压电驱动器的偏转

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这个例子展示了如何解决一个耦合的弹性静电问题。

压电材料在施加的电压下变形。相反，变形压电材料产生电压。因此，对压电部分的分析需要与依赖变量的偏转和电势的一组耦合的偏微分方程溶解。

在该示例中，该模型是双层悬臂梁，两层由相同的聚偏二氟乙烯（PVDF）材料制成。偏振方向下降（负y- 在顶层和底层中指向的程。典型长度为100.当您在光束的下表面和上表面之间施加电压时，梁偏转y-方向，因为一层变短，另一层变长。

平衡方程描述了固体的弹性行为：

$- \nabla \cdot σ = F$

这里， $σ$ 是应力张量，和 $F$ 是身体力量矢量。高斯的法律描述了固体的静电行为：

$\nabla \cdot D. = ρ$

$D.$ 是电力位移，还有 $ρ$ 是分布式免费电荷。将这两个PDE系统结合到本单系统中：

$- \nabla \cdot {\begin{array}{c} σ \\ D. \end{array}} = {\begin{array}{c} F \\ - ρ \end{array}}$

对于二维分析， $σ$ 有组件 $σ_{11} 那 σ_{22} 那$ 和 $σ_{12} = σ_{21}$ ，及 $D.$ 有组件 ${D.}_{1}$ 和 ${D.}_{2}$ 。

材料的本构方程根据应变张量和电场定义了应力张量和电位移矢量。对于平面应力条件下正交各向异性压电材料的二维分析，可以将这些方程写成

${\begin{array}{c} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \\ {D.}_{1} \\ {D.}_{2} \end{array}} = [\begin{array}{ccccc} C_{11} & C_{12} & {E.}_{11} & {E.}_{3. 1} \\ C_{12} & C_{22} & {E.}_{1 3.} & {E.}_{3. 3.} \\ G_{12} & {E.}_{1 4.} & {E.}_{3. 4.} \\ {E.}_{11} & {E.}_{1 3.} & {E.}_{1 4.} & - {E.}_{1} \\ {E.}_{3. 1} & {E.}_{3. 3.} & {E.}_{3. 4.} & - {E.}_{2} \end{array}] {\begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \\ - {E.}_{1} \\ - {E.}_{2} \end{array}}$

$C_{一世 j}$ 是弹性系数， ${E.}_{一世}$ 是介电常数，以及 ${E.}_{一世 j}$ 是压电应力系数。这些方程中的压电应力系数符合压电材料中的常规符号，其中Z.- 重定向（第三方向）与材料的“极化”方向对齐。对于2-D分析，将“极化”方向对齐y-轴。根据X-移位 $你$ 和y-移位 $V.$ ：

${\begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \end{array}} = {\begin{array}{c} \frac{\partial 你}{\partial X} \\ \frac{\partial V.}{\partial y} \\ \frac{\partial 你}{\partial y} + \frac{\partial V.}{\partial X} \end{array}}$

根据电势写出电场 $ϕ$ ：

${\begin{array}{c} {E.}_{1} \\ {E.}_{2} \end{array}} = - {\begin{array}{c} \frac{\partial ϕ}{\partial X} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

可以将应变-位移方程和电场方程替换为本构方程，并根据位移和电势导数得到应力和电位移的方程组。将所得方程代入PDE系统方程，得到一个方程组，该方程组涉及位移和电势导数的散度。作为下一步，安排这些方程以匹配工具箱所需的形式。

偏微分方程工具箱™ 要求椭圆方程组以向量形式表示：

$- \nabla \cdot （ C \otimes \nabla 你） + 一种你 = F$

或以张量形式：

$- \frac{\partial}{\partial X_{K.}} （ C_{一世 j K. L.} \frac{\partial 你_{j}}{\partial X_{L.}} ） + {一种}_{一世 j} 你_{j} = F_{一世}$

