主要内容

二阶锥规划算法

二阶锥规划的定义

二阶锥规划问题有这样的形式

最小值 x f T x

受约束

为 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） 为 ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） 一个 ⋅ x ≤ b Aeq ⋅ x ＝ 说真的 磅 ≤ x ≤ 乌兰巴托 ．

f,x,b,说真的,磅,乌兰巴托向量,一个和Aeq矩阵。为每一个我,矩阵一个sc（我),向量bsc（我),dsc（我)和标量γ（我)是在一个二阶锥约束中创建的secondordercone．

也就是说，该问题具有一个线性目标函数和线性约束，以及一组二阶锥约束的形式 为 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） 为 ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ） ．

coneprog算法

的coneprog求解器使用Andersen、Roos和Terlaky中描述的算法[1]．该方法是一种类似于内点linprog算法．

标准形式

算法首先将问题放入标准形式．该算法增加了非负松弛变量，使问题具有一定的形式

最小值 x f T x

受约束

一个 ⋅ x ＝ b x ∈ K ．

求解器扩展了线性系数向量的大小f线性约束矩阵一个来解释松弛变量。

该地区K叉乘是洛伦兹锥方程1和非负正交。转换每个凸锥

为 一个 sc （ 我 ） ⋅ x − b sc （ 我 ） 为 ≤ d sc T （ 我 ） ⋅ x − γ （ 我 ）

到洛伦兹锥方程1，创建变量的列向量t1,t2、……tn＋1：

t 1 ＝ d T x − γ t 2 ： （ n + 1 ） ＝ 一个 sc x − b sc ．

这里是变量的数量n为每个锥我行数是多少一个sc（我)．根据它的定义，变量向量t满足不等式

为 t 2 ： （ n + 1 ） 为 ≤ t 1 ． (1）

方程1的洛伦兹锥的定义n+ 1)变量。的变量t出现在问题中的变量x在凸区域K．

在内部，算法也使用洛伦兹旋转锥在圆锥约束的重新表述中，但本主题不涉及这种情况。详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．

当添加松弛变量时，算法会根据需要对变量求反，并添加适当的常量，这样:

  • 只有一个界的变量的下界为零。

  • 有两个边界的变量的下界为零，如果使用松弛变量，则没有上界。

  • 将无边界变量置于洛伦兹锥中，松弛变量作为约束变量。这个松弛变量不属于任何其他表达式、目标或约束的一部分。

对偶问题

对偶锥是

K ＊ ＝ ｛ 年代 ： 年代 T x ≥ 0 ∀ x ∈ K ｝ ．

对偶问题是

马克斯 y b T y

这样

一个 T y + 年代 ＝ f

对于一些

年代 ∈ K ＊ ．

一个双最优解是一个点(y,年代)，以满足双重约束并使双重目标最大化。

均匀自对偶公式

为了处理可能不可行或无界的问题，算法增加了两个变量τ和κ并将问题表述为齐次(等于零)和自对偶的。

一个 x − b τ ＝ 0 一个 T y + 年代 − f τ ＝ 0 − f T x + b T y − κ ＝ 0 （2）

还有约束条件

（ x ； τ ） ∈ K ¯ , （ 年代 ； κ ） ∈ K ¯ ＊ ． （3）

在这里, K ¯ 是锥形的K与非负实线相连的，为(x；τ)．类似的 K ¯ ＊ 是锥形的 K ＊ 与非负实线相连的，为(年代；κ)．在这个公式中，下面的引理表明τ是可行的解决方案吗万博 尤文图斯κ是一个不可行问题的指示器。

引理（[1]引理2.1)

