用广义线性模型拟合数据
这个例子展示了如何使用glmfit和glmval．普通线性回归可以用来拟合直线，或任何函数的参数是线性的，以数据正态分布的误差。这是最常用的回归模型;然而，这并不总是现实的。广义线性模型从两方面扩展了线性模型。首先，通过引入连杆函数，放宽了参数线性的假设。第二，可以对除正态分布以外的误差分布进行建模
广义线性模型
回归模型用一个或多个预测变量(通常表示为x1, x2等)定义响应变量(通常表示为y)的分布。最常用的回归模型，普通线性回归，模型y作为一个正态随机变量，其均值是预测器的线性函数，b0 + b1*x1 +…，其方差是常数。在单个预测器x的最简单情况下，模型可以表示为每一点的高斯分布直线。
Mu = @(x) -1.9+.23*x;x = 5: .1:15;yhat =μ(x);dy = -3.5: .1:3.5;深圳=大小(dy);k =(长度(dy) + 1) / 2;x1 = 7 * 1(深圳);日元=μ(x1) + dy;z1 = normpdf(μ(x1)、日元1);x2 = 10 * 1(深圳); y2 = mu(x2)+dy; z2 = normpdf(y2,mu(x2),1); x3 = 13*ones(sz); y3 = mu(x3)+dy; z3 = normpdf(y3,mu(x3),1); plot3(x,yhat,zeros(size(x)),“b -”，．..(x1, y1, z1,的r -， x1([k k])，y1([k k])，[0 z1(k)]，“:”，．..x2, y2、z2的r -， x2([k k])，y2([k k])，[0 z2(k)]，“:”，．..x3, y3、z3、的r -， x3([k k])，y3([k k])，[0 z3(k)]，“:”）;zlim ([0 1]);包含(“X”）;ylabel (“Y”）;zlabel (的概率密度）;网格在；视图(45 [-45]);
在广义线性模型中，响应的均值被建模为预测器g(b0 + b1*x1 +…)的线性函数的单调非线性变换。变换g的逆称为“连杆”函数。示例包括logit (sigmoid)链接和log链接。y也可以是非正态分布，如二项分布或泊松分布。例如，具有对数链接和单个预测器x的泊松回归可以表示为每一点具有泊松分布的指数曲线。
Mu = @(x) exp(-1.9+.23*x);x = 5: .1:15;yhat =μ(x);x1 = 7 * 1(1、5);日元= 0:4;z1 = poisspdf(μ(x1)日元);x2 = 10 * 1 (7);y2 = 0:6;z2 = poisspdf (y2,μ(x2));x3 = 13 * 1 (9); y3 = 0:8; z3 = poisspdf(y3,mu(x3)); plot3(x,yhat,zeros(size(x)),“b -”，．..[x1;x1],[日元;y1]、[z1;0(大小(y1))),的r -(x1, y1, z1,“r”。，．..[x2;x2]、[y2;y2]、[z2;0(大小(y2))),的r -x2, y2, z2,“r”。，．..[x3;x3]、[y3;y3]、[z3;0(大小(y3))),的r -z3、x3 y3,“r”。）;zlim ([0 1]);包含(“X”）;ylabel (“Y”）;zlabel (“概率”）;网格在；视图(45 [-45]);
拟合Logistic回归
这个例子涉及一个实验，以帮助模拟各种重量的汽车的比例，未能通过里程测试。这些数据包括对重量、测试车辆数量和失败车辆数量的观察。
一套汽车重量重量= [2100 2300 2500 2700 2900 3100 3300 3500 3700 3900 4100 4300]';每一重量测试的汽车数量已测试= [48 42 31 34 31 21 23 23 21 16 17 21]';每一重量未通过测试的汽车数量Failed = [1 2 0 3 8 8 14 17 19 15 17 21]';每一重量所对应的汽车失败的比例比例=失败/测试;情节(重量、比例、“年代”)包含(“重量”）;ylabel (“比例”）;
这张图是失败汽车的比例，作为重量的函数。可以合理地假设失效计数来自二项分布，概率参数P随着权重的增加而增加。但是P是如何依赖于重量的呢?
