模拟钟摆周期性摆动的运动GydF4y2Ba

此示例显示如何使用符号数学工具箱™模拟简单摆的运动。导出摆锤的运动方程，然后在数值上分析地求解方程，以便以任何角度进行数字。GydF4y2Ba

第1步：导出运动方程GydF4y2Ba

摆是一个遵循微分方程的简单机械系统。钟摆最初在垂直的位置上处于静止状态。当钟摆移动一个角度GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 并释放，重力的力量将其拉回其静止位置。它的势头导致它过冲并达到一定角度GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba$ （如果没有摩擦力），等等。由于重力而沿着摆锤的运动的恢复力是GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba mGydF4y2Ba GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba$ 。因此，根据牛顿的第二律，加速度的质量次必须相等GydF4y2Ba $-GydF4y2Ba mGydF4y2Ba GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2BamGydF4y2Ba一个GydF4y2BaGGydF4y2Baθ(t)GydF4y2Baeqn = m*a == -m*g*sin(theta)GydF4y2Ba

eqn (t) =GydF4y2Ba
                  $一个GydF4y2Ba mGydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba mGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

对于长度的摆锤GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba$ 摆锤的加速度，等于角加速度乘以GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

$一个GydF4y2Ba =GydF4y2Ba R.GydF4y2Ba \frac{{D.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} θ.GydF4y2Ba}{D.GydF4y2Ba {T.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

代替GydF4y2Ba $一个GydF4y2Ba$ 通过使用GydF4y2Ba潜艇GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2BaR.GydF4y2Baeqn = subs（eqn，a，r * diff（theta，2））GydF4y2Ba

eqn (t) =GydF4y2Ba
                 
                   $mGydF4y2Ba R.GydF4y2Ba \frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {T.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba GGydF4y2Ba mGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

隔离角度加速度GydF4y2BaEQN.GydF4y2Ba通过使用GydF4y2Ba隔离GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

EQN =孤立（EQN，Diff（Theta，2））GydF4y2Ba

EQN =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {T.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba \frac{GGydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{R.GydF4y2Ba}$

收集常数GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba$ 进入一个参数，这也被称为GydF4y2Ba固有频率GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba \sqrt{\frac{GGydF4y2Ba}{R.GydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2Baomega_0GydF4y2BaEQN =子（EQN，G / R，OMEGA_0 ^ 2）GydF4y2Ba

EQN =GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {T.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

第2步：线性化运动方程GydF4y2Ba

运动方程是非线性的，很难用解析法求解。假设角度小，利用的泰勒展开将方程线性化GydF4y2Ba $罪GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2BaXGydF4y2Ba约=泰勒(sin (x), x,GydF4y2Ba“秩序”GydF4y2Ba，2）;大约=子（约，x，θ（t））GydF4y2Ba

约=GydF4y2Ba
                  $θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

运动方程变成了线性方程。GydF4y2Ba

EQNLINEAR =潜艇（EQN，SIN（THETA（T）），约）GydF4y2Ba

Eqnlinear =.GydF4y2Ba
                 
                   $\frac{{\partialGydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}}{\partialGydF4y2Ba {T.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

第3步：分析解决运动方程GydF4y2Ba

解决方程GydF4y2Baeqnlinear.GydF4y2Ba通过使用GydF4y2BaDsolve.GydF4y2Ba。将初始条件指定为第二个参数。假设简化了解决方案GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}$ 是真实的GydF4y2Ba假设GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2BaTheta_0.GydF4y2Batheta_t0.GydF4y2Batheta_t = diff（θ）;cond = [theta（0）== theta_0，theta_t（0）== theta_t0];假设（omega_0，GydF4y2Ba'真实的'GydF4y2Ba）Thetasol（t）= dsolve（eqnlinear，cond）GydF4y2Ba

θol（t）=GydF4y2Ba
                 
                   ${θ.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} COS.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba +GydF4y2Ba \frac{{θ.GydF4y2Ba}_{t0GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{{ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}}$

