Gauss-Laguerre交评估点和权重

这个例子展示了如何解决多项式方程和系统的方程,并使用结果使用符号数学工具箱™。

高斯求积规则近似积分金额 $\int_{一个}^{b} f (t) w (t) d t \approx \sum_{我 = 1}^{n} f (x_{我}) α_{我}$ 。在这里, $x_{我}$ 和 $α_{我}$ 参数的方法,根据 $n$ 但不是在 $f$ 。他们跟随权函数的选择 $w (t)$ ,如下所示。相关加权函数是正交多项式的家庭。多项式的根是评估点 $x_{我}$ 。最后,权重 $α_{我}$ 确定的条件,多项式的小程度的方法是正确的。考虑到加权函数 $w (t) = 经验值 (- - - - - - t)$ 的时间间隔 $(0, \infty]$ 。这种情况被称为Gauss-Laguerre正交。

信谊tn = 4;w (t) = exp (- t);

假设您知道第一 $n$ 家族成员正交多项式。这里正交法则的考虑,他们会拉盖尔多项式。

F = laguerreL (0: n - 1 t)

F =
                 
                   $(\begin{array}{c} 1 & 1 - - - - - - t & \frac{t^{2}}{2} - - - - - - 2 t + 1 & - - - - - - \frac{t^{3}}{6} + \frac{3 t^{2}}{2} - - - - - - 3 t + 1 \end{array})$

让l是 $n + 1$ 圣多项式的系数仍有待确定。

X =符号(“X”,1,n + 1)

X =
                  $(\begin{array}{c} X_{1} & X_{2} & X_{3} & X_{4} & X_{5} \end{array})$

L = poly2sym (X, t)

L =
                  $X_{1} t^{4} + X_{2} t^{3} + X_{3} t^{2} + X_{4} t + X_{5}$

代表了拉盖尔多项式正交关系F和l在一个方程组sys。

sys = [int (f * l . * w (t), t, 0,正)= = 0]

sys =
                  $(\begin{array}{c} 24 X_{1} + 6 X_{2} + 2 X_{3} + X_{4} + X_{5} = 0 & - - - - - - 96年 X_{1} - - - - - - 18 X_{2} - - - - - - 4 X_{3} - - - - - - X_{4} = 0 & 144年 X_{1} + 18 X_{2} + 2 X_{3} = 0 & - - - - - - 96年 X_{1} - - - - - - 6 X_{2} = 0 \end{array})$

添加条件多项式标准1。

sys = [sys, int (L ^ 2。* w (t), 0,正)= = 1]

sys =
                  $(\begin{array}{c} 24 X_{1} + 6 X_{2} + 2 X_{3} + X_{4} + X_{5} = 0 & - - - - - - 96年 X_{1} - - - - - - 18 X_{2} - - - - - - 4 X_{3} - - - - - - X_{4} = 0 & 144年 X_{1} + 18 X_{2} + 2 X_{3} = 0 & - - - - - - 96年 X_{1} - - - - - - 6 X_{2} = 0 & 40320年 {X_{1}}^{2} + 10080年 X_{1} X_{2} + 1440年 X_{1} X_{3} + 240年 X_{1} X_{4} + 48 X_{1} X_{5} + 720年 {X_{2}}^{2} + 240年 X_{2} X_{3} + 48 X_{2} X_{4} + 12 X_{2} X_{5} + 24 {X_{3}}^{2} + 12 X_{3} X_{4} + 4 X_{3} X_{5} + 2 {X_{4}}^{2} + 2 X_{4} X_{5} + {X_{5}}^{2} = 1 \end{array})$

解的系数l。

S =解决(sys, X)

S =结构体字段:X1: [2 X1 sym] X2: [2 X1 sym] X3: [2 X1 sym] X4: [2 X1 sym] X5: [2 X1 sym]

解决返回两个解决方案在一个结构数组中万博尤文图斯。显示解决方案。万博尤文图斯

structfun (@display S)

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} - - - - - - \frac{1}{24} \\ \frac{1}{24} \end{array})$

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - - - - - - \frac{2}{3} \end{array})$

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} - - - - - - 3 \\ 3 \end{array})$

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} 4 \\ - - - - - - 4 \end{array})$

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} - - - - - - 1 \\ 1 \end{array})$

使溶液独特征收额外的条件,第一个系数是积极的:

sys = (sys, X (1) > 0);S =解决(sys, X)

S =结构体字段:X1, X2 1/24: 2/3 X3: 3 X4: 4 X5: 1

替代解决方案进l。

L =潜艇(L S)

