傅里叶和反傅里叶变换- MATLAB和Simulink万博1manbetx - 万博1manbetx,s manbetx 845,万博尤文图斯

傅里叶变换和傅里叶反变换

此页面显示了符号数学工具箱™中的傅里叶和反傅里叶变换的工作流。有关简单的示例，请参见傅里叶和ifourier．在这里，傅里叶变换的工作流程是通过计算梁的挠度由于一个力。相关的微分方程由傅里叶变换求解。

傅里叶变换的定义

的傅里叶变换f（x关于x在w是

$F （ w ）＝ \int_{- \infty}^{\infty} f （ x ） e^{- 我 w x} d x ．$

傅里叶反变换是

$f （ x ）＝ \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F （ w ） e^{我 w x} d w ．$

概念:使用符号工作流

符号工作流以自然的符号形式而不是数字形式进行计算。这种方法可以帮助您理解解决方案的属性并使用精确的符号值。只有在需要数字结果或无法按符号继续时，才用数字代替符号变量。有关详细信息,请参见选择数字或符号算术．通常，步骤是:

申报的方程。
解决方程。
替代的价值观。
阴谋的结果。
分析的结果。

用傅里叶变换计算光束偏转

定义方程

傅里叶变换可用于求解常微分方程和偏微分方程。例如，你可以模拟在点力作用下，一根无限长的梁在弹性基础上的挠度。一个相应的现实例子是地基上的铁轨。轨道为无限长梁，基础为弹性梁。

让

E为梁(或轨道)的弹性。
我为梁截面面积的第二弯矩。
k为基础的弹簧刚度。

微分方程是

$\frac{d^{4} y}{d x^{4}} + \frac{k}{E 我} y ＝ \frac{1}{E 我} δ （ x ）， - \infty < x < \infty ．$

定义的函数y (x)和变量。假设E，我,k是积极的。

符号Y(x) w E I k f假设([E I k] > 0)

使用symunit．

u = symunit;欧盟= E * u.Pa;%帕斯卡u = I*u * m^4;% meter^4 ku = k* un /u.m^2;%牛顿/米^2 X = X *u.m;F = F *联合国/ u.m;

定义微分方程。

Y = (u* u) + u/(u* u) + u/(u* u)

eqn (x) = diff (Y (x), x, x, x, x) * (1 / [m] ^ 4) + ((k * Y (x)) / (E * I)) * ([N] / ((Pa) * [m] ^ 6)) = =…(f / E * I)) * ([N] / ((Pa) * [m] ^ 5))

代表了力量f狄拉克函数δ(x）．

狄拉克eqn =潜艇(eqn f (x))

eqn (x) = diff (Y (x), x, x, x, x) * (1 / [m] ^ 4) + ((k * Y (x)) / (E * I)) * ([N] / ((Pa) * [m] ^ 6)) = =…(狄拉克(x) / (E *我))* ([N] / ((Pa) * [m] ^ 5))

解决方程

计算的傅里叶变换eqn通过使用傅里叶双方eqn．傅里叶变换将微分化为指数w．

eqnFT =傅立叶(lhs(eqn)) ==傅立叶(rhs(eqn))

eqnFT = w ^ 4 *傅里叶(Y (x), x, w) * (1 / [m] ^ 4) + ((k *傅里叶(Y (x), x, w)) / (E *我))* ([N] / ((Pa) * [m] ^ 6))…= = (1 / (E *我))* ([N] / ((Pa) * [m] ^ 5))

隔离傅里叶(Y (x), x, w)在方程。

分离(eqnFT，傅里叶(Y(x)，x,w))

eqnFT =傅里叶(Y (x), x, w) = = (1 / (E *我* w ^ 4 * (Pa) * [m] ^ 2 + k * [N])) * [N] * [m]

计算Y (x)通过计算右边的傅里叶反变换。简化的结果。

YSol = ifourier (rhs (eqnFT));YSol =简化(YSol)

YSol = ((exp (- (2 ^ (1/2) * k ^ (1/4) * abs (x)) / (2 * E ^(1/4) *我^ (1/4)))* sin ((2 * 2 ^ (1/2) * k ^ (1/4) * abs (x) +…π* E ^(1/4) *我^ (1/4))/ (4 * E ^(1/4) *我^ (1/4))))/ (2 * E ^(1/4) *我^ ^ (1/4)* k (3/4))) * [m]

检查YSol替换后尺寸是否正确YSol成eqn和使用checkUnits函数。checkUnits返回逻辑1（真正的),这意味着eqn现在有相同物理维度的兼容单位。

checkUnits(潜艇(eqn Y YSol))

ans = struct with fields: Consistent: 1 Compatible: 1

使用命令将表达式与单位分离separateUnits．

YSol = separateUnits (YSol)

YSol = (exp (- (2 ^ (1/2) * k ^ (1/4) * abs (x)) / (2 * E ^(1/4) *我^ (1/4)))* sin ((2 * 2 ^ (1/2) * k ^ (1/4) * abs (x) +…π* E ^(1/4) *我^ (1/4))/ (4 * E ^(1/4) *我^ (1/4))))/ (2 * E ^(1/4) *我^ ^ (1/4)* k (3/4))

替代值

使用的值E= 10⁶巴勒斯坦权力机构，我= 10^－3米⁴,k = 10⁶N / m²．将这些值代入YSol并通过使用转换为浮点数vpa精确到16位。

值= [1e6 1e-3 1e5];YSol = subs(YSol，[E I k]，values);YSol = vpa (YSol, 16)

YSol = 0.0000158113883008419*exp(-2.23606797749979*abs(x))*sin(2.23606797749979*abs(x) +…0.7853981633974483)

阴谋的结果

用fplot．

fplot(YSol) xlabel('x') ylabel('挠度y(x)')

分析结果

从图中可以看出，点力引起的梁的挠度是高度局部性的。挠度在撞击点处最大，然后迅速减小。符号结果使您能够分析结果的属性，这在数值结果中是不可能的。

请注意,YSol是一系列项的乘积。这个词与罪表明响应是振动的振荡行为。这个词与经验值结果表明，随着距离撞击点的距离增加，振荡行为迅速被指数衰减所抑制。