有限元法基础- MATLAB和Simulink MathWorks印度万博1manbetxgydF4y2Ba

有限元法基础gydF4y2Ba

偏微分方程的工具箱™核心算法采用有限元方法(FEM)问题在二维或三维空间有限域上定义。在大多数情况下,基本功能不能表达的解决方案简单的pde复杂的几何图形。万博尤文图斯有限元法将一个复杂的几何描述为一组子域的几何生成网格。例如,您可以近似三角形的计算域Ω工会(二维几何)或四面体(3 d几何)。子域形成网格,每个顶点被称为节点。下一步是近似原始的PDE问题在每个子域名通过使用简单的方程。gydF4y2Ba

例如,考虑基本的椭圆方程。gydF4y2Ba

$-gydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 在域gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba$

假设这个方程是一个狄利克雷边界条件gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba =gydF4y2Ba rgydF4y2Ba$ 在gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba}$ 诺伊曼边界条件gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}$ 。在这里,gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba =gydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba} \cupgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}$ 是Ω的边界。gydF4y2Ba

有限元法的第一步是将原始微分(gydF4y2Ba强大的gydF4y2Ba)形式的PDE积分(gydF4y2Ba弱gydF4y2Ba)形式与测试函数乘以gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$ 和积分域Ω。gydF4y2Ba

$\underset{ΩgydF4y2Ba}{\intgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba -gydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba -gydF4y2Ba fgydF4y2Ba)gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba \forallgydF4y2Ba vgydF4y2Ba$

选择的测试函数的功能(功能空间)的集合的狄利克雷边界消失,gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 在gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba}$ 。以上方程可以被认为是加权平均剩余使用所有可能的权重函数gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$ 。的集合函数容许的解决方案,万博尤文图斯gydF4y2BaugydF4y2BaPDE的弱形式的选择,以便满足狄利克雷公元前gydF4y2BaugydF4y2Ba=gydF4y2BargydF4y2Ba在gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

分部积分(格林公式)的二阶项的结果:gydF4y2Ba

$\underset{ΩgydF4y2Ba}{\intgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba vgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba)gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba -gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} \overset{\togydF4y2Ba}{ngydF4y2Ba} \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba} +gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} \overset{\togydF4y2Ba}{ngydF4y2Ba} \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \underset{ΩgydF4y2Ba}{\intgydF4y2Ba} fgydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba \forallgydF4y2Ba vgydF4y2Ba$

使用诺伊曼边界条件来代替等式的左边第二个任期。另外,请注意,gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 在gydF4y2Ba $\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{DgydF4y2Ba}$ 抹杀了第三个任期。由此产生的方程是:gydF4y2Ba

$\underset{ΩgydF4y2Ba}{\intgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba vgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba)gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba +gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} 问gydF4y2Ba ugydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} ggydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba} +gydF4y2Ba \underset{ΩgydF4y2Ba}{\intgydF4y2Ba} fgydF4y2Ba vgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba \forallgydF4y2Ba vgydF4y2Ba$

注意,所有操作在这个阶段执行连续Ω,全球问题的领域。因此,容许函数的集合和审判职能跨度无限维的功能性空间。下一步是离散化的弱形式细分Ω成更小的子域或元素gydF4y2Ba ${ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}$ ,在那里gydF4y2Ba $ΩgydF4y2Ba =gydF4y2Ba \cupgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}$ 。这一步是相当于pde的弱形式的投影到一个有限维子空间。使用符号gydF4y2Ba ${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ 代表有限维相当于容许和审判上定义的函数gydF4y2Ba ${ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}$ ,您可以编写PDE的离散弱形式为:gydF4y2Ba

$\underset{{ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba {ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} \nablagydF4y2Ba {vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba {ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba})gydF4y2Ba dgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba} +gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} 问gydF4y2Ba {ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba_{hgydF4y2Ba} dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba} =gydF4y2Ba \underset{\partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} ggydF4y2Ba vgydF4y2Ba_{hgydF4y2Ba} dgydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}_{NgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba} +gydF4y2Ba \underset{{ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba}}{\intgydF4y2Ba} fgydF4y2Ba {vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} dgydF4y2Ba {ΩgydF4y2Ba}^{egydF4y2Ba} \forallgydF4y2Ba {vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$

接下来,我们gydF4y2BaϕgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba= 1,2,…,gydF4y2BaNgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba的分段多项式基函数,包含集合的子空间gydF4y2Ba ${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ ,那么任何特定的gydF4y2Ba ${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ 可以表示为一个基函数的线性组合:gydF4y2Ba

${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba {\sumgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}^{{NgydF4y2Ba}_{pgydF4y2Ba}} {UgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} {ϕgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}$

