阻尼谐振子的物理学
这个例子通过求解无驱动力情况下的运动方程来探讨阻尼谐振子的物理性质。这个例子研究了低于、超过和临界阻尼的情况。
内容
推导运动方程
求解运动方程(F = 0)
欠阻尼情况( )
过阻尼壳体( )
临界阻尼壳体( )
结论
1.推导运动方程
考虑如下所示具有阻尼的强迫谐振子。把阻力建模成与振荡器运动速度成比例的模型。
定义运动方程,其中
是质量
是阻尼系数
弹簧是常数吗?
是一种驱动力
信谊x (t)米ckF (t)eq = m*diff(x,t,t) + c*diff(x,t) + k*x == F
eq (t) =
用 和 .
信谊γomega_0Eq = s(Eq, [c k], [m*, m* ^2])
eq (t) =
除以质量 .现在我们有了便于分析的方程形式。
Eq = collect(Eq, m)/m
eq (t) =
2.解F = 0时的运动方程
求解运动方程dsolve
在没有外力的情况下
.使用单位位移和零速度的初始条件。
Vel = diff(x,t);Cond = [x(0) == 1, vel(0) == 0];eq = subs(eq,F,0);Sol = dsolve(eq, cond)
索尔=
检查如何通过扩展来简化解决方案。
Sol =膨胀(Sol)
索尔=
注意每一项都有一个因子
,或
,使用收集
收集这些术语
Sol = collect(Sol, exp(- γ *t/2))
索尔=
这个词 出现在解决方案的各个部分。通过引入阻尼比把它写成更简单的形式 .
将ζ代入上述项得到:
信谊ζ;Sol = s(Sol,…根号下(^2 - 4* ^2)…2 * omega_0 *√(ζ^ 2 - 1))
索尔=
通过代入进一步简化解 就…而言 和 ,
Sol = s(Sol, γ, 2*zeta*omega_0)
索尔=
我们推导了无驱动力的阻尼谐振子运动的通解。接下来,我们将探讨阻尼比的三种特殊情况 运动的形式更简单。这些情况被称为
欠阻尼的 ,
过阻尼 ,
临界阻尼 .
3.欠阻尼情况( )
如果 ,然后 纯粹是虚构的
solUnder = subs(sol, sqrt(zeta^2-1), 1i*sqrt(zeta^2))
solUnder =
注意这些术语 在上面的等式中,回忆一下恒等式
把解写成 .
solUnder = coffs (solUnder, zeta);solUnder = solUnder(1);C = exp(-omega_0 * zeta * t);solUnder = c *重写(solUnder / c,“因为”)
solUnder =
solUnder(t, 0,) = solUnder
solUnder(t, 0,) =
系统以固有频率振荡 以指数速率衰减 .
用fplot
作为的函数
和
.
Z = [0 1/4 /2 / 3/4];W = 1;T = 4*pi;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solUnder (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solUnder (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含('t / \omega_0');ylabel (“振幅”);LGD =传说(' 0 ',“1/4”,“1/2”,“3/4”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(“欠阻尼的”);
4.过阻尼壳体( )
如果 ,然后 是纯实数,解可以写成
solOver = sol
solove =
solOver = coffs (solOver, zeta);solOver = solOver(1)
solove =
注意这些术语 回忆一下这个恒等式 .
把表达式写成 .
C = exp(-omega_0*t*zeta);solOver = c*重写(solOver / c,“cosh”)
solove =
solOver(t, 0) = solOver
solOver(t, 0,) =
把解画出来,看它是否衰减而不振荡。
Z = 1 + [1/4 /2 / 3/4 1];W = 1;T = 4*pi;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solove (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solove (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);LGD =传说(“1 + 1/4”,“1 + 1/2”,“1 + 3/4”,' 2 ');标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(过阻尼的);
5.临界阻尼壳体( )
如果 ,则解化简为
solCritical(t, omega_0) = limit(sol, zeta, 1)
solCritical(t, omega_0) =
绘制临界阻尼情况下的解。
W = 1;T = 4*pi;fplot(solCritical(t, w), [0 t]) xlabel(“\ omega_0 t”);ylabel (“x”);标题(临界阻尼,\zeta = 1);网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});
6.结论
通过求解用阻尼比表示谐振子运动的ode,研究了谐振子的不同阻尼状态 .将这三种情况放在一起进行比较和对比。
zOver = pi;zUnder = 1/zOver;W = 1;T = 2*pi;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”};fplot(@(t)solOver(t, w, zOver), [0 t], lineStyle{1},“线宽”2);持有在;fplot(solCritical(t, w), [0 t], lineStyle{2},“线宽”,2) fplot(@(t)solUnder(t, w, zUnder), [0 t], linstyle {3},“线宽”2);持有从;textColor = lines(3);文本(3*pi/ 2,0.3,“阻尼状态”,“颜色”输入textColor (:));文本(π* 3/4,0.05,“临界阻尼”,“颜色”:输入textColor (2));文本(pi/8, -0.1,“欠阻尼”);网格在;包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',‘\π/ 2,“\π”,‘3 \π/ 2,“2 \π”});y ((1/exp(1))*[-1 0 1 2 exp(1)]);yticklabels ({“1 / e”,' 0 ',“1 / e”,2 / e的,' 1 '});LGD =传说(“\π”,' 1 ',“1 / \π”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(阻尼谐振子);