第4步：物理意义GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}$

这个词GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} T.GydF4y2Ba$ 被称为GydF4y2Ba阶段GydF4y2Ba。余弦和正弦函数重复GydF4y2Ba $2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba$ 。改变所需的时间GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} T.GydF4y2Ba$ 经过GydF4y2Ba $2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba$ 称为时间段。GydF4y2Ba

$T.GydF4y2Ba =GydF4y2Ba \frac{2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba}{{ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba πGydF4y2Ba \sqrt{\frac{R.GydF4y2Ba}{GGydF4y2Ba}}$ 。GydF4y2Ba

的时间段GydF4y2Ba $T.GydF4y2Ba$ 与钟摆长度的平方根成正比，它与质量无关。对于线性运动方程，时间周期不依赖于初始条件。GydF4y2Ba

第5步：绘图摆动运动GydF4y2Ba

用小角度近似画出钟摆的运动。GydF4y2Ba

定义物理参数：GydF4y2Ba

重力加速度GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba =GydF4y2Ba 9.GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba 8.GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba {米/秒GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}$
摆锤的长度GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba =GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba mGydF4y2Ba$

gvalue = 9.81;rvalue = 1;Omega_0Value = SQRT（GValue / Rvalue）;t = 2 * pi / omega_0value;GydF4y2Ba

设置初始条件。GydF4y2Ba

theta_0value = 0.1 * pi;GydF4y2Ba%解仅适用于小角度。GydF4y2Batheta_t0value = 0;GydF4y2Ba%初始为静止状态。GydF4y2Ba

将物理参数和初始条件代入通解。GydF4y2Ba

vars = [omega_0 theta_0 theta_t0];值= [omega_0value theta_0value theta_t0value];thetasolplot = subs（θ，var，值）;GydF4y2Ba

画谐波摆的运动。GydF4y2Ba

fplot（Thetasolplot（t * t）/ pi，[0 5]）;网格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba'谐波摆动运动'GydF4y2Ba);Xlabel（GydF4y2Ba't / t'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba'\ theta / \ pi'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

图中包含一个轴。具有标题谐波摆动运动的轴包含类型函数线的对象。GydF4y2Ba

找到解决方案后GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ ，想象钟摆的运动。GydF4y2Ba

x_pos =罪(thetaSolPlot);y_pos = cos (thetaSolPlot);fanimator (@fplot x_pos y_pos,GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'markerfacecolor'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'K'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);抓住GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba），GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);fanimator (@ (t)文本(-0.3,0.3,GydF4y2Ba“计时器：”GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“s”GydF4y2Ba），GydF4y2Ba'AnimationRange'GydF4y2Ba[0 5 * T]);GydF4y2Ba

图中包含一个轴。轴包含3个类型的参数化功能线，线条，文本的对象。GydF4y2Ba

输入命令GydF4y2BaPlayanimation.GydF4y2Ba播放摆动行动的动画。GydF4y2Ba

步骤6：使用恒定能量路径确定非线性摆动运动GydF4y2Ba

为了理解摆锤的非线性运动，通过使用总能量方程来可视化摆路径。总能量是保守的。GydF4y2Ba

$E.GydF4y2Ba =GydF4y2Ba \frac{1GydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} mGydF4y2Ba {R.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} {（GydF4y2Ba \frac{D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba}{DT.GydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba mGydF4y2Ba GGydF4y2Ba R.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba -GydF4y2Ba COS.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$

使用三角恒等式GydF4y2Ba $1GydF4y2Ba -GydF4y2Ba COS.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba =GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {罪GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ 和关系GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba \sqrt{GGydF4y2Ba /GydF4y2Ba R.GydF4y2Ba}$ 改写成比例的能量。GydF4y2Ba

$\frac{E.GydF4y2Ba}{mGydF4y2Ba {R.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}} =GydF4y2Ba \frac{1GydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} [GydF4y2Ba {（GydF4y2Ba \frac{D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba}{DT.GydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} +GydF4y2Ba {（GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba \frac{θ.GydF4y2Ba}{2GydF4y2Ba} ）GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba}]GydF4y2Ba$

由于能量守恒，摆的运动可以用相空间中恒定的能量路径来描述。相空间是一个有坐标的抽象空间GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba /GydF4y2Ba D.GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba$ 。使用的可视化这些路径GydF4y2BaFcontour.GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2Baθ.GydF4y2Batheta_t.GydF4y2Baomega_0GydF4y2Bae（θ，theta_t，omega_0）=（1/2）*（theta_t ^ 2 +（2 * omega_0 * sin（θ/ 2））^ 2）;Eplot（θ，theta_t）= subs（e，omega_0，omega_0value）;数字;fc = fcontour（Eplot（pi * theta，2 * omega_0value * theta_t），2 * [ -  1 1 -1 1]，GydF4y2Ba…GydF4y2Ba“线宽”GydF4y2Ba2,GydF4y2Ba'左侧是'GydF4y2Ba，0：5：50，GydF4y2Ba'网格长度'GydF4y2Ba，1 + 2 ^ 8）;网格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“阶段空间中的恒定能量轮廓（\ theta vs. \ theta_t）”GydF4y2Ba);Xlabel（GydF4y2Ba'\ theta / \ pi'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba'\ theta_t / 2 \ omega_0'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

$图中包含一个轴。阶段空间中标题恒定能量轮廓（\ theta \ \ theta_t）的轴包含函数rontour类型的对象。GydF4y2Ba$

能量等高线是对称的GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 轴和GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba /GydF4y2Ba D.GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba$ 轴，沿GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 轴。该图显示了两个不同行为的区域。GydF4y2Ba

轮廓绘图的较低能量靠近自己。摆锤在两个最大角度和速度之间来回摇摆。摆锤的动能不足以克服重力能量并使摆锤能够制造全环。GydF4y2Ba

等高线图的更高能量不会封闭它们自己。钟摆总是以一个角的方向运动。钟摆的动能足以克服重力能，使钟摆做一个完整的循环。GydF4y2Ba

步骤7：解决运动的非线性方程GydF4y2Ba

运动的非线性方程是二阶微分方程。用使用的数字地解决这些方程GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba解算器。因为GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba只接受一阶系统，将系统简化为一阶系统。然后，生成作为输入的函数句柄GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

把二阶ODE写成一阶ODE的方程组。GydF4y2Ba

信谊GydF4y2Baθ(t)GydF4y2Batheta_t（t）GydF4y2Baomega_0GydF4y2Baeqs = [diff（theta）== theta_t;差异（theta_t）== -omega_0 ^ 2 * sin（θ）]GydF4y2Ba

eqs（t）=GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} \frac{\partialGydF4y2Ba}{\partialGydF4y2Ba T.GydF4y2Ba} θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba {θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ \frac{\partialGydF4y2Ba}{\partialGydF4y2Ba T.GydF4y2Ba} {θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba =GydF4y2Ba -GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}^{2GydF4y2Ba} 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \end{array} ）GydF4y2Ba$

方程式=潜艇(方程式,omega_0 omega_0Value);var = [theta, theta_t];GydF4y2Ba

找到质量矩阵GydF4y2BamGydF4y2Ba系统和方程的右侧GydF4y2BaFGydF4y2Ba。GydF4y2Ba

[M F] = massMatrixForm(方程式一样,var)GydF4y2Ba

m =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} 1GydF4y2Ba & 0.GydF4y2Ba \\ 0.GydF4y2Ba & 1GydF4y2Ba \end{array} ）GydF4y2Ba$

F =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} {θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ -GydF4y2Ba \frac{981.GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{One hundred.GydF4y2Ba} \end{array} ）GydF4y2Ba$

mGydF4y2Ba和GydF4y2BaFGydF4y2Ba请参阅此表格。GydF4y2Ba

$mGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba 那GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \frac{DX.GydF4y2Ba}{DT.GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba 那GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba 。GydF4y2Ba$