让(x,τ,y,年代,κ是一个可行的解决方案方程2加上约束条件方程3．

  • xT年代+τκ= 0。

  • 如果τ> 0，则(x,y,年代) /τ是标准形式二阶锥问题的原对偶最优解。

  • 如果κ> 0，那么至少有一个严格的不等式成立:

    bTy> 0

    fTx< 0。

    如果第一不等式成立，则标准形式的原始二阶锥问题是不可行的。如果第二个不等式成立，则标准形式的对偶二阶锥问题是不可行的。

综上所述，对于可行问题，变量τ在原标准形式问题和齐次自对偶问题之间缩放解。对于不可行的问题，最终迭代(x,y,年代,τ,κ)提供证明，证明原始标准表格的问题不可行。

起点

迭代的起始点为可行点:

  • x= 1，每个非负变量为1，每个洛伦兹锥第一个变量为1，否则为0。

  • y= 0。

  • 年代=(1,0，…，0)为每个圆锥，1为每个非负变量。

  • τ= 1。

  • κ= 1。

中央路径

算法试图遵循中央路径，为下式的参数化解γ从1到0递减。

一个 x − b τ ＝ γ （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T y + 年代 − c τ ＝ γ （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T x + b T y − κ ＝ γ （ − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 ） X 年代 e ＝ γ μ 0 e τ κ ＝ γ μ 0 ． （4）

  • 每个下标为0的变量表示该变量的起始点。

  • 的变量X和年代是箭头矩阵由x和年代向量,分别。为一个向量x= (x1,x2，...，xn，箭头矩阵X有定义

    X ＝ 垫 （ x ） ＝ ［ x 1 x 2 ： n T x 2 ： n x 1 我 ］ ．

    根据其定义,X是对称的。

  • 的变量e每个圆锥坐标上有1的向量是否对应于x1洛伦兹锥坐标。

  • 的变量μ0有定义

    μ 0 ＝ x 0 T 年代 0 + τ 0 κ 0 k + 1 ,

    在哪里k非零元素的个数在里面吗x0．

中心路径从齐次自对偶问题的起点开始，到最优解结束。

安徒生，鲁斯和特拉基[1]在引理3.1中证明了互补条件xT年代= 0,x和年代是洛伦兹锥的乘积吗l，等于条件

X 我 年代 我 e 我 ＝ 年代 我 X 我 e 我 ＝ 0

对于每一个圆锥我．在这里X我=垫(x我)，x我这个变量与洛伦兹锥有关吗我,年代我=垫(年代我),e我为相应维数的单位向量[1,0,0，…，0]。讨论表明，中心路径在其端点处满足互补条件。

搜索方向

以获取中心路径附近的点作为参数γ由1向0递减，算法采用牛顿法。要查找的变量被标记为(x,τ,y,年代,κ)．让dx的搜索方向x变量等等。然后牛顿阶跃解出下面的线性方程组，由方程4．

一个 d x − b d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 x 0 − b τ 0 ） 一个 T d y + d 年代 − f d τ ＝ （ γ − 1 ） （ 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 ） − f T d x + b T d y − d κ ＝ （ γ − 1 ） （ − f T x 0 + b T y 0 − κ ） X 0 d 年代 + 年代 0 d x ＝ − X 0 年代 0 e + γ μ 0 e τ 0 d κ + κ 0 d t 一个 u ＝ − τ 0 κ 0 + γ μ 0 ．

算法通过步进得到下一个点d方向。

［ x 1 τ 1 y 1 年代 1 κ 1 ］ ＝ ［ x 0 τ 0 y 0 年代 0 κ 0 ］ + α ［ d x d τ d y d 年代 d κ ］

对于一些步骤 α ∈ ［ 0 , 1 ］ ．

为了数值稳定性和加速收敛，该算法根据Nesterov和Todd的建议缩放步长［8］．此外，该算法还根据Mehrotra的预测校正器的一个变体来校正步长［7］．(详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．）

一步解决差异

前面的讨论涉及LinearSolver选项的值“增强”指定。求解器有其他值，可以改变步长计算，以适应不同类型的问题。

  • “汽车”(默认)coneprog选择步进求解器:

