一体化

这个例子展示了如何使用symbol Math Toolbox™计算定积分。

定积分

证明定积分 $\int_{一个}^{b} f （ x ） d x$ 为 $f （ x ）＝年代我 n （ x ）$ 在 $［ \frac{π}{2} ， \frac{3. π}{2} ］$ 是0。

信谊xint (sin (x),π/ 2,3 *π/ 2)

ans =
                  $0$

极大值和极小值的定积分

最大化 $F （一个）＝ \int_{- 一个}^{一个} 罪（一个 x ）罪（ x / 一个） d x$ 为 $一个 \geq 0$ ，首先定义符号变量并假设 $一个 \geq 0$ ：

信谊一个x假设(> = 0);

然后，定义函数最大化:

F = int (sin (x *) * sin (x / a), x - a, a)

F =
                 
                   $｛ \begin{array}{cl} 1 - \frac{罪 （ 2 ）}{2} & 如果 一个 ＝ 1 \\ \frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} & 如果 一个 \neq 1 \end{array}$

注意这里的特殊情况 $一个＝ 1$ ．为了使计算更容易，使用assumeAlso忽略这种可能性(稍后再检查) $一个＝ 1$ 不是最大值):

assumeAlso (~ = 1);F = int (sin (x *) * sin (x / a), x - a, a)

F =
                 
                   $\frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1}$

创造一个情节 $F$ 检查它的形状:

fplot (F, 10 [0])

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含一个functionline类型的对象。

使用diff求导数 $F$ 关于 $一个$ ：

Fa = diff (F)

Fa =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{2 {σ.}_{1}}{{一个}^{4} - 1} + \frac{2 一个 (2 一个 因为 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - 2 一个 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） + 2 {一个}^{3.} 罪 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} - \frac{8 {一个}^{4} {σ.}_{1}}{{({一个}^{4} - 1)}^{2}} \\ 在哪里 \\ {σ.}_{1} ＝ 罪 （ {一个}^{2} ） 因为 （ 1 ） - {一个}^{2} 因为 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） \end{array}$

的零 $F 一个$ 的局部极值是 $F$ ：

持有在fplot (Fa, 10[0])网格在

图中包含一个坐标轴。坐标轴包含2个functionline类型的对象。

最大值在1到2之间。使用vpasolve找到零的近似值 $F 一个$ 在这个时间间隔:

a_max = vpasolve (Fa, [1,2])

a_max =
                  $1.5782881585233198075558845180583$

使用潜艇求积分的最大值:

a_max F_max =潜艇(F)

F_max =
                  $0.3673015252750416958866104169588661811770092 因为 （ 1 ） + 1.2020566879911789986062956284113 罪 （ 1 ）$

结果仍然包含精确的数字 $罪（ 1 ）$ 和 $因为（ 1 ）$ ．使用vpa用数值近似代替:

vpa (F_max)

ans =
                  $1.2099496860938456039155811226054$

检查排除的情况 $一个＝ 1$ 不会导致更大的值:

vpa (int (sin (x) * sin (x), x, 1, 1))

ans =
                  $0.54535128658715915230199006704413$

多个集成

高维区域的数值积分具有特殊的功能:

integral2 (@ (x, y) x ^ 2 y ^ 2。0,- 1,0,1)

ans = 4.0127 e-19

高维符号积分没有这样的特殊函数。用嵌套的一维积分代替:

信谊xyint (int (x ^ 2 y ^ 2, y, 0, 1), x, 0, 1)

ans =
                  $0$

线积分

定义向量场F在3 d空间:

信谊xyzF(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

接下来，定义一条曲线:

信谊t用户体验(t) =罪(t);uy (t) = t ^ 2 t;是乌斯(t) = t;

的线积分F沿着曲线u被定义为 $\int f \cdot d u ＝ \int f （ u x （ t ）， u y （ t ）， u z （ t ）） \cdot \frac{d u}{d t} d t$ ,那里的 $\cdot$ 在右边表示一个标量积。

用这个定义计算的线积分 $t$ 从 $［ 0 ， 1 ］$

f_int = int（f（ux，uy，uz）* diff（[ux; uy; uy; uz]，t），t，0,1）

F_int =
                 
                   $\frac{19 因为 （ 1 ）}{4} - \frac{因为 （ 3. ）}{108.} - 12 罪 （ 1 ） + \frac{罪 （ 3. ）}{27} + \frac{395}{54}$

获得此确切结果的数值近似：

vpa (F_int)

ans =
                  $- 0.20200778585035447453044423341349$

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