其中，重复指数意味着求和。对于本例中的二维压电系统，系统向量 $你$ 是

$你 = {\begin{array}{c} 你 \\ V. \\ ϕ \end{array}}$

这是一 $N = 3.$ 系统。梯度 $你$ 是

$\nabla 你 = {\begin{array}{c} \frac{\partial 你}{\partial X} \\ \frac{\partial 你}{\partial y} \\ \frac{\partial V.}{\partial X} \\ \frac{\partial V.}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial X} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

有关以工具箱要求的格式指定系数的详细信息，请参见：

本例中的c系数是张量。您可以将其表示为2×2块的3×3矩阵：

$[\begin{array}{cccccc} C （ 1 ） & C （ 2 ） & C （ 4. ） & C （ 6. ） & C （ 11 ） & C （ 1 3. ） \\ \cdot & C （ 3. ） & C （ 5. ） & C （ 7. ） & C （ 12 ） & C （ 1 4. ） \\ \cdot & \cdot & C （ 8. ） & C （ 9. ） & C （ 1 5. ） & C （ 1 7. ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & C （ 1 0. ） & C （ 1 6. ） & C （ 1 8. ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & C （ 1 9. ） & C （ 2 0. ） \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & C （ 21 ） \end{array}]$

要将本构方程的术语映射到工具箱所需的形式，以此形式写入C Tensor和解决方案梯度：

$[\begin{array}{cccccc} C_{1111} & C_{1112} & C_{1211} & C_{1212} & C_{1 3. 11} & C_{1 3. 12} \\ \cdot & C_{1122} & C_{1221} & C_{1222} & C_{1 3. 21} & C_{1 3. 22} \\ \cdot & \cdot & C_{2211} & C_{2212} & C_{2 3. 11} & C_{2 3. 12} \\ \cdot & \cdot & \cdot & C_{2222} & C_{2 3. 21} & C_{2 3. 22} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & C_{3. 3. 11} & C_{3. 3. 12} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & C_{3. 3. 22} \end{array}] {\begin{array}{c} \frac{\partial 你}{\partial X} \\ \frac{\partial 你}{\partial y} \\ \frac{\partial V.}{\partial X} \\ \frac{\partial V.}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial X} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

从这个方程中，可以将传统的本构系数映射到c矩阵所需的形式。电场方程中的负号被合并到c矩阵中，以符合工具箱的惯例。

$[\begin{array}{cccccc} C_{11} & \cdot & \cdot & C_{12} & {E.}_{11} & {E.}_{3. 1} \\ \cdot & G_{12} & G_{12} & \cdot & {E.}_{1 4.} & {E.}_{3. 4.} \\ \cdot & \cdot & G_{12} & \cdot & {E.}_{1 4.} & {E.}_{3. 4.} \\ \cdot & \cdot & \cdot & C_{22} & {E.}_{1 3.} & {E.}_{3. 3.} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & - {E.}_{1} & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & - {E.}_{2} \end{array}] {\begin{array}{c} \frac{\partial 你}{\partial X} \\ \frac{\partial 你}{\partial y} \\ \frac{\partial V.}{\partial X} \\ \frac{\partial V.}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial X} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

梁几何

创建PDE模型。线性弹性方程具有三个组件，因此模型必须具有三个方程。

模型=createpde（3）；

创建几何体并在模型中包含它。

L=100e-3；%梁长度（米）H = 1E-3;%梁的总高度H2 = H / 2;每层的％高度为米toplayer = [3 4 0 l l 0 0 0 h2 h2];bottombolayer = [3 4 0 l l 0 -h2 -h2 0 0];gdm = [toplayer; botloonlayer]';g = decsg（gdm，'r1 + r2',['r1';'r2']'）;几何法规（型号，g）;

用面部和边缘标签绘制几何形状。

图pdegplot（模型，“EdgeLabels”那'在'那......'FaceLabels'那'在')xlabel('x-combords，mick')伊拉贝尔('Y-CONORATNET，MINK')轴（[-.1*L，1.1*L，-4*H2,4*H2]）轴广场

图中包含一个轴对象。axes对象包含10个类型为line、text的对象。

材料特性

指定梁层的材料属性。两层中的材料均为聚偏氟乙烯（PVDF），一种具有压电性能的热塑性聚合物。

E = 2.0E9;％弹性模量，n / m ^ 2nu = 0.29;％泊松比例G=0.775e9；%剪切模量，N/m^2D31 = 2.2E-11;%压电应变系数，C/Nd33=-3.0e-11；