在这里gydF4y2BaUgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba还不确定的标量系数。替换gydF4y2Ba ${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba}$ 成离散弱形式的PDE和使用gydF4y2Ba ${vgydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba {φgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba}$ 测试函数和表演元素产生一个系统的集成gydF4y2BaNgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba方程的gydF4y2BaNgydF4y2Ba_pgydF4y2Ba未知数gydF4y2BaUgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

注意,有限元方法近似的解决方案通过最小化误差函数相关联。最小化过程自动发现的基函数的线性组合是最接近的解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba。gydF4y2Ba

有限元法产生一个系统gydF4y2BaKUgydF4y2Ba=gydF4y2BaFgydF4y2Ba的矩阵gydF4y2BaKgydF4y2Ba和右边gydF4y2BaFgydF4y2Ba包含测试函数积分的gydF4y2BaϕgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba,gydF4y2BaϕgydF4y2Ba_jgydF4y2Ba,系数gydF4y2BacgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba定义问题。解向量gydF4y2BaUgydF4y2Ba包含的膨胀系数gydF4y2BaugydF4y2Ba_hgydF4y2Ba,这也的值gydF4y2BaugydF4y2Ba_hgydF4y2Ba在每一个节点gydF4y2BaxgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba(gydF4y2BakgydF4y2Ba2 = 1,或者一个二维问题gydF4y2BakgydF4y2Ba= 1、2、3的三维问题)gydF4y2BaugydF4y2Ba_hgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba)=gydF4y2BaUgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

有限元技术也被用来解决更一般的问题,如:gydF4y2Ba

时间的问题。解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba方程)gydF4y2Ba

$dgydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba ugydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} -gydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba$

可以近似gydF4y2Ba

${ugydF4y2Ba}_{hgydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {\sumgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba}^{NgydF4y2Ba} {UgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba {ϕgydF4y2Ba}_{我gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

结果是一个常微分方程组(常微分方程)gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba \frac{dgydF4y2Ba UgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} +gydF4y2Ba KgydF4y2Ba UgydF4y2Ba =gydF4y2Ba FgydF4y2Ba$

两个时间衍生品导致二阶的颂歌gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} UgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} +gydF4y2Ba KgydF4y2Ba UgydF4y2Ba =gydF4y2Ba FgydF4y2Ba$
特征值问题。解决gydF4y2Ba

$-gydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba (gydF4y2Ba cgydF4y2Ba \nablagydF4y2Ba ugydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ugydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ugydF4y2Ba$

的未知数gydF4y2BaugydF4y2Ba和gydF4y2BaλgydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaλgydF4y2Ba是一个复杂的数字。使用有限元离散化,您解决代数特征值问题gydF4y2BaKUgydF4y2Ba=gydF4y2BaλgydF4y2BaμgydF4y2Ba找到gydF4y2BaugydF4y2Ba_hgydF4y2Ba作为一个近似gydF4y2BaugydF4y2Ba。解决特征值问题,使用gydF4y2BasolvepdeeiggydF4y2Ba。gydF4y2Ba
非线性问题。如果系数gydF4y2BacgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,或gydF4y2BaggydF4y2Ba是函数的gydF4y2BaugydF4y2Ba或∇gydF4y2BaugydF4y2Ba,PDE称为非线性有限元收益率非线性系统gydF4y2BaKgydF4y2Ba(gydF4y2BaUgydF4y2Ba)gydF4y2BaUgydF4y2Ba=gydF4y2BaFgydF4y2Ba(gydF4y2BaUgydF4y2Ba)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

总而言之,有限元方法:gydF4y2Ba

代表问题的原始域作为一个元素的集合。gydF4y2Ba
为每个元素,替代原来的本地PDE问题由一组简单的方程,近似原始方程。应用边界条件对每个元素的边界。固定线性问题的系数不依赖于溶液或其梯度,结果是一个线性方程组。固定的问题,或其梯度系数取决于解决方案,结果是一个非线性方程组。时间问题,结果是一组常微分方程。gydF4y2Ba
组装得到的方程和边界条件为全球方程组模型的整个问题。gydF4y2Ba
解决由此产生的代数方程组或常微分方程使用线性方法或数值积分,分别。适当的MATLAB工具箱内部调用gydF4y2Ba^®gydF4y2Ba解决这个任务。gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

[1]做饭,罗伯特·D。,D一个v我dS. Malkus, and Michael E. Plesha.有限元分析的概念与应用gydF4y2Ba。第3版。纽约,纽约州:约翰威利& Sons, 1989。gydF4y2Ba

[2]吉尔伯特-斯特朗和乔治修复。gydF4y2Ba有限元的分析方法gydF4y2Ba。第二版。韦尔斯利,MA: Wellesley-Cambridge出版社,2008年。gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

assembleFEMatricesgydF4y2Ba|gydF4y2BasolvepdegydF4y2Ba|gydF4y2BasolvepdeeiggydF4y2Ba