要简化进一步计算，请以表单重写系统GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba XGydF4y2Ba /GydF4y2Ba D.GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba =GydF4y2Ba FGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba 那GydF4y2Ba XGydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

f = m \ fGydF4y2Ba

f =GydF4y2Ba
                 
                   $（GydF4y2Ba \begin{array}{c} {θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba} （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba \\ -GydF4y2Ba \frac{981.GydF4y2Ba 罪GydF4y2Ba （GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba （GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba ）GydF4y2Ba}{One hundred.GydF4y2Ba} \end{array} ）GydF4y2Ba$

转换GydF4y2BaFGydF4y2Ba使用Matlab功能手柄GydF4y2Ba助手GydF4y2Ba。得到的函数句柄是MATLAB ODE求解器的输入GydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

f = odeFunction(f, vars)GydF4y2Ba

f =GydF4y2Bafunction_handle与价值:GydF4y2Ba@（t，IN2）[IN2（2，:); SIN（IN2（1，：））。*（ -  9.81e + 2. / 1.0e + 2）]GydF4y2Ba

第8步：解决闭合能量轮廓的运动方程GydF4y2Ba

求解封闭能量轮廓的ODEGydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

从能量等高线图来看，闭合等高线满足条件GydF4y2Ba ${θ.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba 0.GydF4y2Ba$ 那GydF4y2Ba ${θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba 0.GydF4y2Ba} /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} \leqGydF4y2Ba 1GydF4y2Ba$ 。存储初始条件GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba /GydF4y2Ba D.GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba$ 在变量中GydF4y2Bax0GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

x0 = [0;1.99 * omega_0Value];GydF4y2Ba

指定一个从0秒到10秒的时间间隔来查找解。这个间隔使钟摆可以经过两个完整的周期。GydF4y2Ba

tInit = 0;tFinal = 10;GydF4y2Ba

解决ODE。GydF4y2Ba

ode45(f，[tInit tFinal]，x0)GydF4y2Ba

溶胶=GydF4y2Ba结构与字段：GydF4y2Ba解算:'ode45' extdata: [1x1 struct] x: [1x45 double] y: [2x45 double] stats: [1x1 struct] idata: [1x1 struct]GydF4y2Ba

: sols.y (1)GydF4y2Ba表示角位移GydF4y2Ba $θ.GydF4y2Ba$ 和GydF4y2Ba: sols.y (2)GydF4y2Ba表示角速度GydF4y2Ba $D.GydF4y2Ba θ.GydF4y2Ba /GydF4y2Ba D.GydF4y2Ba T.GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

绘制闭合路径解决方案。GydF4y2Ba

数字;yyaxis.GydF4y2Ba剩下GydF4y2Ba;绘图（Sols.x，Sols.y（1，:)，GydF4y2Ba'-O'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba“\θ(rad)”GydF4y2Ba);yyaxis.GydF4y2Ba对GydF4y2Ba;plot（sols.x，sols.y（2，:)，GydF4y2Ba'-O'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba'\ theta_t（rad / s）'GydF4y2Ba);网格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“阶段空间中的封闭路径”GydF4y2Ba);Xlabel（GydF4y2Ba't（s）'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

图中包含一个轴。具有相位空间中标题闭路的轴包含2个类型的类型。GydF4y2Ba

想象钟摆的运动。GydF4y2Ba

x_pos = @（t）sin（deval（sols，t，1））;y_pos = @（t）-cos（deval（sols，t，1））;数字;Fanimator（@（t）绘图（x_pos（t），y_pos（t），GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'markerfacecolor'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'K'GydF4y2Ba））;抓住GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba））;Fanimator（@（t）文本（-0.3,1.5，GydF4y2Ba“计时器：”GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“s”GydF4y2Ba））;GydF4y2Ba

