FIR高斯脉冲整形滤波器设计

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这个例子展示了如何设计一个高斯脉冲整形FIR滤波器以及影响这个设计的参数。FIR高斯脉冲整形滤波器的设计是通过截断高斯滤波器连续时间脉冲响应的采样版本来完成的，该采样版本由:

$h （ t ）＝ \frac{\sqrt{π}}{一个} e^{- \frac{π^{2} t^{2}}{{一个}^{2}}}$

参数“a”与高斯滤波器的3-dB带宽符号时间乘积(B*Ts)有关，表达式为:

$一个＝ \frac{1}{B T_{年代}} \sqrt{\frac{日志 2}{2}}$

在这个设计中有两个近似误差:截断误差和抽样误差。截断误差是由于有限时间(FIR)近似的理论无限脉冲响应的理想高斯滤波器。采样误差(混叠)是由于高斯频率响应在严格意义上并不是真正的带限(即高斯信号在某个频率以外的能量并不完全为零)。这可以从连续时间高斯滤波器的传递函数中看出，它如下所示:

$H （ f ）＝ e^{- {一个}^{2} f^{2}}$

随着f的增加，频率响应趋于零，但永远不会完全为零，这意味着不可能在不发生混叠的情况下对其进行采样。

连续时间高斯滤波器

为了设计一个连续时间高斯滤波器，让我们定义符号时间(Ts)为1微秒，并且从脉冲响应的开始到它的结束(滤波器跨度)之间的符号数量为6。从上面的方程中，我们可以看到高斯滤波器的脉冲响应和频率响应取决于参数“a”，该参数与3db带宽符号时间乘积有关。为了研究该参数对高斯FIR滤波器设计的影响，我们将用Ts定义各种“a”值，并计算相应的带宽。然后，我们将绘制每个'a'的脉冲响应和每个带宽的幅度响应。

Ts = 1e-6;%符号时间(秒)Span = 6;%以符号为单位的过滤范围a = Ts*[。5， .75, 1,2];B =√(log(2)/2)./(a);t = linspace(-span*Ts/2,span*Ts/2,1000)';Hg = 0(长度(t)，长度(a));为k = 1:长度(a) hg: k =√(π)/ (k) * exp(-(π* t / a (k)) ^ 2);结束情节(t / Ts hg)标题({连续时间高斯滤波器的脉冲响应；.．.'用于各种带宽'});包含(归一化时间(t/Ts)) ylabel (“振幅”)传说(sprintf ('a = %g*Ts'(1) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(2) / Ts),.．.sprintf ('a = %g*Ts'(3) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(4) / Ts))网格在；

图中包含一个轴对象。标题为连续时间高斯滤波器对不同带宽的脉冲响应的轴对象包含4个类型为line的对象。这些物体分别代表a = 0.5*Ts, a = 0.75*Ts, a = 1*Ts, a = 2*Ts。

注意脉冲响应被归一化为符号时间。

连续时间高斯滤波器的频率响应

我们将计算和绘制具有不同带宽的连续时间高斯滤波器的频率响应。在下面的图表中，3分贝的截止值由震级响应曲线上的红色圆圈('o')表示。注意3db带宽在DC和B之间。

F = linspace(0,32e6,10000)';Hideal = 0(长度(f)，长度(a));为k = 1:length(a) Hideal(:，k) = exp(-a(k)²*f.²);结束plot(f,20*log10(Hideal)) titleStr = {连续时间的理想震级响应；.．.“不同带宽的高斯滤波器”};标题(titleStr);传奇(sprintf ('B = %g'B (1)), sprintf ('B = %g'B (2)),.．.sprintf ('B = %g'B (3)), sprintf ('B = %g'B (4)))在为k = 1:长度(一)情节(B, 20 * log10 (exp (a ^ 2。* B . ^ 2)),“罗”，“HandleVisibility”，“关闭”）结束xlabel([0 5*max(B) -50 5])的频率(赫兹)) ylabel (“(dB)级”网格)在；

图中包含一个轴对象。标题为“连续时间高斯滤波器对各种带宽的理想幅度响应”的axis对象包含4个类型为line的对象。这些对象分别表示B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353。

高斯滤波器的FIR近似

我们将设计FIR高斯滤波器使用gaussdesign函数。该函数的输入是3-dB带宽-符号时间乘积，滤波器脉冲响应的开始和结束之间的符号周期数，即符号中的滤波器跨度，以及过采样因子(即每个符号的采样数)。

过采样因子(OVSF)决定了采样频率和滤波器长度，因此在高斯FIR滤波器设计中起着重要的作用。选择适当的过采样因子可以减小设计中的近似误差。我们通过比较两种不同过采样因子设计的高斯FIR滤波器来说明这一点。

