拉普拉斯操作员的特征值

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此示例显示了如何解决LAPPAlt操作员在L形区域上的特征值问题。

膜问题

考虑一个固定在边界的膜 $\partial ω.$ 一个地区 $ω.$ 在飞机上。它的流离失所 $你（ X 那 y ）$ 由特征值问题描述 $δ. 你 = λ. 你$ ，在哪里 $δ. 你 = 你_{X X} + 你_{y y}$ 是拉普拉斯州的运营商和 $λ.$ 是标量参数。边界条件是 $你（ X 那 y ） = 0.$ 对所有人 $（ X 那 y ） \in \partial ω.$ 。

拉普拉斯操作员是自伴和负面的，即只有真正的消极特征值 $λ.$ 存在。存在最大（负）离散的特征值，相应的特征函数 $你$ 被称为基地。在这个例子中， $ω.$ 是L形区域，与该区域相关的地位是L形膜，其是MATLAB®标识。

九点有限差异近似

最简单的特征值问题的方法是近似拉普拉斯人 $δ. 你$ 通过有限差分近似（a模版）在带距离的点的平方网格上HX.在 $X$ 方向和距离HY.在 $y$ 方向。在这个例子中，近似 $δ. 你$ 总和S_H.中点周围的九个常规网格点 $（ X 那 y ）$ 。未知数是重量 ${一种}_{- 1 - 1} 那 ...... 那 {一种}_{11}$ 。

Syms.U（x，y）eps.A11A10A1_1A01A00A0_1.A_11A_10A_1_1.Syms.HX.HY.积极的s_h = a_11 * u（x  -  eps * hx，y + eps * hy）+......A01 * U（x，y + eps * hy）+......A11 * U（X + EPS * HX，Y + EPS * HY）+......A_10 * U（X  -  EPS * HX，Y）+......a00 * u（x，y）+......A10 * U（X + EPS * HX，Y）+......A_1_1 * U（X  -  EPS * HX，Y  -  EPS * HY）+......a0_1 * u（x，y  -  eps * hy）+......A1_1 * U（x + EPS * HX，Y  -  EPS * HY）;

使用符号参数eps.通过权力对此表达的扩展进行分类HX.和HY.。了解权重，您可以通过设置近似拉普拉斯人EPS = 1。

T =泰勒（S_H，EPS，'命令'，7）;

使用COEFFS.用相同的权力提取它们的术语系数的功能eps.。每个系数是含有幂的表达HX.那HY.和衍生物的你关于 $X$ 和 $y$ 。自从S_H.代表 $你_{X X} + 你_{y y}$ ，所有其他衍生物的系数你必须是零。通过替换所有衍生物来提取系数你，除了 $你_{X X}$ 和 $你_{y y}$ ，换0。更换 $你_{X X}$ 和 $你_{y y}$ 到1.这将泰勒扩展降低到要计算的系数，并导致以下六个线性方程。

C =公式（COEFFS（T，EPS，'全部'））;eq0 = summ（c（7），u（x，y），1）== 0;eq11 = summ（c（6），[diff（u，x），diff（u，y）]，[1,0]）== 0;eq12 = summ（c（6），[diff（u，x），diff（u，y）]，[0,1]）== 0;eq21 =子（c（5），[diff（u，x，x），diff（u，x，y），diff（u，y，y），[1,0,0]）== 1;eq22 = summ（c（5），[diff（u，x，x），diff（u，x，y），diff（u，y，y）]，[0,1,0]）== 0;eq23 = summ（c（5），[diff（u，x，x），diff（u，x，y），diff（u，y，y），[0,0,1]）== 1;

由于有九个未知权重S_H.，通过要求所有三阶衍生物添加其他方程式你是0。

eq31 = summ（c（4），[diff（u，x，x，x），diff（u，x，x，y），diff（u，x，y，y），diff（u，y，y，Y），[1,0,0,0]）== 0;eq32 = summ（c（4），[diff（u，x，x，x），diff（u，x，x，y），diff（u，x，y，y），diff（u，y，y，y）]，[0,1,0,0]）== 0;eq33 = summ（c（4），[diff（u，x，x，x），diff（u，x，x，y），diff（u，x，y，y），diff（u，y，y，y）]，[0,0,1,0]）== 0;eq34 = summ（c（4），[diff（u，x，x，x），diff（u，x，x，y），diff（u，x，y，y），diff（u，y，y，y），[0,0,0,1]）== 0;

解决九个未知权重的由此产生的十个方程。用returnconditions.找到包括任意参数的所有解万博尤文图斯决方案。

[A11，A10，A1_1，A01，A00，A0_1，A_11，A_10，A_1_1，参数，条件] =......解决（[EQ0，EQ11，EQ12，EQ21，EQ22，EQ23，EQ31，EQ32，EQ33，EQ34，EQ34]，......[A11，A10，A1_1，A01，A00，A0_1，A_11，A_10，A_1_1]，......'returnconditions'，真的）;展开（[A_11，A01，A11;......A_10，A00，A01;......A1_1，A0_1，A_1_1]）

ans =.
                 