图中包含一个轴。轴包含3个类型线，文本的对象。GydF4y2Ba

输入命令GydF4y2BaPlayanimation.GydF4y2Ba播放摆动行动的动画。GydF4y2Ba

第9步：开放能源万博尤文图斯轮廓上的解决方案GydF4y2Ba

求解开能等高线的ODEGydF4y2Ba数值GydF4y2Ba。从能量轮廓图中，开放式轮廓满足条件GydF4y2Ba ${θ.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} =GydF4y2Ba 0.GydF4y2Ba$ 那GydF4y2Ba ${θ.GydF4y2Ba}_{T.GydF4y2Ba 0.GydF4y2Ba} /GydF4y2Ba 2GydF4y2Ba {ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba} >GydF4y2Ba 1GydF4y2Ba$ 。GydF4y2Ba

x0 = [0;2.01 * omega_0Value];sos = ode45(f， [tInit, tFinal]， x0);GydF4y2Ba

绘制开放能量轮廓的解决方案。GydF4y2Ba

数字;yyaxis.GydF4y2Ba剩下GydF4y2Ba;绘图（Sols.x，Sols.y（1，:)，GydF4y2Ba'-O'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba“\θ(rad)”GydF4y2Ba);yyaxis.GydF4y2Ba对GydF4y2Ba;plot（sols.x，sols.y（2，:)，GydF4y2Ba'-O'GydF4y2Ba);ylabel (GydF4y2Ba'\ theta_t（rad / s）'GydF4y2Ba);网格GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;标题(GydF4y2Ba“相空间中的开路”GydF4y2Ba);Xlabel（GydF4y2Ba't（s）'GydF4y2Ba);GydF4y2Ba

图中包含一个轴。相空间中带有标题开路路径的轴包含两个类型为line的对象。GydF4y2Ba

想象钟摆的运动。GydF4y2Ba

x_pos = @（t）sin（deval（sols，t，1））;y_pos = @（t）-cos（deval（sols，t，1））;数字;Fanimator（@（t）绘图（x_pos（t），y_pos（t），GydF4y2Ba“柯”GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'markerfacecolor'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'K'GydF4y2Ba））;抓住GydF4y2Ba在GydF4y2Ba;fanimator(@(t) plot([0 x_pos(t)]，[0 y_pos(t)]，GydF4y2Ba“k -”GydF4y2Ba））;Fanimator（@（t）文本（-0.3,1.5，GydF4y2Ba“计时器：”GydF4y2Ba+ num2str (t, 2) +GydF4y2Ba“s”GydF4y2Ba））;GydF4y2Ba

图中包含一个轴。轴包含3个类型线，文本的对象。GydF4y2Ba

输入命令GydF4y2BaPlayanimation.GydF4y2Ba播放摆动行动的动画。GydF4y2Ba

模拟钟摆周期性摆动的运动GydF4y2Ba

第1步：导出运动方程GydF4y2Ba

第2步：线性化运动方程GydF4y2Ba

第3步：分析解决运动方程GydF4y2Ba

第4步：物理意义GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}$

第5步：绘图摆动运动GydF4y2Ba

步骤6：使用恒定能量路径确定非线性摆动运动GydF4y2Ba

步骤7：解决运动的非线性方程GydF4y2Ba

第8步：解决闭合能量轮廓的运动方程GydF4y2Ba

第9步：开放能源万博尤文图斯轮廓上的解决方案GydF4y2Ba

符号数学工具箱文档GydF4y2Ba

万博1manbetx

用符号数学工具箱进行数学建模GydF4y2Ba

模拟钟摆周期性摆动的运动GydF4y2Ba

第1步：导出运动方程GydF4y2Ba

第2步：线性化运动方程GydF4y2Ba

第3步：分析解决运动方程GydF4y2Ba

第4步：物理意义GydF4y2Ba ω.GydF4y2Ba 0.GydF4y2Ba

第5步：绘图摆动运动GydF4y2Ba

步骤6：使用恒定能量路径确定非线性摆动运动GydF4y2Ba

步骤7：解决运动的非线性方程GydF4y2Ba

第8步：解决闭合能量轮廓的运动方程GydF4y2Ba

第9步：开放能源万博 尤文图斯轮廓上的解决方案GydF4y2Ba

符号数学工具箱文档GydF4y2Ba

万博1manbetx

用符号数学工具箱进行数学建模GydF4y2Ba

第4步：物理意义GydF4y2Ba ${ω.GydF4y2Ba}_{0.GydF4y2Ba}$

第9步：开放能源万博尤文图斯轮廓上的解决方案GydF4y2Ba