我们可以试着用一条直线来拟合这些数据。
linearCoef = polyfit(重量比例1);linearFit = polyval (linearCoef、重量);情节(重量、比例、“年代”、重量、linearFit的r -，[2000 4500]，[0 0]，凯西:”，[2000 4500]，[1 1]，凯西:”)包含(“重量”）;ylabel (“比例”）;
这种线性拟合存在两个问题:
1)该线预测小于0和大于1的比例。
2)比例不是正态分布，因为它们必然有界。这违背了拟合简单线性回归模型所需的假设之一。
使用高阶多项式可能会有帮助。
[cubicCoef,统计,ctr] = polyfit(重量、比例、3);cubicFit = polyval (cubicCoef、重量、[],ctr);情节(重量、比例、“年代”、重量、cubicFit的r -，[2000 4500]，[0 0]，凯西:”，[2000 4500]，[1 1]，凯西:”)包含(“重量”）;ylabel (“比例”）;
然而，这种契合仍然存在类似的问题。由图可知，当权重大于4000时，拟合比例开始减小;事实上，当权重值较大时，它将变为负值。当然，正态分布的假设仍然被违背了。
相反，更好的方法是使用glmfit拟合逻辑回归模型。逻辑回归是广义线性模型的一种特殊情况，对于这些数据，逻辑回归比线性回归更合适，原因有二。首先，它使用了适合二项分布的拟合方法。其次，物流环节将预测比例限制在[0,1]范围内。
对于逻辑回归，我们指定预测器矩阵，和一个矩阵，其中一列包含失败计数，一列包含测试数。我们还指定了二项分布和logit链接。
[logitCoef,dev] = glmfit(weight，[failed tested]，“二”，分对数的）;logitFit = glmval (logitCoef、重量、分对数的）;情节(重量、比例、“废话”、重量、logitFit的r -）;包含(“重量”）;ylabel (“比例”）;
如图所示，当权重变小或变大时，拟合的比例渐近线为0和1。
模型诊断
的glmfit函数提供了一些输出，用于检查模型的适用性和测试模型。例如，我们可以比较两个模型的偏差值，以确定平方项是否会显著改善拟合。
[logitCoef2,dev2] = glmfit([weight权重。^ 2],(未测试)“二”，分对数的）;Pval = 1 - chi2cdf(dev-dev2,1)
pval = 0.4019
较大的p值表明，对于这些数据，二次项并不能显著改善拟合。两种拟合的图显示，两者的拟合差别不大。
logitCoef2 = glmval(logitCoef2，[weight weight.^2]，分对数的）;情节(重量、比例、“废话”、重量、logitFit的r -、重量、logitFit2“g -”）;传奇(“数据”，“线性条件”，线性和二次项，“位置”，“西北”）;
为了检验拟合的好坏，我们还可以看皮尔逊残差的概率图。这些都是标准化的，当模型与数据合理匹配时，它们有一个大致的标准正态分布。(如果没有这个标准化，残差就会有不同的方差。)
[logitCoef,dev,stats] = glmfit(weight，[failed tested]，“二”，分对数的）;normplot (stats.residp);
残差图与正态分布很好地吻合。
评估模型预测
一旦我们对模型感到满意，我们就可以用它来进行预测，包括计算置信范围。在这里，我们预测了在100辆被测试的汽车中，在四种重量下每一种都无法通过里程测试的预期数量。
weightPred = 2500:500:4000;[failedPred dlo,济]= glmval (logitCoef weightPred,分对数的统计,.95,100);dlo errorbar (weightPred failedPred,济,＇：＇）;
二项模型的链接函数
对于这五个分布中的每一个glmfit万博1manbetx支持，有一个规范的(默认的)链接函数。对于二项分布，规范的连接是logit。然而，对于二项模型来说，还有其他三个联系是合理的。所有四个都保持在区间[0,1]内的平均响应。
η= 5:.1:5;Plot (eta,1 ./ (1 + exp(-eta))“- - -”埃塔,normcdf (eta),“- - -”，．..η1 - exp (exp (eta)),“- - -”埃塔,exp (exp (eta)),“- - -”）;包含(“预测器的线性函数”）;ylabel (“预测平均响应”）;传奇(分对数的，“probit”，互补的双对数的，“对数”，“位置”，“东”）;
例如，我们可以将probit链接的匹配与logit链接的匹配进行比较。
probitCoef = glmfit(重量，[测试失败]，“二”，“probit”）;probitFit = glmval (probitCoef、重量、“probit”）;情节(重量、比例、“废话”、重量、logitFit的r -、重量、probitFit“g -”）;传奇(“数据”，“Logit模型”，“Probit模型”，“位置”，“西北”）;
数据通常很难区分这四种链接功能，通常是在理论基础上做出选择。
你也可以从以下列表中选择一个网站:
