海啸模型的数学gydF4y2Ba

一个孤波(Korteweg-de Vries方程的一个孤波解)沿着一条深度恒定的运河以恒定的速度从右向左传播。这相当于海啸在深海中移动。在运河的左端，有一个类似大陆架的斜坡。到达斜坡后，孤波开始增加其高度。当水变得很浅时，大部分波浪被反射回运河。然而，在斜坡的末端出现了一个窄而高的水峰，并以减慢的速度沿着入射波的原始方向前进。这是最终袭击海岸的海啸，对海岸线造成了灾难性的破坏。接近海岸的波浪速度相对较小。海浪最终开始破裂。gydF4y2Ba

采用线性无色散水理论，高度gydF4y2Ba $$\mathrm{ugydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$在不同深度的一维运河中，在未受扰动的水位以上的自由表面波gydF4y2Ba $$\mathrm{hgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$是下式偏微分方程的解。(参见[2])。gydF4y2Ba

在这个公式中，下标表示偏导数，和gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\mathrm{9gydF4y2Ba}。gydF4y2Ba\mathrm{8gydF4y2Ba}\mathrm{1gydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}/gydF4y2Ba{\mathrm{年代gydF4y2Ba}}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$是重力加速度。gydF4y2Ba

考虑一个波浪穿过一个线性斜坡gydF4y2Ba $$\mathrm{hgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$从一个深度恒定的区域gydF4y2Ba $${\mathrm{hgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$到一个深度恒定的区域gydF4y2Ba $${\mathrm{hgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}\ll gydF4y2Ba{\mathrm{hgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$。关于的傅里叶变换gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$将水波偏微分方程转化为傅里叶模态的常微分方程gydF4y2Ba $$\mathrm{ugydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\mathrm{UgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{我gydF4y2Ba}\mathrm{\omega gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

对于深度恒定的区域gydF4y2Ba $$\mathrm{hgydF4y2Ba}$$，傅里叶模式是沿相反方向匀速传播的行波gydF4y2Ba $$\mathrm{cgydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\sqrt{\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{hgydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

解决方案gydF4y2Ba $${\mathrm{ugydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{我gydF4y2Ba}\mathrm{\omega gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}/gydF4y2Ba{\mathrm{cgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{RgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{我gydF4y2Ba}\mathrm{\omega gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}/gydF4y2Ba{\mathrm{cgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba}$$对于深水区是两个波的叠加:gydF4y2Ba

这个选择gydF4y2Ba $${\mathrm{ugydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$满足深水区的波动方程gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

解决方案gydF4y2Ba $${\mathrm{ugydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\mathrm{TgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{我gydF4y2Ba}\mathrm{\omega gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}/gydF4y2Ba{\mathrm{cgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba}$$对于浅水区，是一种以恒定速度向左传播的透射波gydF4y2Ba $${\mathrm{cgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}＝gydF4y2Ba\sqrt{\mathrm{ggydF4y2Ba}{\mathrm{hgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}}$$。这个选择gydF4y2Ba $${\mathrm{ugydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}$$对于任意透射系数，均满足浅水区波动方程gydF4y2Ba $$\mathrm{TgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

对于过渡区域(斜率)，使用gydF4y2Ba $$\mathrm{ugydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\mathrm{UgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{wgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{我gydF4y2Ba}\mathrm{\omega gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

符号数学工具箱中海啸模型的参数万博 尤文图斯和解gydF4y2Ba

定义海啸模型的参数如下。忽略对频率的依赖gydF4y2Ba $$\mathrm{\omega gydF4y2Ba}$$在以下注释中:gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\mathrm{RgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$，gydF4y2Ba $$\mathrm{TgydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\mathrm{TgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$，gydF4y2Ba $$\mathrm{UgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\mathrm{UgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BalgydF4y2BaHgydF4y2BadepthratiogydF4y2BaggydF4y2Ba积极的gydF4y2Ba信谊gydF4y2BaxgydF4y2BatgydF4y2BawgydF4y2BaTgydF4y2BaRgydF4y2BaU (x)gydF4y2BaL1 =深度*L;L2 = l;h1 =深度*H;h2 = H;h(x) = x* h /L;C1 = sqrt(g*h1);C2 = sqrt(g*h2);u(x,t) = u(x)*exp(1i*w*t);u1(x,t) = t *exp(1i*w*(t + x/c1));u2 (x, t) = exp(1我* w * (t + x / c2)) + R * exp(我* w * (t - x / c2));gydF4y2Ba

在过渡区域的线性斜率，使用gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba来解傅里叶变换的ODEgydF4y2Ba $$\mathrm{UgydF4y2Ba}$$的gydF4y2Ba $$\mathrm{ugydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

wavePDE (x, t) = diff (u, t, t) - g * diff (h (x) * diff (u, x), x);slopede (x) = wavePDE(x,0);U(x) = dsolve(slopeODE);gydF4y2Ba

解决方案gydF4y2Ba $$\mathrm{UgydF4y2Ba}$$是一个涉及贝塞尔函数的复杂表达式。它包含两个依赖于的任意“常数”gydF4y2Ba $$\mathrm{\omega gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

Const = setdiff(syvar (U)， sym([depth,g,H,L,x,w]))gydF4y2Ba

Const =gydF4y2Ba
                 $$（gydF4y2Ba\begin{array}{cc}{\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}& {\mathrm{CgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\end{array}）gydF4y2Ba$$

对于任何傅里叶模式，整体解必须是连续可微的函数gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}$$。因此，函数值和导数必须在接缝点处匹配gydF4y2Ba $${\mathrm{lgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}$$和gydF4y2Ba $${\mathrm{lgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$。这提供了四个线性方程gydF4y2Ba $$\mathrm{TgydF4y2Ba}$$，gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}$$的两个常数gydF4y2Ba $$\mathrm{UgydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

Du1 (x) = diff(u1(x,0)，x)Du2 (x) = diff(u2(x,0)，x);dU(x) = diff(U(x)，x);eqs = [U(L1) == u1(L1,0)， U(L2) == u2(L2,0)，gydF4y2Ba…gydF4y2BadU(L1) == du1(L1)， dU(L2) == du2(L2)];未知= [Const(1)，Const(2)，R,T];gydF4y2Ba

解这些方程。gydF4y2Ba

[Cvalue1, Cvalue2, R, T] = solve(eqs, unknowns);gydF4y2Ba

将结果代回gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}$$，gydF4y2Ba $$\mathrm{TgydF4y2Ba}$$,gydF4y2Ba $$\mathrm{UgydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

U (x) =潜艇(U (x){常量(1)常量(2)},{Cvalue1, Cvalue2});gydF4y2Ba

你不能直接求解gydF4y2Ba $$\mathrm{\omega gydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$$因为相应表达式的分子和分母都消失了。相反，找出这些表达式的低频极限。gydF4y2Ba

简化(limit(U(x)， w, 0))gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba

                 

                  $$\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{depthratiogydF4y2Ba}}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}$$
                

简化(limit(R, w, 0))gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba

                 

                  $$-gydF4y2Ba\frac{\sqrt{\mathrm{depthratiogydF4y2Ba}}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{depthratiogydF4y2Ba}}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}$$
                

简化(limit(T, w, 0))gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba

                 

                  $$\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{depthratiogydF4y2Ba}}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}}$$
                

这些限制非常简单。它们只依赖于定义斜率的深度值之比。gydF4y2Ba

用数值代替符号参数gydF4y2Ba

对于下面的计算，使用这些数值作为符号参数。gydF4y2Ba

G = 9.81;L = 2;H = 1;深度= 0.04;h1 =深度*H;h2 = H;L1 =深度*L;L2 = l;C1 = sqrt(g*h1);C2 = sqrt(g*h2);gydF4y2Ba

定义入射孤子的振幅gydF4y2Ba $$\mathrm{一个gydF4y2Ba}$$匀速向左移动gydF4y2Ba $${\mathrm{cgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$在深水区。gydF4y2Ba

A = 0.3;孤子= @ (x, t) A *双曲正割(sqrt (3/4 * g * / H) * (x / c2 + t)) ^ 2;gydF4y2Ba

选择gydF4y2Ba $$\mathrm{NgydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}$$的样本点gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$。时间尺度选择为入射孤子(时间)宽度的倍数。将傅里叶变换的相应离散频率存储在gydF4y2Ba $$\mathrm{WgydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

Nt = 64;时间尺度= 40*sqrt(4/3*H/A/g);W =[0, 1:元/ 2 - 1,-(元/ 2 - 1):1]“* 2 *π/时间表;gydF4y2Ba

选择gydF4y2Ba $$\mathrm{NgydF4y2Ba}\mathrm{xgydF4y2Ba}$$样本点gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}$$每个区域的方向。创建样本点gydF4y2Ba $$\mathrm{XgydF4y2Ba}\mathrm{1gydF4y2Ba}$$在浅水区，gydF4y2Ba $$\mathrm{XgydF4y2Ba}\mathrm{2gydF4y2Ba}$$对于深水区，和gydF4y2Ba $$\mathrm{XgydF4y2Ba}\mathrm{1gydF4y2Ba}\mathrm{2gydF4y2Ba}$$对于斜率区域。gydF4y2Ba

Nx = 100;x_min = L1 - 4;x_max = L2 + 12;X12 = linspace(L1, L2, Nx);X1 = linspace(x_min, L1, Nx);X2 = linspace(L2, x_max, Nx);gydF4y2Ba

计算输入孤子在时间网格上的傅里叶变换gydF4y2Ba $$\mathrm{NgydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}$$等距样本点。gydF4y2Ba

S = fft(soliton(-0.8*TimeScale*c2, linspace(0,TimeScale,2*(Nt/2)-1)))';S = repmat(S,1,Nx);gydF4y2Ba