    • 如果问题是稀疏的，步骤求解器就是“prodchol”．

    • 否则，步进解算器为“增强”．

  • “正常”-求解器使用的是“增强”当问题稀疏时，这是合适的步骤。看看安徒生、鲁斯和特拉基[1]．

  • “舒尔”-该求解器使用改进的Schur补码方法来处理具有几个密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。看到安徒生[２]．

  • “prodchol”-求解器使用Goldfarb和Scheinberg描述的方法(［4］和［5］)用于处理带有几个密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。

迭代显示和停止条件

在每一次迭代k，算法计算三个相对收敛测度:

  • 原始的不可行性

    Infeas 原始的 k ＝ 为 一个 x k − b τ k 为 马克斯 （ 1 , 为 一个 x 0 − b τ 0 为 ） ．

  • 双不可行性

    Infeas 双 k ＝ 为 一个 T y k + 年代 k − f τ k 为 马克斯 （ 1 , 为 一个 T y 0 + 年代 0 − f τ 0 为 ） ．

  • 差距不可能实行

    Infeas 差距 k ＝ | − f T x k + b T y k − κ k | 马克斯 （ 1 , | − f T x 0 + b T y 0 − κ 0 | ） ．

通过指定迭代显示，可以在命令行中查看这三个统计信息。

选择= optimoptions (“coneprog”,“显示”,“通路”）;

当问题可行且求解器收敛时，这三个点都应该趋近于零。对于可行问题，变量κk趋近于0，变量τk趋近于正常数。

一种停止条件与间隙的不可行性有关。当下列最优度量降低到最优公差以下时，停止条件为。

最优 k ＝ | f T x k − b T y k | τ k + | b T y k | ＝ | f T x k / τ k − b T y k / τ k | 1 + | b T y k / τ k | ．

这个统计量测量了客观值的准确性。

在下列条件下，求解器也会停止并声明问题不可行的。这三种相对不可行的措施都小于c＝ConstraintTolerance,

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 , κ k ） ．

如果bTyk> 0，则求解者声明原问题不可行。如果fTxk< 0，则求解器声明对偶问题是不可行的。

算法也会在

μ k ≤ c μ 0

和

τ k ≤ c 马克斯 （ 1 , κ k ） ．

在这种情况下,coneprog报告问题在数值上不稳定(退出标志)－10)．

剩余的停止条件发生在至少一个不可行措施大于ConstraintTolerance计算的步长太小。在这种情况下,coneprog有报道称，搜索方向变得太小，无法取得进一步进展7)．

参考文献

[1] Andersen, E. D.， C. Roos，和T. Terlaky。关于二次曲线优化的原-对偶内点法的实现。数学。程序。,爵士。B95，第249-277页(2003)。https://doi.org/10.1007/s10107-002-0349-3

安徒生，k.d。线性规划内点法中处理密集柱的改进schur-补法。数学学报，22(3):348-356,1996。

[3] Ben-Tal, Aharon和Arkadi Nemirovski。工程中的凸优化:建模，分析，算法。(1998)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&rep=rep1&type=pdf．

Goldfarb, D.和K. Scheinberg。线性规划内点法中处理密集列的积型cholesky分解方法。数学学报，32(1):1 - 10,2004。

Goldfarb, D.和K. Scheinberg。二阶锥规划内点法中的积型cholesky分解。数学学报，31(1):1 - 7,2005。

罗志权，Jos F. Sturm，张树忠。圆锥凸规划的对偶性和自对偶性。(1996)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7] Mehrotra,桑杰。《关于原-对偶内点法的实现》。优化学报2,没有。4(1992年11月):575-601。https://doi.org/10.1137/0802028．

于[8]涅斯捷罗夫。E.和M. J.托德。《凸规划的自尺度障碍和内点方法》。运筹学数学,没有。1(1997年2月):1 - 42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1．

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