指定恒定应力下材料的相对介电常数。

相对介电常数=12；

指定真空的电介质。

允许Freespace = 8.854187817620E-12;％f / mc11 = e /（1  -  nu ^ 2）;c12 = nu * c11;C2D = [C11 C12 0;C12 C11 0;0 0 g];pzed = [0 d31;0 d33;0 0];

指定压电应力系数。

pzeE=c2d*pzeD；D_常数_应力=[相对介电常数0；0相对介电常数]*介电常数reespace；

将介电基质从恒定应力转换为恒定应变。

d_const_strain = d_const_stress  -  pzed'* pzee;

您可以将21个系数视为2×2块的3×3矩阵。这个CIJ.矩阵是该矩阵上三角形中的2×2块。

C11 = [C2D（1,1）C2D（1,3）C2D（3,3）];C12 = [C2D（1,3）C2D（1,2）;C2D（3,3）C2D（2,3）];C22 = [C2D（3,3）C2D（2,3）C2D（2,2）];C13 = [PZEE（1,1）PZEE（1,2）;PZEE（3,1）PZEE（3,2）];C23 = [PZEE（3,1）PZEE（3,2）;PZEE（2,1）PZEE（2,2）];c33 = [d_const_strain（1,1）d_const_strain（2,1）d_const_strain（2,2）];ctop = [c11（:); c12(:); c22(:); -c13(:); -c23(:); -c33(:)]; cbot = [c11(:); c12(:); c22(:); c13(:); c23(:); -c33(:)]; f = [0 0 0]'; specifyCoefficients(model,“我是,0,'D',0,'C'，ctop，'一种',0,“f”F“脸”，2）;指定COFEFICERS（模型，“我是,0,'D',0,'C'，cbot，'一种',0,“f”F“脸”,1);

边界条件

将光束顶部（边缘1）的电压（溶液组件3）设置为100伏。

Volttop = ApplyBoudaryCondition（型号，“混合”那......'边缘'1.......'U'，100，......“等式索引”,3);

通过将电压设置为0，指定梁的底部（边2）接地。

voltbot = applyboundarycondition（模型，“混合”那......'边缘'2.......'U',0,......“等式索引”,3);

通过设置X-及y-位移（解决方案组件1和2）到0。

clampLeft=应用边界条件（型号，“混合”那......'边缘'，6：7，......'U',[0 0],......“等式索引”，1：2）;

梁右侧的应力和电荷为零。因此，使用边3和边4的默认边界条件。

有限元和解析解万博尤文图斯

生成网格并解决模型。

msh = generatemesh（型号，“Hmax”，5e-4）；结果=解算PDE（模型）

结果=具有属性的坐标性：NodalSolution：[3605x3双] XGRadients：[3605x3双]古代：[3605x3双] zgradients：[0x3 double]网格：[1x1 emelesh]

在节点位置访问解决方案。第一列包含X-偏转。第二列包含y-偏转。第三列包含电势。

rs=结果。节点解；

找到最小y-偏转。

fetipdeformation=min（rs（：，2））；fprintf('有限元尖端偏转是：％12.4e \ n'，fetipdeflection）;

有限元尖端挠度为：-3.2900e-05

将该结果与已知的解析解进行比较。

TipReflection=-3*d31*100*L^2/（8*H2^2）；fprintf('分析尖端偏转是：％12.4e \ n'，倾斜反射）；

分析尖端偏转是：-3.3000E-05

绘制偏转组件和电势。

varstoplot = char（“X-偏转，米”那......“Y形偏转，米”那......‘电势，伏特’);为了i=1：尺寸（varsToPlot，1）图；pdeplot（型号，“XYData”，rs（：，i），“轮廓”那'在')标题（varsToPlot（i，：））％缩放轴以使其更容易查看轮廓轴（[0，L，-4*H2，4*H2]）xlabel(“X坐标，米”)伊拉贝尔(“Y坐标，米”)轴心广场结束