L =
                 
                   $\frac{t^{4}}{24} - - - - - - \frac{2 t^{3}}{3} + 3 t^{2} - - - - - - 4 t + 1$

正如所料,这个多项式n | | th拉盖尔多项式:

laguerreL (n, t)

ans =
                 
                   $\frac{t^{4}}{24} - - - - - - \frac{2 t^{3}}{3} + 3 t^{2} - - - - - - 4 t + 1$

的评估点 $x_{我}$ 多项式的根吗l。解决l评估点。根是表示的根函数。

x =解决(左)

x =
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 根 (σ_{1}, z, 1) \\ 根 (σ_{1}, z, 2) \\ 根 (σ_{1}, z, 3) \\ 根 (σ_{1}, z, 4) \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} = z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24 \end{array}$

解决方案的形式可能意味着没有实现万博尤文图斯,但各种操作。计算浮点近似使用vpa:

vpa (x)

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} 0.32254768961939231180036145910437 \\ 1.7457611011583465756868167125179 \\ 4.5366202969211279832792853849571 \\ 9.3950709123011331292335364434205 \end{array})$

可能发生一些虚假的虚部。象征性地证明根是实数:

总(在(x,“真实”的))

ans =4 x1逻辑阵列1 1 1 1

多项式的程度小于或等于4,您可以使用MaxDegree获取解决方案的嵌套自由基相反万博尤文图斯的根。然而,后续操作这种形式的结果将是缓慢的。

xradical =解决(L,“MaxDegree”4)

xradical =
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 4 - - - - - - σ_{1} - - - - - - σ_{3} \\ 4 + σ_{1} - - - - - - σ_{3} \\ σ_{3} - - - - - - σ_{2} + 4 \\ σ_{3} + σ_{2} + 4 \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} = \frac{\sqrt{96年 σ_{6} σ_{4} - - - - - - 3 σ_{5} σ_{4} - - - - - - 288年 σ_{4} - - - - - - 512年 \sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{6 + \sqrt{3} \sqrt{6} 我}}}{2 {(768年 + 128年 \sqrt{3} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6} {(144年 σ_{6} + 9 σ_{5} + 864年)}^{1 / 4}} \\ σ_{2} = \frac{\sqrt{96年 σ_{6} σ_{4} - - - - - - 3 σ_{5} σ_{4} - - - - - - 288年 σ_{4} + 512年 \sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{6 + \sqrt{3} \sqrt{6} 我}}}{2 {(768年 + 128年 \sqrt{3} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6} {(144年 σ_{6} + 9 σ_{5} + 864年)}^{1 / 4}} \\ σ_{3} = \frac{σ_{4}}{2 {(768年 + 128年 \sqrt{3} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6}} \\ σ_{4} = \sqrt{16 σ_{6} + σ_{5} + 96年} \\ σ_{5} = {(768年 + 128年 \sqrt{3} \sqrt{6} 我)}^{2 / 3} \\ σ_{6} = {(768年 + 128年 \sqrt{3} \sqrt{6} 我)}^{1 / 3} \end{array}$

权重 $α_{我}$ 给出的条件是比多项式的学位 $n$ ,正交规则必须产生精确的结果。它是足够的如果这适用于这些多项式的向量空间的基础。这种情况导致了四个方程组的四个变量。

y =符号(“y”[n, 1]);sys =符号(0 (n));为k = 0: n - 1系统(k + 1) =总和(y。* ^ k) (x) = = int (t ^ k * w (t), t, 0,正);结束sys

sys =
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} = 1 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} 根 (σ_{1}, z, 1) + y_{2} 根 (σ_{1}, z, 2) + y_{3} 根 (σ_{1}, z, 3) + y_{4} 根 (σ_{1}, z, 4) = 1 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} {根 (σ_{1}, z, 1)}^{2} + y_{2} {根 (σ_{1}, z, 2)}^{2} + y_{3} {根 (σ_{1}, z, 3)}^{2} + y_{4} {根 (σ_{1}, z, 4)}^{2} = 2 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} {根 (σ_{1}, z, 1)}^{3} + y_{2} {根 (σ_{1}, z, 2)}^{3} + y_{3} {根 (σ_{1}, z, 3)}^{3} + y_{4} {根 (σ_{1}, z, 4)}^{3} = 6 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} = z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24 \end{array}$

解决系统数值和象征性。解决这个问题的办法是所需的权重向量 $α_{我}$ 。

(a1, a2, a3、a4) = vpasolve (sys, y)

a1 =
                  $0.60315410434163360163596602381808$

a2 =
                  $0.35741869243779968664149201745809$

a3 =
                  $0.03888790851500538427243816815621$

a4 =
                  $0.00053929470556132745010379056762059$

(α1,alpha2、alpha3 alpha4] =解决(sys, y)

