差异化

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此示例显示如何使用符号数学工具箱™分析和评估衍生物。在该示例中，您将找到F（x）的第1和第2衍生物，并使用这些衍生品找到本地最大值，最小值和拐点。

一阶导数：寻找局部极小值和极大值

计算表达式的一阶导数有助于找到该表达式的局部极小值和极大值。在创建符号表达式之前，请声明符号变量：

符号x

默认情况下，包含虚构组件万博尤文图斯的解决方案包含在结果中。x假设x是真实的：

假设(x,'真实的')

例如，创建一个有理表达式(即，分子和分母是多项式表达式的分数)。

f=（3*x^3+17*x^2+6*x+1）/（2*x^3-x+3）

f=
                 
                   $\frac{3. x^{3.} + 17 x^{2.} + 6. x + 1.}{2. x^{3.} - x + 3.}$

绘制这个表达式可以看出，该表达式有水平和垂直的渐近线，局部最小值在-1和0之间，局部最大值在1和2之间:

fplot（f）网格

要找到水平渐近线，请计算F对于x接近积极和负数。水平渐近是y=3/2:

lim_left = limit（f，x，-inf）

lim_left =.
                 
                   $\frac{3.}{2.}$

lim_right=极限（f，x，inf）

lim_right =
                 
                   $\frac{3.}{2.}$

将这条水平渐近线添加到绘图中:

持有在绘图（xlim，[lim_right lim_right]，“线型”,'-.','颜色', [0.25 0.25 0.25])

求直线的垂直渐近线F，找到极点F:

POLE_POS = POLES（F，X）

杆位=
                 
                   $- \frac{1.}{6. {(\frac{3.}{4.} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432.}}{432.})}^{1. / 3.}} - {(\frac{3.}{4.} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432.}}{432.})}^{1. / 3.}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双重的功能：

双（杆位置）

ans=-1.2896

现在求出的局部最小值和最大值F．如果点是本地极值（最小或最大值），则该点处表达的第一个导数等于零。计算衍生物F使用差异:

g=diff（f，x）

g=
                 
                   $\frac{9 x^{2.} + 34 x + 6.}{2. x^{3.} - x + 3.} - \frac{(6. x^{2.} - 1.) (3. x^{3.} + 17 x^{2.} + 6. x + 1.)}{{(2. x^{3.} - x + 3.)}^{2.}}$

求函数的局部极值F，解决方程g==0:

g0=求解（g，x）

g0=
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2.}}}{6. {σ_{3.}}^{1. / 6.}} - σ_{1.} - \frac{15}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2.}}}{6. {σ_{3.}}^{1. / 6.}} + σ_{1.} - \frac{15}{68} \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6.} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841. {σ_{3.}}^{1. / 3.} \sqrt{σ_{2.}}}{578} - 9 {σ_{3.}}^{2. / 3.} \sqrt{σ_{2.}} - \frac{361 \sqrt{σ_{2.}}}{289}}}{6. {σ_{3.}}^{1. / 6.} {σ_{2.}}^{1. / 4.}} \\ σ_{2.} = \frac{2841. {σ_{3.}}^{1. / 3.}}{1156} + 9 {σ_{3.}}^{2. / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{3.} = \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604.} \end{array}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双重的功能：

双（g0）

ans=2×1-0.1892 1.2860

表达方式F本地最大值为x=1.286以及在x = -0.189.使用以下方法获取这些点的函数值：潜艇:

F0 =子（F，X，G0）

f0=
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{3. σ_{2.} - 17 {(σ_{5.} - σ_{6.} + \frac{15}{68})}^{2.} - σ_{4.} + σ_{1.} + \frac{11}{34}}{σ_{6.} + 2. σ_{2.} - σ_{5.} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4.} + 17 {(σ_{6.} + σ_{5.} - \frac{15}{68})}^{2.} + 3. σ_{3.} + σ_{1.} - \frac{11}{34}}{σ_{6.} - 2. σ_{3.} + σ_{5.} - \frac{219}{68}} \end{array}) \\ 哪里 \\ σ_{1.} = \frac{σ_{7.}}{{σ_{9}}^{1. / 6.} {σ_{8.}}^{1. / 4.}} \\ σ_{2.} = {(σ_{5.} - σ_{6.} + \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{3.} = {(σ_{6.} + σ_{5.} - \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{4.} = \frac{\sqrt{σ_{8.}}}{{σ_{9}}^{1. / 6.}} \\ σ_{5.} = \frac{σ_{7.}}{6. {σ_{9}}^{1. / 6.} {σ_{8.}}^{1. / 4.}} \\ σ_{6.} = \frac{\sqrt{σ_{8.}}}{6. {σ_{9}}^{1. / 6.}} \\ σ_{7.} = \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6.} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841. {σ_{9}}^{1. / 3.} \sqrt{σ_{8.}}}{578} - 9 {σ_{9}}^{2. / 3.} \sqrt{σ_{8.}} - \frac{361 \sqrt{σ_{8.}}}{289}} \\ σ_{8.} = \frac{2841. {σ_{9}}^{1. / 3.}}{1156} + 9 {σ_{9}}^{2. / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{9} = \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604.} \end{array}$

使用该方法近似于数值的精确解决方案双重的在变量上的功能f0:

双（F0）

ans=2×10.1427 7.2410

将点标记添加到图形的极值处：

情节(g0 f0,“好的”)

第二衍生物：找到拐点

计算二阶导数可以找到表达式的拐点。计算二阶或更高阶导数的最有效方法是使用指定导数阶数的参数：

h=diff（f，x，2）

h=
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{18 x + 34}{σ_{1.}} - \frac{2. (6. x^{2.} - 1.) (9 x^{2.} + 34 x + 6.)}{{σ_{1.}}^{2.}} - \frac{12 x σ_{2.}}{{σ_{1.}}^{2.}} + \frac{2. {(6. x^{2.} - 1.)}^{2.} σ_{2.}}{{σ_{1.}}^{3.}} \\ 哪里 \\ σ_{1.} = 2. x^{3.} - x + 3. \\ σ_{2.} = 3. x^{3.} + 17 x^{2.} + 6. x + 1. \end{array}$

现在，简化该结果：

h=简化（h）

h=
                 
                   $\frac{2. (68 x^{6.} + 90 x^{5.} + 18 x^{4.} - 699 x^{3.} - 249 x^{2.} + 63 x + 172)}{{(2. x^{3.} - x + 3.)}^{3.}}$

找到拐点F，解决方程h=0.此处，使用数值解算器vpasolve要计算解的浮点近似值，请执行以下操作：万博尤文图斯

h0=vpasolve（h，x）

h0=
                 
                   $(\begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 我 \end{array})$

表达方式F有两个拐点：x=1.865和x = 0.579.．请注意,vpasolve还返回复杂的解决方案。放弃这些解决方案：万博尤文图斯

h0（imag（h0）~=0）=[]

h0=
                 
                   $(\begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array})$

向显示拐点的绘图添加标记：

图（h0，subs（f，x，h0），“*k”)举行离开

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万博1manbetx

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