海啸模型的数学GydF4y2Ba

孤立波（Korteweg-de Vries方程的孤子溶液）在沿恒定深度的管道沿左侧的恒定速度行进。这对应于海上旅行的海啸。在运河的左端，有一个模拟大陆架的斜坡。到达斜坡后，孤波开始增加其高度。当水变得非常浅，大部分波都反射回运河。然而，在斜坡的末端产生狭窄但高峰的水，并在入射波的原始方向上进行减小的速度。这是终于击中岸边的海啸，沿着海岸线造成灾难性的破坏。接近岸边的波的速度相对较小。波最终开始打破。GydF4y2Ba

使用线性分散水理论，高度GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$在不同深度的一维管中高于未受干扰的水位的自由表面波GydF4y2Ba $$\mathrm{HGydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$是以下部分微分方程的解决方案。（见[2]）GydF4y2Ba

在该公式中，下标表示部分衍生物，和GydF4y2Ba $$\mathrm{GGydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\mathrm{9.GydF4y2Ba}．GydF4y2Ba\mathrm{8.GydF4y2Ba}\mathrm{1GydF4y2Ba}\mathrm{mGydF4y2Ba}/GydF4y2Ba{\mathrm{S.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$是引力加速度。GydF4y2Ba

考虑一个波穿过线性斜率GydF4y2Ba $$\mathrm{HGydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$从具有恒定深度的区域GydF4y2Ba $${\mathrm{HGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$到具有恒定深度的区域GydF4y2Ba $${\mathrm{HGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}«GydF4y2Ba{\mathrm{HGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$．傅里叶变换GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$将水波偏微分方程转化为傅里叶模式的常微分方程GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{E.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{一世GydF4y2Ba}\mathrm{\omega GydF4y2Ba}\mathrm{T.GydF4y2Ba}}$$．GydF4y2Ba

对于具有恒定深度的区域GydF4y2Ba $$\mathrm{HGydF4y2Ba}$$，傅里叶模式是行进波以恒定速度在相反方向上传播GydF4y2Ba $$\mathrm{CGydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\sqrt{\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{HGydF4y2Ba}}$$．GydF4y2Ba

解决方案GydF4y2Ba $${\mathrm{你GydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba{\mathrm{E.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{一世GydF4y2Ba}\mathrm{\omega GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}+GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}/GydF4y2Ba{\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}）GydF4y2Ba}+GydF4y2Ba\mathrm{R.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{E.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{一世GydF4y2Ba}\mathrm{\omega GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}-GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}/GydF4y2Ba{\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}）GydF4y2Ba}$$对于深水区，是两波的叠加：GydF4y2Ba

这种选择GydF4y2Ba $${\mathrm{你GydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$满足深水区的波动方程GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$．GydF4y2Ba

解决方案GydF4y2Ba $${\mathrm{你GydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{E.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{一世GydF4y2Ba}\mathrm{\omega GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}+GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}/GydF4y2Ba{\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}）GydF4y2Ba}$$对于浅水区，是以恒定速度向左移动的透射波GydF4y2Ba $${\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}=GydF4y2Ba\sqrt{\mathrm{GGydF4y2Ba}{\mathrm{HGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}}$$．这种选择GydF4y2Ba $${\mathrm{你GydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}$$满足浅水区中的波动方程，以进行任何传输系数GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$．GydF4y2Ba

对于过渡区域（斜率），使用GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{W.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba{\mathrm{E.GydF4y2Ba}}^{\mathrm{一世GydF4y2Ba}\mathrm{\omega GydF4y2Ba}\mathrm{T.GydF4y2Ba}}$$．GydF4y2Ba

海啸模型在符号数学工具箱中的参万博 尤文图斯数和解决方案GydF4y2Ba

定义海啸模型的参数如下所示。忽略对频率的依赖GydF4y2Ba $$\mathrm{\omega GydF4y2Ba}$$在以下符号中：GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\mathrm{R.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$那GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$那GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}）GydF4y2Ba=GydF4y2Ba\mathrm{你GydF4y2Ba}（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$．GydF4y2Ba

Syms.GydF4y2BaL.GydF4y2BaHGydF4y2Ba替补GydF4y2BaGGydF4y2Ba积极的GydF4y2BaSyms.GydF4y2BaXGydF4y2BaT.GydF4y2BaW.GydF4y2BaT.GydF4y2BaR.GydF4y2BaU（x）GydF4y2BaL1 = depthratio * L;L2 = L;h1 = depthratio * H;h2 = H;h（x）= x * h / l;c1 = sqrt (g * h1);c2 = sqrt（g * h2）;U（x，t）= u（x）* exp（1i * w * t）;U1（x，t）= t * exp（1i * w *（t + x / c1））;U2（x，t）= exp（1i * w *（t + x / c2））+ r * exp（1i * w *（t-x / c2））;GydF4y2Ba

在线性斜率上的过渡区域，使用GydF4y2BaDsolve.GydF4y2Ba要解决傅立叶变换的颂歌GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}$$的GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

Wavepde（x，t）= diff（u，t，t） -  g * diff（h（x）* diff（u，x），x）;Slopeode（x）=波段（x，0）;u（x）= dsolve（slopeode）;GydF4y2Ba

解决方案GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}$$是涉及贝塞尔功能的复杂表达。它包含两个依赖的两个任意的“常量”GydF4y2Ba $$\mathrm{\omega GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

const = setdiff（symvar（u），sym（[depthratio，g，h，l，x，w]））GydF4y2Ba

const =.GydF4y2Ba
                 $$（GydF4y2Ba\begin{array}{cc}{\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}& {\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}\end{array}）GydF4y2Ba$$

对于任意傅里叶模式，整体解必须是连续可微的函数GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}$$．因此，函数值和衍生物必须在接缝点匹配GydF4y2Ba $${\mathrm{L.GydF4y2Ba}}_{\mathrm{1GydF4y2Ba}}$$和GydF4y2Ba $${\mathrm{L.GydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$．这提供了四个线性方程GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$那GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$，和两个常数GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

du1（x）= diff（u1（x，0），x）;du2（x）= diff（u2（x，0），x）;du（x）= diff（u（x），x）;eqs = [u（l1）== u1（l1,0），u（l2）== u2（l2,0），GydF4y2Ba......GydF4y2Badu（l1）== du1（l1），du（l2）== du2（l2）];未知数= [const（1），const（2），r，t];GydF4y2Ba

解决这些方程。GydF4y2Ba

[Cvalue1，Cvalue2，R，T] =求解（EQS，未知数）;GydF4y2Ba

将结果替换回来GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$那GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$， 和GydF4y2Ba $$\mathrm{你GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

U (x) =潜艇(U (x){常量(1)常量(2)},{Cvalue1, Cvalue2});GydF4y2Ba

您无法直接评估解决方案GydF4y2Ba $$\mathrm{\omega GydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\mathrm{0.GydF4y2Ba}$$因为相应表达的分子和分母都消失了。相反，找到这些表达式的低频限制。GydF4y2Ba

简化（限制（U（x），w，0））GydF4y2Ba

ans =.GydF4y2Ba

                 

                  $$\frac{\mathrm{2GydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{替补GydF4y2Ba}}+GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}}$$
                

简化（限制（R，W，0））GydF4y2Ba

ans =.GydF4y2Ba

                 

                  $$-GydF4y2Ba\frac{\sqrt{\mathrm{替补GydF4y2Ba}}-GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{替补GydF4y2Ba}}+GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}}$$
                

简化（限制（t，w，0））GydF4y2Ba

ans =.GydF4y2Ba

                 

                  $$\frac{\mathrm{2GydF4y2Ba}}{\sqrt{\mathrm{替补GydF4y2Ba}}+GydF4y2Ba\mathrm{1GydF4y2Ba}}$$
                

这些限制非常简单。它们仅取决于定义斜率的深度值的比率。GydF4y2Ba

用数字值替换符号参数GydF4y2Ba

有关以下计算，请使用这些数值进行符号参数。GydF4y2Ba

g = 9.81;L = 2;H = 1;depthratio = 0.04;h1 = depthratio * H;h2 = H;L1 = depthratio * L;L2 = L;c1 = sqrt (g * h1);c2 = sqrt（g * h2）;GydF4y2Ba

定义振幅的进入孤子GydF4y2Ba $$\mathrm{一种GydF4y2Ba}$$以恒定的速度向左移动GydF4y2Ba $${\mathrm{CGydF4y2Ba}}_{\mathrm{2GydF4y2Ba}}$$在深水区。GydF4y2Ba

一个= 0.3;孤子= @ (x, t) A *双曲正割(sqrt (3/4 * g * / H) * (x / c2 + t)) ^ 2;GydF4y2Ba

选择GydF4y2Ba $$\mathrm{NGydF4y2Ba}\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$样本要点GydF4y2Ba $$\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$．选择时间尺度作为进入孤子的（时间）宽度的倍数。存储傅立叶变换的相应离散频率GydF4y2Ba $$\mathrm{W.GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

元= 64;时间= 40 * sqrt (4/3 * H / / g);W =[0, 1:元/ 2 - 1,-(元/ 2 - 1):1]“* 2 *π/时间表;GydF4y2Ba

选择GydF4y2Ba $$\mathrm{NGydF4y2Ba}\mathrm{XGydF4y2Ba}$$样本点GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}$$每个区域的方向。创建样本点GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}\mathrm{1GydF4y2Ba}$$对于浅水区，GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}\mathrm{2GydF4y2Ba}$$对于深水区GydF4y2Ba $$\mathrm{XGydF4y2Ba}\mathrm{1GydF4y2Ba}\mathrm{2GydF4y2Ba}$$对于斜坡区域。GydF4y2Ba

nx = 100;x_min = l1  -  4;X_MAX = L2 + 12;x12 = linspace（l1，l2，nx）;x1 = linspace（x_min，l1，nx）;x2 = linspace（l2，x_max，nx）;GydF4y2Ba

的时间网格上计算入射孤子的傅里叶变换GydF4y2Ba $$\mathrm{NGydF4y2Ba}\mathrm{T.GydF4y2Ba}$$等距样份点。GydF4y2Ba

S = FFT（孤子（孤子（-0.8 *时间尺寸* C2，Linspace（0，Timescale，2 *（NT / 2）-1）））';s = repmat（s，1，nx）;GydF4y2Ba

基于傅立叶数据构建深水区中的行波解决方案GydF4y2Ba $$\mathrm{S.GydF4y2Ba}$$．GydF4y2Ba

soliton =真实（IFFT（s. * exp（1i * w * x2 / c2））））;GydF4y2Ba

将深水区中反射波的傅里叶模式转换为网格上的数值GydF4y2Ba $$（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{\omega GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$空间。将这些值乘以傅立叶系数GydF4y2Ba $$\mathrm{S.GydF4y2Ba}$$并使用该功能GydF4y2BaIFFT.GydF4y2Ba计算反射波GydF4y2Ba $$（GydF4y2Ba\mathrm{XGydF4y2Ba}那GydF4y2Ba\mathrm{T.GydF4y2Ba}）GydF4y2Ba$$空间。请注意，数字数据的第一行GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$由NAN值组成，因为符号数据的适当数值评估GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$为了GydF4y2Ba $$\mathrm{\omega GydF4y2Ba}=GydF4y2Ba\mathrm{0.GydF4y2Ba}$$是不可能的。的第一行中的值GydF4y2Ba $$\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$作为低频的限制。GydF4y2Ba

r = double（潜艇（船只（vpa（r）），w，w），x，x2））;R（1，：）=双（（1-SQRT（Depthratio））/（1 + SQRT（Depthratio）））;反射Wave =真实（IFFT（s. * r。* exp（-1i * w * x2 / c2）））;GydF4y2Ba

对浅水区域的透射波采用相同的方法。GydF4y2Ba

t = double（潜水艇（船只（vpa（op（ocm（t）），w，w），x，x1））;t（1，:) =双（2 /（1 + SQRT（Depthratio）））;传输Wave = Real（IFFT（S. * T. * exp（1i * w * x1 / c1））;GydF4y2Ba