α1 =
                 
                   $\begin{array}{l} - - - - - - \frac{σ_{3} σ_{2} + σ_{3} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - - - - - - σ_{3} σ_{2} σ_{1} - - - - - - 2 σ_{3} - - - - - - 2 σ_{2} - - - - - - 2 σ_{1} + 6}{(σ_{4} - - - - - - σ_{3}) (σ_{4} σ_{2} + σ_{4} σ_{1} - - - - - - σ_{2} σ_{1} - - - - - - {σ_{4}}^{2})} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 4) \\ σ_{2} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 3) \\ σ_{3} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 2) \\ σ_{4} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 1) \end{array}$

alpha2 =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{根 (σ_{1}, z, 1) 根 (σ_{1}, z, 3) + 根 (σ_{1}, z, 1) 根 (σ_{1}, z, 4) + 根 (σ_{1}, z, 3) 根 (σ_{1}, z, 4) - - - - - - 根 (σ_{1}, z, 1) 根 (σ_{1}, z, 3) 根 (σ_{1}, z, 4) - - - - - - 2 根 (σ_{1}, z, 1) - - - - - - 2 根 (σ_{1}, z, 3) - - - - - - 2 根 (σ_{1}, z, 4) + 6}{(根 (σ_{1}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{1}, z, 1)) (根 (σ_{1}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{1}, z, 3)) (根 (σ_{1}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{1}, z, 4))} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24 \end{array}$

alpha3 =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{σ_{3} σ_{2} + σ_{3} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - - - - - - σ_{3} σ_{2} σ_{1} - - - - - - 2 σ_{3} - - - - - - 2 σ_{2} - - - - - - 2 σ_{1} + 6}{(σ_{4} - - - - - - σ_{1}) (σ_{3} σ_{2} - - - - - - σ_{3} σ_{4} - - - - - - σ_{2} σ_{4} + {σ_{4}}^{2})} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 4) \\ σ_{2} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 2) \\ σ_{3} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 1) \\ σ_{4} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 3) \end{array}$

alpha4 =
                 
                   $\begin{array}{l} - - - - - - \frac{σ_{3} σ_{2} + σ_{3} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - - - - - - σ_{3} σ_{2} σ_{1} - - - - - - 2 σ_{3} - - - - - - 2 σ_{2} - - - - - - 2 σ_{1} + 6}{{σ_{4}}^{2} σ_{3} + {σ_{4}}^{2} σ_{2} + {σ_{4}}^{2} σ_{1} - - - - - - {σ_{4}}^{3} + σ_{3} σ_{2} σ_{1} - - - - - - σ_{3} σ_{2} σ_{4} - - - - - - σ_{3} σ_{1} σ_{4} - - - - - - σ_{2} σ_{1} σ_{4}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 3) \\ σ_{2} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 2) \\ σ_{3} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 1) \\ σ_{4} = 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 4) \end{array}$

或者,你也可以获得解决方案作为一个结构给只有一个输出参数。

S =解决(sys, y)

S =结构体字段:日元:-(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 2) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y2:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y3:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y4: -(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…

structfun (@double S)

ans =4×10.6032 0.3574 0.0389 0.0005

转换结构年代一个象征性的数组:

Scell = struct2cell(年代);α= ' ([Scell {}):)