                   $（ \begin{array}{c} Z. & \frac{1}{{HY.}^{2}} - 2 Z. & Z. \\ \frac{1}{{HX.}^{2}} - 2 Z. & 4. Z. - \frac{2}{{HX.}^{2}} - \frac{2}{{HY.}^{2}} & \frac{1}{{HY.}^{2}} - 2 Z. \\ Z. & \frac{1}{{HY.}^{2}} - 2 Z. & Z. \end{array} ）$

参数

参数=
                  $Z.$

使用subs通过计算值替换权重。

c =简化（潜艇（c））;

表达式C（7）那C（6），和C（4）包含0th，第1和第3衍生物你消失。

[C（7），C（6），C（4）]

ans =.
                  $（ \begin{array}{c} 0. & 0. & 0. \end{array} ）$

表达方式C（5）是拉普拉斯人你。

C（5）

ans =.
                 
                   $\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 那 y ） + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 你 （ X 那 y ）$

因此，在上面计算的权重的值，模板S_H.近似拉普拉斯人达到订单HX ^ 2那hy ^ 2对于任意参数的任何值Z.，提供了Z.被选中为订单O（1 / hx ^ 2,1 / hy ^ 2）。

含有第四和高阶衍生物的条款

虽然解决方案包含一个免费参数Z.，表达方式C（3）包含四阶衍生物你不能通过合适的选择变成零Z.。另一种选择是将其转换为Laplace操作员的正方形。

Syms.D.laplace = @（u）拉普拉斯（u，[x，y]）;扩展（D * LAPLACH（LAPLACE（U））））

ans（x，y）=
                 
                   $D. \frac{\partial^{4.}}{\partial X^{4.}} 你 （ X 那 y ） + 2 D. \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 那 y ） + D. \frac{\partial^{4.}}{\partial y^{4.}} 你 （ X 那 y ）$

挑选不同的衍生品你在C（3），并将它们的系数与相应的术语等同起来。

子（C（3），[差异（u，x，x，x，x），diff（u，x，x，y，y），diff（u，y，y，y，y）]，[1，0,0]）== d

ans =.
                 
                   $\frac{{HX.}^{2}}{12.} = D.$

子（C（3），[差异（u，x，x，x，x），diff（u，x，x，y，y），diff（u，y，y，y，y）]，[0，1,0]）== 2 * d

ans =.
                  ${HX.}^{2} {HY.}^{2} Z. = 2 D.$

子（C（3），[差异（u，x，x，x，x），diff（u，x，x，y，y），diff（u，y，y，y，y）]，[0，0,1]）== d

ans =.
                 
                   $\frac{{HY.}^{2}}{12.} = D.$

因此，你可以选择D = HX ^ 2/12 = hy ^ 2/12和z = 2 * d /（hx ^ 2 * hy ^ 2），暗示hx = hy.和Z = 1 /（6 * HX * HY）。因此，模板S_H.在方形网格上近似改进的拉普拉斯hx = hy = h。

${S.}_{H} = δ. 你 + \frac{H^{2}}{12} {δ.}^{2} 你 + O. （ H^{3.} ）。（ 1 ）$

Syms.Hhx = h;hy = h;d = h ^ 2/12;

代替HX.和HY.经过H。

C =子（C）;

代替Z.通过其价值，1 /（6 * H ^ 2）。因为Z.在Matlab®工作区中不存在，您只能访问它作为存储在中的值参数大批。

C =子（C，参数，1 /（6 * H ^ 2））;

验证公式（1）。

简化（C（3） -  D * laplace（拉普拉斯（U）））

ans（x，y）=
                  $0.$

现在，考虑第三顺序HX.那HY.。

简化（C（2））

ans =.
                  $0.$

由于在模板的扩展中没有存在这些条款，因此术语 $O. （ H^{3.} ）$ 在（1）中实际上是顺序 $O. （ H^{4.} ）$ 。考虑模板的第四顺序。

因子（简化（C（1））））

ans =.
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{1}{360.} & H & H & H & H & \frac{\partial^{6.}}{\partial X^{6.}} 你 （ X 那 y ） + 5. \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4.}}{\partial X^{4.}} 你 （ X 那 y ） + 5. \frac{\partial^{4.}}{\partial y^{4.}} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 那 y ） + \frac{\partial^{6.}}{\partial y^{6.}} 你 （ X 那 y ） \end{array} ）$

检查这些术语是否可以用LaPlace运算符的另一个电源识别。但是，比较

拉普拉斯（拉普拉斯（拉普拉斯（U）））

ans（x，y）=
                 
                   $\frac{\partial^{6.}}{\partial X^{6.}} 你 （ X 那 y ） + 3. \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4.}}{\partial X^{4.}} 你 （ X 那 y ） + 3. \frac{\partial^{4.}}{\partial y^{4.}} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} 你 （ X 那 y ） + \frac{\partial^{6.}}{\partial y^{6.}} 你 （ X 那 y ）$

表明订单的表达式 $O. （ H^{4.} ）$ 不能被识别为拉普拉斯算子的第三个电源的一些倍数，因为系数不能匹配。

概括

对于具有距离的方形网格H邻近网格点与上述权重的选择之间，您得到：

${S.}_{H} = δ. 你 + \frac{H^{2}}{12} {δ.}^{2} 你 + O. （ H^{4.} ）。（ 2 ）$

使用此扩展为特征值问题的数字方法 $δ. 你 = λ. 你$ 。添加一些倍数 ${δ.}^{2} 你 = {λ.}^{2} 你$ 到特征值方程。

$δ. 你 + \frac{H^{2}}{12} {δ.}^{2} 你 = （ λ. + \frac{H^{2}}{12} {λ.}^{2} ）你。$

该等式的左侧由模板近似地近似 ${S.}_{H}$ 。因此，使用（2），数字特征值 $μ.$ 模板令人满意 ${S.}_{H} 你 = μ. 你$ 必须是特征值的近似值 $λ.$ 拉普拉斯运营商的

$μ. = λ. + \frac{H^{2}}{12} {λ.}^{2} + O. （ H^{4.} ）。$

给予 $μ.$ ，解决 $λ.$ 获得Laplace特征值的更好近似。注意，在二次方程的解决方案中 $λ.$ 方形的正确迹象是由要求提供的 $λ. \to μ.$ 为了 $H \to 0.$ 。

$λ. = \frac{6.}{H^{2}} （ \sqrt{1 + \frac{μ. H^{2}}{3.}} - 1 ） = \frac{2 μ.}{\sqrt{1 + \frac{μ. H^{2}}{3.}} + 1} 。（ 3. ）$

使用符号矩阵来解决特征值问题

考虑一个L形区域 $ω.$ 由三个单位正方形组成。

$ω. = {（ X 那 y ）; - 1 \leq. X \leq. 0. 那 - 1 \leq. y \leq. 0.} \cup {（ X 那 y ）; 0. \leq. X \leq. 1 那 - 1 \leq. y \leq. 0.} \cup {（ X 那 y ）; - 1 \leq. X \leq. 0. 那 0. \leq. y \leq. 1} 。$

定义该区域角的坐标值。

Xmin = -1;xmax = 1;ymin = -1;Ymax = 1;

考虑由奇数组成的正方形网格nx = 2 * nx-1网格点X方向和奇数ny = 2 * ny-1网格点y方向。

nx = 6;nx = 2 * nx-1;hx =（xmax-xmin）/（nx-1）;纽约= 6;ny = 2 * ny-1;hy =（ymax-ymin）/（ny-1）;

创建一个纽约-经过-NX.象征性矩阵 $你$ 。它的参赛作品你（我，j）代表价值U（Xmin +（J-1）* HX，YMIN +（I - 1）* HY）解决方案U（x，y）特征值问题 $δ. 你 = λ. 你$ 。

u = sym（'U'，[ny，nx]）;

界限 $ω.$ 对应以下索引：

左边界对应于（i = 1：ny，j = 1）。
下边界对应于（i = 1，j = 1：nx）。
正确的边界对应于（i = 1：ny，j = nx）和（i = ny：ny，j = nx）。
上边界对应于（i = ny，j = 1：nx）和（i = ny，j = nx：nx）。

U（：，1）= 0;％左边界U（1，:) = 0;％较低的边界U（1：NY，NX）= 0;％右边界，上部U（NY：NY，NY）= 0;％右边界，下部U（ny，1：nx）= 0;％上边界，左部U（ny，nx：nx）= 0;％上边界，右侧部分