基于傅里叶数据构造深水区行波解gydF4y2Ba $$\mathrm{年代gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

soliton = real(ifft(S .* exp(1i*W*X2/c2));gydF4y2Ba

将深水区反射波的傅里叶模式转换为网格上的数值gydF4y2Ba $$（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{\omega gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$空间。把这些值和傅里叶系数相乘gydF4y2Ba $$\mathrm{年代gydF4y2Ba}$$然后使用函数gydF4y2Ba传输线gydF4y2Ba来计算反射波gydF4y2Ba $$（gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$空间。注意，第一行是数字数据gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}$$由NaN值组成，因为对符号数据进行了适当的数值计算gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}$$为gydF4y2Ba $$\mathrm{\omega gydF4y2Ba}＝gydF4y2Ba\mathrm{0gydF4y2Ba}$$是不可能的。的第一行中的值gydF4y2Ba $$\mathrm{RgydF4y2Ba}$$作为低频极限。gydF4y2Ba

双(R =潜艇(潜艇(vpa(潜艇(R)), w w), x, X2));R(1) =双((1-sqrt (depthratio)) / (1 + sqrt (depthratio)));reflectedWave = real(ifft(S .* R .* exp(-1i*W*X2/c2));gydF4y2Ba

对浅水区域的透射波采用同样的方法。gydF4y2Ba

T = double(s (s (vpa(s (T))，w, w)，x,X1));T(1，:) = double(2/(1+sqrt(depthratio));transmittedWave = real(ifft(S .* T .* exp(1i*W*X1/c1));gydF4y2Ba

同样，对斜率区域使用这种方法。gydF4y2Ba

U12 =双(潜艇(潜艇(vpa(潜艇(U (x))), w w), x, X12));U12(1，:) = double(2/(1+sqrt(depthratio));U12 = real(S .* U12);gydF4y2Ba

绘制解决方案gydF4y2Ba

为了获得更流畅的动画，可以使用三角插值沿着图数据的列生成额外的样本点。gydF4y2Ba

soliton = interpft(soliton, 10*Nt);reflectedWave = interpft(reflectedWave, 10*Nt);U12 = interpft(U12, 10*Nt);transmittedWave = interpft(transmittedWave, 10*Nt);gydF4y2Ba

创建一个显示在单独图形窗口中的解决方案的动画情节。gydF4y2Ba

图(gydF4y2Ba“可见”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“上”gydF4y2Ba);情节([x_min, L1、L2 x_max], [h1, h1, h2, h2),gydF4y2Ba“颜色”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“黑”gydF4y2Ba) axis([x_min, x_max， -H-0.1, 0.6]) holdgydF4y2Ba在gydF4y2Baline1 = plot(X1,transmittedWave(1，:)，gydF4y2Ba“颜色”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“蓝”gydF4y2Ba);line12 = plot(X12,U12(1，:)，gydF4y2Ba“颜色”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“蓝”gydF4y2Ba);line2 = plot(X2,soliton(1，:) + reflectedWave(1，:)，gydF4y2Ba“颜色”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“蓝”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba为gydF4y2BaT = 2: size(soliton, 1)*0.35 line1。YData = transmittedWave(t，:);line12。YData = U12(t，:);么。YData = soliton(t，:) + reflectedWave(t，:);暂停(0.1)gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba

更多关于海啸的知识gydF4y2Ba

在现实生活中，海啸的波长为数百公里，通常以每小时500公里以上的速度移动。(请注意，海洋的平均深度约为4公里，对应于速度gydF4y2Ba $$\sqrt{\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{hgydF4y2Ba}}\approx gydF4y2Ba\mathrm{7gydF4y2Ba}\mathrm{0gydF4y2Ba}\mathrm{0gydF4y2Ba}\mathrm{kgydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}/gydF4y2Ba\mathrm{hgydF4y2Ba}\mathrm{ogydF4y2Ba}\mathrm{ugydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}$$)。在深海上空，振幅相当小，通常在0.5米左右或更小。然而，当海啸向大陆架传播时，其高度会急剧增加:据报道，其振幅可达30米以上。gydF4y2Ba

一个有趣的现象是，虽然海啸通常以垂直于其行进方向延伸数百公里的波阵接近海岸线，但它们并不沿海岸造成均匀的破坏。在某些地方，它们会造成灾难，而在其他地方只观察到中度波浪现象。这是由于从海床到大陆架的坡度不同造成的。事实上，非常陡峭的斜坡会使大部分海啸反射回深水区域，而小斜坡反射的波浪较少，传输的是一个狭窄但高的波浪，携带着很多能量。gydF4y2Ba

运行不同值的模拟gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$，对应不同的斜率。坡度越陡，传播的波就越低、越弱。gydF4y2Ba

注意，这个模型忽略了分散和摩擦效应。在架子上，模拟失去了它的物理意义。在这里，摩擦效应很重要，它会导致波浪的破裂。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[10]刘志强，陆架上海啸长波传播的研究，海洋工程学报，2002，第1期，第1 - 6页。gydF4y2Ba

H.兰姆，流体力学，多佛，1932。gydF4y2Ba