α=
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} - - - - - - \frac{σ_{3} + σ_{15} + σ_{2} - - - - - - σ_{6} - - - - - - σ_{12} - - - - - - σ_{11} - - - - - - σ_{10} + 6}{(根 (σ_{16}, z, 1) - - - - - - 根 (σ_{16}, z, 2)) (σ_{1} + σ_{4} - - - - - - σ_{2} - - - - - - {根 (σ_{16}, z, 1)}^{2})} \\ \frac{σ_{1} + σ_{4} + σ_{2} - - - - - - σ_{7} - - - - - - σ_{13} - - - - - - σ_{11} - - - - - - σ_{10} + 6}{(根 (σ_{16}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{16}, z, 1)) (根 (σ_{16}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{16}, z, 3)) (根 (σ_{16}, z, 2) - - - - - - 根 (σ_{16}, z, 4))} \\ \frac{σ_{5} + σ_{4} + σ_{15} - - - - - - σ_{8} - - - - - - σ_{13} - - - - - - σ_{12} - - - - - - σ_{10} + 6}{(根 (σ_{16}, z, 3) - - - - - - 根 (σ_{16}, z, 4)) (σ_{5} - - - - - - σ_{1} - - - - - - σ_{3} + {根 (σ_{16}, z, 3)}^{2})} \\ - - - - - - \frac{σ_{5} + σ_{1} + σ_{3} - - - - - - σ_{9} - - - - - - σ_{13} - - - - - - σ_{12} - - - - - - σ_{11} + 6}{σ_{14} 根 (σ_{16}, z, 1) + σ_{14} 根 (σ_{16}, z, 2) + σ_{14} 根 (σ_{16}, z, 3) - - - - - - {根 (σ_{16}, z, 4)}^{3} + σ_{9} - - - - - - σ_{8} - - - - - - σ_{7} - - - - - - σ_{6}} \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 3) \\ σ_{2} = 根 (σ_{16}, z, 3) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{3} = 根 (σ_{16}, z, 2) 根 (σ_{16}, z, 3) \\ σ_{4} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{5} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 2) \\ σ_{6} = 根 (σ_{16}, z, 2) 根 (σ_{16}, z, 3) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{7} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 3) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{8} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 2) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{9} = 根 (σ_{16}, z, 1) 根 (σ_{16}, z, 2) 根 (σ_{16}, z, 3) \\ σ_{10} = 2 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{11} = 2 根 (σ_{16}, z, 3) \\ σ_{12} = 2 根 (σ_{16}, z, 2) \\ σ_{13} = 2 根 (σ_{16}, z, 1) \\ σ_{14} = {根 (σ_{16}, z, 4)}^{2} \\ σ_{15} = 根 (σ_{16}, z, 2) 根 (σ_{16}, z, 4) \\ σ_{16} = z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24 \end{array}$

看起来很复杂的象征意义的解决方案。简化它,将它转换成一个浮点向量:

α=简化(α)

α=
                 
                   $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \frac{{根 (σ_{1}, z, 1)}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 根 (σ_{1}, z, 1)}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{根 (σ_{1}, z, 2)}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 根 (σ_{1}, z, 2)}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{根 (σ_{1}, z, 3)}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 根 (σ_{1}, z, 3)}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{根 (σ_{1}, z, 4)}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 根 (σ_{1}, z, 4)}{144年} + \frac{2}{3} \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} = z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24 \end{array}$

vpa(α)

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} 0.60315410434163360163596602381808 \\ 0.35741869243779968664149201745809 \\ 0.03888790851500538427243816815621 \\ 0.00053929470556132745010379056762059 \end{array})$

增加可读性替换出现的根源x在α缩写:

潜艇(α,x,信谊(“R”,(4 1)))

ans =
                 
                   $(\begin{array}{c} \frac{{R_{1}}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 R_{1}}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{R_{2}}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 R_{2}}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{R_{3}}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 R_{3}}{144年} + \frac{2}{3} \\ \frac{{R_{4}}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 R_{4}}{144年} + \frac{2}{3} \end{array})$

和显示,它们的和等于1的重量:

简化(sum(α))

ans =
                  $1$

不同的方法得到的权重正交规则是使用公式来计算它们 $α_{我} = \int_{一个}^{b} w (t) \prod_{j \neq 我} \frac{t - - - - - - x_{j}}{x_{我} - - - - - - x_{j}} d t$ 。这样做 $我 = 1$ 。它会导致同样的结果和其他方法:

int (w (t) * prod (t - x (2:4)。/ (x (1) - x (2:4))), t, 0,正)

ans =
                 
                   $\frac{{根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 1)}^{2}}{72年} - - - - - - \frac{29日 根 (z^{4} - - - - - - 16 z^{3} + 72年 z^{2} - - - - - - 96年 z + 24, z, 1)}{144年} + \frac{2}{3}$

正交规则产生精确的结果甚至所有多项式的程度小于或等于 $2 n - - - - - - 1$ ,但不是 $t^{2 n}$ 。

简化(总和(α。* (x) ^ (2 * n - 1))) int (t ^ 2 * n - 1) * w (t), t, 0,正))

ans =
                  $0$

简化(总和(α。* (x) ^ (2 * n))) int (t ^ (2 * n) * w (t), t, 0,正))

ans =
                  $- - - - - - 576年$

应用正交余弦规则,和比较准确的结果:

vpa(总和(α。* (cos (x))))

ans =
                  $0.50249370546067059229918484198931$

int (cost * w (t), t, 0,正)

ans =
                 
                   $\frac{1}{2}$

余弦的权力,错误奇数和偶数大国之间的震荡:

错误= 0 (1、20);为k = 1:20错误(k) =双(总和(α。* (cos (x)。^ k)) int (cos (t) ^ k * w (t), t, 0,正));结束情节(真实的(错误)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象。