间步长时间指数tIndex。

图(“位置”,10、10、1000、550);为i = 1:元素个数(tIndex)次要情节(2、3、我)轮廓(YG、ZG重塑(TG(:,我),大小(YG)),“ShowText”,“上”)colorbar标题(“温度时间”num2str (tlist (tIndex (i)))));持有在caxis ([Tmin,达峰时间])轴平等的%的阴谋的边界球层供参考。情节(ylayer1 zlayer1,“k”,“线宽”1.5)情节(ylayer2 zlayer2,“k”,“线宽”1.5)情节(ylayer3 zlayer3,“k”,“线宽”1.5)情节(ylayer4 zlayer4,“k”,“线宽”,1.5)结束

图包含6轴对象。坐标轴对象1标题温度时间2包含5类型的对象轮廓线。坐标轴对象2标题温度时间5包含5类型的对象轮廓线。坐标轴对象3标题温度时间15包含5类型的对象轮廓线。坐标轴对象4标题温度时间25包含5类型的对象轮廓线。坐标轴对象5标题温度时间35包含5类型的对象轮廓线。6轴对象标题温度时间45包含5类型的对象轮廓,线。

参考

[1]辛格Suneet, p . k . Jain, Rizwan-uddin。“三维解析解,不稳定导热的多层球。”ASME. J. Heat Transfer. 138(10), 2016, pp. 101301-101301-11.