拟合零截断泊松分布

计数数据通常使用泊松分布建模，您可以使用poissfit或Fitdist.函数来拟合泊松分布。然而，在某些情况下，数据中没有记录为零的计数，因此，由于缺少零，拟合泊松分布并不简单。在这种情况下，拟合一个泊松分布到零截断数据大中型企业功能和自定义分发功能。

首先，生成一些随机泊松数据。

rng (18,'twister'的）%的再现性λ= 1.75;n = 75;x1 = poissrnd(λ,n, 1);

接下来，从数据中删除所有零以模拟截断。

>: = cross (>);

核对样品的数量x1截断后。

长度(x1)

ans = 65

绘制模拟数据的直方图。

直方图(x1, 0:1:马克斯(x1) + 1)

数据看起来像泊松分布，除了它不包含零。你可以使用一个自定义分布，它与正整数上的泊松分布相同，但在零处没有概率。通过使用自定义分布，可以估计泊松参数λ虽然会计缺少零。

你需要定义零截断泊松分布的概率质量函数(pmf)。创建一个匿名函数来计算每个点的概率x1，给出了泊松分布的均值参数的值λ．零截断泊松分布的pmf是泊松pmf的归一化，使其和为1。在零截断的情况下，标准化是1-Probability (x1 < 0)．

pf_truncpoiss = @（x1，lambda）poisspdf（x1，lambda）./（1-poisscdf（0，lambda））;

为了简单起见，假设所有的x1给这个函数的值是正整数，没有检查。对于错误检查或使用不止一行代码的更复杂的发行版，必须在单独的文件中定义函数。

为参数找到一个合理的粗略猜测λ．在这种情况下，使用样本意味着。

start =均值（x1）

开始= 2.2154

提供大中型企业用该数据，自定义PMF函数、初始参数值和参数下界。因为泊松分布的平均参数必须是正的，你还需要指定一个下界λ．这大中型企业函数返回的最大似然估计λ，以及参数的近似95%置信区间。

[lambdaHat, lambdaCI] =大中型企业(x1,'pdf'，pf_truncpoiss，'开始'开始,．..下界的, 0)

lambdaHat = 1.8760

lambdaCI =2×11.4990 - 2.2530

参数估计值小于样本均值。最大似然估计解释了数据中不存在的零。

或者，您可以使用截断界限指定截断界限截断截断名称-值参数。

[lambdaHat2, lambdaCI2] =大中型企业(x1,“分布”那“泊松”那．..“TruncationBounds”，[0 inf]）

lambdaHat2 = 1.8760

lambdaCI2 =2×11.4990 - 2.2530

你也可以计算一个标准误差估计λ通过使用大样本方差近似MLECOV.．

阿瓦尔人= mlecov (lambdaHat x1,'pdf', pf_truncpoiss);stderr =√阿瓦尔人

stderr = 0.1923

为了直观地检查拟合情况，将拟合pmf绘制到原始数据的标准化直方图上

直方图(x1,“归一化”那'pdf') xgrid = min(x1):max(x1);pmfgrid = pf_truncpoiss (xgrid lambdaHat);持有在情节(xgrid pmfgrid,' - ')包含(x1的) ylabel (“概率”)传说(样本数据的那的安装及那“位置”那“最佳”)举行从

拟合上截断正态分布

连续的数据有时会被截断。例如，由于数据收集的限制，大于某个固定值的观测值可能不会被记录。

在这种情况下，模拟截断的正态分布的数据。首先，生成一些随机的正态数据。

n = 500;μ= 1;σ= 3;rng (“默认”的）%的再现性x2 = normrnd(μ、σ,n, 1);

接下来，删除掉落超出截断点的任何观察结果xTrunc．假使，假设xTrunc是一个您不需要估计的已知值。

xTrunc = 4;x2 = x2(x2 < xTrunc);

核对样品的数量x2截断后。

长度(x2)

ans = 430

创建模拟数据的直方图。

直方图(x2)