该地区有 $0. < X \leq. 1$ 和 $0. < y \leq. 1$ 不属于 $ω.$ 。设置相应的矩阵条目（i = ny + 1：ny，j = nx + 1：nx）零。他们没有发挥其他作用，将被忽略。

U（NY + 1：NY，NX + 1：NX）= 0;

问题的未知是以下矩阵条目：

你

你=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 你_{2 那 2} & 你_{2 那 3.} & 你_{2 那 4.} & 你_{2 那 5.} & 你_{2 那 6.} & 你_{2 那 7.} & 你_{2 那 8.} & 你_{2 那 9.} & 你_{2 那 10.} & 0. \\ 0. & 你_{3. 那 2} & 你_{3. 那 3.} & 你_{3. 那 4.} & 你_{3. 那 5.} & 你_{3. 那 6.} & 你_{3. 那 7.} & 你_{3. 那 8.} & 你_{3. 那 9.} & 你_{3. 那 10.} & 0. \\ 0. & 你_{4. 那 2} & 你_{4. 那 3.} & 你_{4. 那 4.} & 你_{4. 那 5.} & 你_{4. 那 6.} & 你_{4. 那 7.} & 你_{4. 那 8.} & 你_{4. 那 9.} & 你_{4. 那 10.} & 0. \\ 0. & 你_{5. 那 2} & 你_{5. 那 3.} & 你_{5. 那 4.} & 你_{5. 那 5.} & 你_{5. 那 6.} & 你_{5. 那 7.} & 你_{5. 那 8.} & 你_{5. 那 9.} & 你_{5. 那 10.} & 0. \\ 0. & 你_{6. 那 2} & 你_{6. 那 3.} & 你_{6. 那 4.} & 你_{6. 那 5.} & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 你_{7. 那 2} & 你_{7. 那 3.} & 你_{7. 那 4.} & 你_{7. 那 5.} & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 你_{8. 那 2} & 你_{8. 那 3.} & 你_{8. 那 4.} & 你_{8. 那 5.} & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 你_{9. 那 2} & 你_{9. 那 3.} & 你_{9. 那 4.} & 你_{9. 那 5.} & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 你_{10. 那 2} & 你_{10. 那 3.} & 你_{10. 那 4.} & 你_{10. 那 5.} & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \end{array} ）$

该地区的内部点

ω. ∖ \partial ω.

对应于索引

（ 一世 那 j ）

包含未知值

你 （ 一世 那 j ）

问题。在向量中收集这些未知数vars.。

将符号表达式与每个索引（即每个未知）相关联（由本示例的第一部分中导出的模板给出）。

因为此表达式在未知元素中是线性的你（存储在vars.），您可以将其视为作用在载体上的矩阵vars.。

你可以对待S_H.作为拉普拉斯算子的矩阵近似。计算其特征向量和特征值。

由于对于此近似来，您使用具有少量点的网格，因此只有特征值的前导数字是正确的。

LAPLACE操作员在L形区域上的第三位最高特征值

ω.

究竟知道。拉普拉斯算子的确切特征功能是功能

你 （ X 那 y ） = 罪 （ π X ） 罪 （ π y ）

与（确切）特征值相关联

- 2 π^{2} = - 1 9. 。 7. 3. 9. 2 。 。 。

。实际上，使用上面的等式（3），您可以获得Laplace特征值的更好近似值

λ.

从模具特征值

μ.

：

使用双精度矩阵来解决特征值问题

当您使用符号矩阵时，不建议毫无推荐地增加网格点数，因为符号计算比使用MATLAB双精度矩阵的数值计算显着慢。该示例的这一部分演示了如何使用稀疏双算法，允许改进数值网格。L形区域

ω.

与以前相同的方式设置。通过符号未知数，而不是表示内部点，而是初始化网格值你由那些和定义

ω.

通过将边界点和外部点的值设置为零。而不是定义每个内部点的符号表达，而是将模板计算为jacobian，直接将模板矩阵直接设置为稀疏矩阵。

这里，S_H.是（稀疏）模板矩阵。用eigs.处理稀疏矩阵以计算三大特征值。

D（3,3）近似于精确的特征值

- 2 π^{2} = - 1 9. 。 7. 3. 9. 2 0. 8. 8. 。 。 。

。使用上面的等式（3），得出了Laplace特征值的更准确的近似

λ.

从模具特征值

μ.

。

注意Matlab膜功能通过不同的方法计算LAPLACE操作员的特征函数。

拉普拉斯操作员的特征值

膜问题

九点有限差异近似

含有第四和高阶衍生物的条款

概括

使用符号矩阵来解决特征值问题

使用双精度矩阵来解决特征值问题

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