此外，使用这种方法对斜率区域。GydF4y2Ba

U12 = DOUBLE（潜水艇（船只（vpa（u（u（x））），w，w），x，x12））;U12（1，：）=双（2 /（1 + SQRT（Depthratio）））;U12 =真实（IFFT（s. * u12））;GydF4y2Ba

绘制解决方案GydF4y2Ba

对于更平滑的动画，使用沿绘图数据列的三角插值生成其他采样点。GydF4y2Ba

soliton = interpft(soliton, 10*Nt);反射波= interpft(反射波，10*Nt);U12 = interpft(U12, 10*Nt);transmittedWave = interpft(transmittedWave, 10*Nt);GydF4y2Ba

创建一个在单独的图形窗口中显示的解决方案的动画曲线图。GydF4y2Ba

数字（GydF4y2Ba'可见的'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'上'GydF4y2Ba）;绘图（[x_min，l1，l2，x_max]，[-h1，-h1，-h2，-h2]，GydF4y2Ba'颜色'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'黑色的'GydF4y2Ba）轴（[x_min，x_max，-h-0.1,0.6]）保持GydF4y2Ba在GydF4y2Baline1 = plot（x1，传输波（1，:)，GydF4y2Ba'颜色'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'蓝色的'GydF4y2Ba）;line12 = plot（x12，u12（1，:)，GydF4y2Ba'颜色'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'蓝色的'GydF4y2Ba）;line2 = plot（x2，soliton（1，:) +反射Wave（1，:)，GydF4y2Ba'颜色'GydF4y2Ba那GydF4y2Ba'蓝色的'GydF4y2Ba）;GydF4y2Ba为了GydF4y2Bat = 2：尺寸（孤子，1）* 0.35行1.ydata =传输波（t，:);line12.ydata = u12（t，:);line2.ydata =孤子（t，:) +反射波（t，:);暂停（0.1）GydF4y2Ba结尾GydF4y2Ba

关于海啸的更多信息GydF4y2Ba

在现实生活中，海啸的波长为数百公里，速度通常超过500公里/小时。(注意海洋的平均深度约为4公里，对应的速度为GydF4y2Ba $$\sqrt{\mathrm{GGydF4y2Ba}\mathrm{HGydF4y2Ba}}\approx GydF4y2Ba\mathrm{7.GydF4y2Ba}\mathrm{0.GydF4y2Ba}\mathrm{0.GydF4y2Ba}\mathrm{K.GydF4y2Ba}\mathrm{mGydF4y2Ba}/GydF4y2Ba\mathrm{HGydF4y2Ba}\mathrm{O.GydF4y2Ba}\mathrm{你GydF4y2Ba}\mathrm{R.GydF4y2Ba}$$。）在深海，振幅相当小，通常约0.5米或更小。然而，当传播到架子上时，海啸急剧增加它们的高度：报道了高达30米越来越多的幅度。GydF4y2Ba

虽然海啸通常接近海岸线作为波前延伸数百公里垂直于行驶的方向，但它们不会沿着海岸造成均匀的损坏。在某些方面，他们造成灾害，而在其他地方只观察到中等波浪现象。这是由海床到大陆架的不同斜坡引起的。事实上，非常陡峭的斜坡导致大部分海啸被反射回到深水区域中，而小斜坡反射较少的波浪，传输狭窄但高波浪携带大量能量。GydF4y2Ba

运行不同值的模拟GydF4y2Ba $$\mathrm{L.GydF4y2Ba}$$，对应于不同的斜坡。斜坡陡峭，越来越强大的波浪传输。GydF4y2Ba

请注意，此模型忽略了分散和摩擦效应。在架子上，模拟失去了其物理意义。在这里，摩擦效应是重要的，导致波浪的破坏。GydF4y2Ba

参考文献GydF4y2Ba

孙晓明，张建平，陆海空海啸的研究进展，中国海洋大学学报(自然科学版)，2004,vol . 33, no . 1, pp. 61 - 63。GydF4y2Ba

[2] H.羊肉，流体动力学，多佛，1932年。GydF4y2Ba