适合度的数据和模型

我们将利用收集到的数据来研究工业和生活垃圾造成的水污染。这些数据在Box、g.p.、W.G. Hunter和J.S. Hunter的《实验者的统计》(Wiley, 1978，第483-487页)中有详细描述。反应变量为生化需氧量(mg/l)，预测变量为培养时间(天)。

X = [1 2 3 5 7 10]';Y = [109 149 149 191 213 224]';情节(x, y,“柯”）;包含(“孵化(天),x '）;ylabel ('生化需氧量(mg/l)， y'）;

我们假定，前两次观测的精度不如其余观测的精度。例如，它们可能是用另一种乐器制成的。重量数据的另一个常见原因是,每个记录观察实际上是几个度量值的平均值在相同的值(x)的数据,假设第一个两个值代表的是单一的原始测量,而其余四个都5原始测量值的平均值。然后用每一次观测的测量值来衡量是合适的。

W = [1 1 5 5 5 5]';

我们用来拟合这些数据的模型是一个缩放的指数曲线，随着x变大而变得水平。

modelFun = @(b,x) b(1).*(1-exp(-b(2).*x));

仅仅基于粗略的视觉拟合，通过这些点绘制的曲线可能会在x = 15附近的某个地方稳定在240左右。我们用240作为b1的初始值，因为e^(- 5*15)比1小，所以我们用。5作为b2的初始值。

开始= [240;5);

在没有权重的情况下适合模型

忽略测量误差的危险是，拟合可能会受到不精确测量的过度影响，因此可能不能很好地拟合已知的测量。让我们拟合没有权重的数据，并将其与点进行比较。

nlm = fitnlm (x, y, modelFun,开始);xx = linspace (0, 12) ';线(xx,预测(nlm, xx),“线型”，“——”，“颜色”，“k”）

用权重拟合模型

请注意，拟合曲线被拉向前两点，但似乎错过了其他点的趋势。让我们用重量来重复健身。

modelFun wnlm = fitnlm (x, y,开始,“重量”w)线(xx,预测(wnlm, xx),“颜色”，“b”）

wnlm =非线性回归模型:y ~ b1*(1 - exp(- b2*x)) Estimated Coefficients: Estimate SE tStat pValue ________ ________ ______ __________ b1 225.17 10.7 21.045 3.0134e-05 b2 0.40078 0.064296 6.2333 0.0033745观测数:6，误差自由度:4均方根误差:24 R-Squared:0.885 F-statistic vs. zero model: 696, p-value = 8.2e-06

在这种情况下，估计的总体标准差描述了一个“标准”观测值的平均变异，其权重或测量精度为1。

wnlm。RMSE

ans = 24.0096

任何分析的一个重要部分是对模型拟合精度的估计。系数显示显示了参数的标准误差，但我们也可以计算它们的置信区间。

coefCI (wnlm)

Ans = 195.4650 254.8788 0.2223 0.5793

估计响应曲线

接下来，我们将计算拟合的响应值和置信区间。默认情况下，这些宽度用于预测值的点向置信范围，但我们将请求整个曲线的同时间隔。

[ypred, ypredci] =预测(wnlm, xx,“同时”,真正的);情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,”乙:“）;包含(“x”）;ylabel (“y”）;传奇({“数据”，“加权匹配”，95%置信区间的}，“位置”，“东南”）;

请注意，这两个下加权点与曲线的拟合程度不如其余点。这是加权匹配的结果。

在指定的x值上估计未来观测的预测间隔也是可能的。这些间隔实际上假定权重或测量精度为1。

[ypred, ypredci] =预测(wnlm, xx,“同时”,真的,“预测”，“观察”）;情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx ypredci,”乙:“）;包含(“x”）;ylabel (“y”）;传奇({“数据”，“加权匹配”，“95%预测限制”}，“位置”，“东南”）;

权重的绝对尺度实际上并不影响参数估计。将权重按任何常数重新调整，我们都会得到相同的估计值。但它们确实会影响置信界限，因为置信界限表示权值为1的观察值。这里你可以看到，与置信限相比，权重较高的点似乎太接近拟合线。

而预测方法不允许我们改变权重，我们可以做一些后处理，调查曲线如何寻找一个更精确的估计。假设我们对一个基于五个测量值平均值的新观测结果感兴趣，就像图中的最后四个点一样。我们可以将间隔的宽度减小根号5。

半宽度= ypredci (:, 2) -ypred;newwidth =半宽度/√(5);Newci = [ypred-newwidth, ypred+newwidth];情节(x, y,“柯”xx ypred,“b -”xx newci,“:”）;包含(“x”）;ylabel (“y”）;传奇({“数据”，“加权匹配”，“限制重量= 5”}，“位置”，“东南”）;

残留分析

除了绘制数据和拟合，我们还将绘制拟合与预测器的残差，以诊断模型的任何问题。残差看起来应该是独立的、同分布的，但方差与权重的倒数成正比。我们可以将此方差标准化，使绘图更容易解释。

r = wnlm.Residuals.Raw;情节(x, r。* sqrt (w),“b ^”）;包含(“x”）;ylabel ('残差，yFit - y'）;

在这片残余地块上有一些系统模式的证据。注意最后四个残差是如何呈线性趋势的，这表明随着x的增加，模型的增长速度可能不够快。此外，残差的大小往往随着x的增加而减小，这表明测量误差可能取决于x。这些值得调查，然而，数据点太少，很难重视这些明显的模式。