具有均匀压力载荷的各向同性方形夹紧板

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这个例子说明了如何计算结构板在压力载荷下的挠度。

对各向同性薄板施加压力时的偏微分方程为

$\nabla^{2} （ D \nabla^{2} w ）＝ - p ，$

在哪里 $D$ 板的抗弯刚度是由

$D ＝ \frac{E h^{3.}}{12 （ 1 - ν^{2} ）} ，$

和 $E$ 为弹性模量， $ν$ 泊松比, $h$ 为板厚， $w$ 是板的横向挠度，和 $p$ 为压力负荷。

夹紧边界的边界条件为 $w ＝ 0$ 和 $w^{”} ＝ 0$ ,在那里 $w^{”}$ 的导数 $w$ 在垂直于边界的方向上。

偏微分方程工具箱™ 无法直接求解此四阶平板方程。请将四阶方程转换为这两个二阶偏微分方程，其中 $v$ 是新的因变量。

$\nabla^{2} w ＝ v$

$D \nabla^{2} v ＝ - p$

您不能直接为两者指定边界条件 $w$ 和 $w^{”}$ 在这个二阶系统中。相反,指定 $w^{”}$ 是0，定义 $v^{”}$ 这 $w$ 边界上也等于0。若要指定这些条件，请使用沿边界分布的刚性“弹簧”。弹簧向板边缘施加横向剪切力。将这些弹簧沿边界产生的剪切力定义为 $n \cdot D \nabla v ＝ - k w$ ,在那里 $n$ 是法向边界吗 $k$ 为弹簧的刚度。这个表达式是工具箱支持的一个广义诺伊曼边界条件。万博1manbetx的价值 $k$ 一定足够大吗 $w$ 在边界上的所有点都近似为0。它还必须足够小，以避免由于病态刚度矩阵造成的数值误差。

工具箱使用因变量 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 而不是 $w$ 和 $v$ ．用变量重写两个二阶偏微分方程 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ ：

$- \nabla^{2} u_{1} + u_{2} ＝ 0$

$- D \nabla^{2} u_{2} ＝ p$

为一个由两个方程组成的系统创建一个PDE模型。

模型= createpde (2);

创建一个正方形几何体并将其包含在模型中。

len = 10;GDM = [3 4 0 len len 0 0 0 len]';g = decsg (gdm,“S1 ',(“S1 ') ');geometryFromEdges(模型中,g);

使用边标签打印几何图形。

图pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”) ylim([11])轴平等的标题“显示边缘标签的几何图形”

必须使用工具箱所要求的格式指定PDE系数。有关详细信息,请参见

在这个例子中，c系数是一个张量，它可以表示为一个2 × 2块的2 × 2矩阵:

$［ \begin{array}{cccc} c （ 1 ） & c （ 2 ） & \cdot & \cdot \\ \cdot & c （ 3. ） & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & c （ 4 ） & c （ 5 ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & c （ 6 ） \end{array} ］$

这个矩阵被进一步平展成一个包含6个元素的列向量。完整的2 × 2矩阵(定义系数a)和2 × 1向量(定义系数f)中的项直接遵循双方程系统的定义。

E = 1.0 e6;弹性模量%ν= 0.3;%泊松比厚= 0.1;%板厚度pres=2；%的外部压力D=E*thick^3/（12*（1-nu^2））；c=[101d0d]；a=[0010]；f=[0pres]；特定系数（模型，“我是0,' d '0,“c”c“一个”一个,“f”f);

要定义边界条件，首先指定弹簧刚度。

k = 1 e7;

在所有四条边上定义分布弹簧。

布特= applyBoundaryCondition(模型,“纽曼”，“边缘”(1:4),．..‘g’[0 0],“问”, [0 0;k 0]);

生成网格。

generateMesh(模型);

解决模型。

res = solvepde(模型);

在节点位置访问解决方案。

u = res.NodalSolution;

画出横向挠度。

numNodes =大小(model.Mesh.Nodes, 2);图pdeplot(模型,“XYData”，u（：，1），“轮廓”，“上”)头衔“横向偏转”

求板中心的横向挠度。

numNodes =大小(model.Mesh.Nodes, 2);wMax = min (u (1: numNodes, 1))

wMax = -0.2763

将计算结果与板中心挠度的解析计算结果进行了比较。

wMax = -.0138 *总统* len ^ 4 / (E *厚^ 3)

wMax = -0.2760

偏微分方程工具箱文档

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