首先，我们将考虑过采样因子为16来设计离散高斯滤波器。

Ovsf = 16;%过采样因子(样本/符号)H = 0 (97,4);Iz = 0 (97,4);为k = 1:长度(a) BT = B(k)*Ts;h(:，k) = gaussdesign(BT,span,ovsf);[iz(:，k)，t] = impz(h(:，k));结束图(“颜色”，“白色”) t = (t-t(end)/2)/Ts;茎(t,工业区)标题({高斯FIR滤波器的脉冲响应；.．.'各种带宽，OVSF = 16'});包含(归一化时间(t/Ts)) ylabel (“振幅”)传说(sprintf ('a = %g*Ts'(1) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(2) / Ts),.．.sprintf ('a = %g*Ts'(3) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(4) / Ts))网格在；

图中包含一个轴对象。标题为“不同带宽下高斯FIR滤波器的脉冲响应，OVSF = 16”的axis对象包含4个stem类型的对象。这些物体分别代表a = 0.5*Ts, a = 0.75*Ts, a = 1*Ts, a = 2*Ts。

FIR高斯滤波器的频率响应(过采样因子=16)

我们将计算过采样因子为16的高斯FIR滤波器的频率响应，并将其与理想的频率响应(即连续时间高斯滤波器的频率响应)进行比较。

Fs = ovsf/Ts;fvtool (h(: 1) 1、h (:, 2), 1 h (:, 3), 1 h (:, 4), 1,.．.“FrequencyRange”，'指定频率矢量'，.．.“FrequencyVector”f“Fs”Fs,“颜色”，“白色”）;

标题(“理想震级响应和FIR近似，OVSF = 16”)举行在情节(f * Ts, 20 * log10 (Hideal),“——”)举行从轴([0 32 -350 5])图例(追加([" b = ""理想，B = "),字符串(num2str (B ',“% g”))),.．.“NumColumns”2,“位置”，“最佳”）

图中包含一个轴对象。标题为“理想幅度响应和FIR近似，OVSF = 16”的轴对象包含8个类型为stem, line的对象。这些对象分别代表B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353, Ideal, B = 1.17741e+06, Ideal, B = 784940, Ideal, B = 588705, Ideal, B = 294353。

请注意，前两个FIR滤波器显示混叠错误，最后两个FIR滤波器显示截断错误。当采样频率不大于奈奎斯特频率时发生混叠。在前两个滤波器的情况下，带宽足够大，过采样因子不能充分分离光谱副本以避免混叠。然而，混叠的数量并不是很重要。

另一方面，最后两个FIR滤波器在出现混叠之前显示了FIR近似限制。这两个滤波器的幅度响应达到一个地板之前，他们可以重叠的光谱副本。

过采样因子的意义

混叠和截断误差根据过采样因子的不同而不同。如果过采样因子降低，这些误差将更加严重，因为这会降低采样频率(从而使副本更接近)，也会降低滤波器长度(增加FIR近似的误差)。

例如，如果我们选择过采样因子为4，我们将看到所有的FIR滤波器都表现出混叠误差，因为采样频率不足以避免光谱副本的重叠。

Ovsf = 4;%过采样因子(样本/符号)H = 0 (25,4);Iz = 0 (25,4);为k = 1:长度(a) BT = B(k)*Ts;h(:，k) = gaussdesign(BT,span,ovsf);[iz(:，k)，t] = impz(h(:，k));结束图(“颜色”，“白色”) t = (t-t(end)/2)/Ts;茎(t,工业区)标题({高斯FIR滤波器的脉冲响应；'对于各种带宽，OVSF = 4'});包含(归一化时间(t/Ts)) ylabel (“振幅”)传说(sprintf ('a = %g*Ts'(1) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(2) / Ts),.．.sprintf ('a = %g*Ts'(3) / Ts), sprintf ('a = %g*Ts'(4) / Ts))网格在；

图中包含一个轴对象。标题为“不同带宽下高斯FIR滤波器的脉冲响应，OVSF = 4”的axis对象包含4个stem类型的对象。这些物体分别代表a = 0.5*Ts, a = 0.75*Ts, a = 1*Ts, a = 2*Ts。

FIR高斯滤波器的频率响应(过采样因子=4)

我们将绘制和研究过采样因子为4的高斯FIR滤波器的频率响应。过采样因子越小，采样频率越小。因此，这个采样频率不足以避免光谱重叠，所有的FIR近似滤波器都表现出混叠。

Fs = ovsf/Ts;fvtool (h(: 1) 1、h (:, 2), 1 h (:, 3), 1 h (:, 4), 1,.．.“FrequencyRange”，'指定频率矢量'，.．.“FrequencyVector”f“Fs”Fs,“颜色”，“白色”）;

标题(理想震级响应和FIR近似，OVSF = 4)举行在情节(f * Ts, 20 * log10 (Hideal),“——”)举行从轴([0 32 -350 5])图例(追加([" b = ""理想，B = "),字符串(num2str (B ',“% g”))),.．.“NumColumns”2,“位置”，“东南”）

图中包含一个轴对象。标题为“理想幅度响应和FIR近似，OVSF = 4”的轴对象包含8个茎、线类型的对象。这些对象分别代表B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353, Ideal, B = 1.17741e+06, Ideal, B = 784940, Ideal, B = 588705, Ideal, B = 294353。

另请参阅

FVTool|gaussdesign