用与正态分布相同的自定义分布拟合模拟数据x2 < xTrunc，但上面有零概率xTrunc．通过使用自定义分布，您可以估计正态参数μ和西格玛而这条尾巴却不见了。

通过pdf定义截断的正态分布。创建一个匿名函数来计算x中每个点的概率密度值，给定参数值μ和西格玛．截断点固定且已知，截断正态分布的pdf就是截断后的pdf，然后归一化，这样它就集成为一。标准化是cdf的值xTrunc．为简单起见，假设全部x2值小于xTrunc,没有检查。

pdf_truncnorm = @ (x2,μ、σ)．..normpdf (x2,μ、σ)。/ normcdf (xTrunc、μ、σ);

因为你不需要估计截断点xTrunc，它不包含在自定义PDF函数的输入分布参数中。xTrunc也不是数据向量输入参数的一部分。匿名函数可以访问工作区中的变量，因此您不必传递xTrunc作为附加参数添加到匿名函数中。

为参数估计提供一个粗略的初始猜测。在这种情况下，由于截断不是极端的，所以使用样本均值和标准偏差。

开始= [(x2),性病(x2)]

开始=1×20.1585 - 2.4125

提供大中型企业使用数据、自定义PDF函数、初始参数值和参数下界。因为西格玛必须是正的，还需要指定参数的下界。大中型企业的最大似然估计μ和西格玛作为一个单一的向量，以及两个参数的近似95%置信区间的矩阵。

[paramEsts, paramCIs] =大中型企业(x2,'pdf'，pdf_truncnorm，'开始'开始,．..下界的(从0))

paramEsts =1×21.1298 - 3.0884

paramcis =2×20.5713 2.7160 1.6882 3.4607

的估计μ和西格玛大于样本均值和标准差。模型拟合解释了分布缺失的上尾。

或者，您可以使用截断界限指定截断界限截断截断名称-值参数。

[paramests2，paramcis2] = mle（x2，“分布”那'普通的'那．..“TruncationBounds”(负无穷xTrunc))

paramEsts2 =1×21.1297 - 3.0884

paramCIs2 =2×20.5713 2.7160 1.6882 3.4607

您可以为参数估计计算一个近似的协方差矩阵MLECOV.．这种近似通常适用于大样本，你可以通过对角线元素的平方根来近似标准误差。

acov = mlecov (paramEsts x2,'pdf'，pdf_truncnorm）

Acov =2×20.0812 0.0402 0.0402 0.0361

stderr = sqrt（diag（acov））

stderr =2×10.2849 - 0.1900

在目视检查拟合，请将拟合的PDF绘制原始数据的标准化直方图。

直方图(x2,“归一化”那'pdf') xgrid = linspace(min(x2)，max(x2));pdfgrid = pdf_truncnorm (xgrid paramEsts (1) paramEsts (2));持有在情节(xgrid pdfgrid,' - ')包含(“x2”) ylabel (的概率密度)传说(样本数据的那'适合PDF'那“位置”那“最佳”)举行从

拟合两个正态分布的混合物

一些数据集显示双模态，甚至多模态，用标准分布来拟合这些数据通常是不合适的。然而，简单的单峰分布的混合通常可以很好地模拟这样的数据。

在这种情况下，对模拟数据拟合两种正态分布的混合物。用下列构造定义来考虑模拟数据:

从学生的混合数据生成一个数据集T.而不是使用你拟合的相同模型。通过使用不同的分布(类似于在蒙特卡罗模拟中使用的技术)，您可以测试拟合方法对偏离拟合模型假设的稳健程度。

rng (10)%的再现性X3 = [trnd(20,1,50) trnd(4,1,100)+3];直方图(x3)

通过创建一个匿名函数来计算概率密度，定义适合的模型。两个正态分布的混合pdf是两个正态分量的pdf的加权和，由混合概率加权。匿名函数接受6个输入:一个用于评估pdf的数据向量和5个分布参数。每个分量都有其均值和标准差的参数。

pdf_normmixture = @（x3，p，mu1，mu2，sigma1，sigma2）．..p * normpdf (x3, mu1 sigma1) + (1 - p) * normpdf (x3, mu2 sigma2);

您还需要对参数进行初步猜测。随着模型参数数量的增加，定义起点变得更加重要。在这里，从等量的混合物(P.= 0.5)的正态分布，以数据的两个四分位数为中心，具有相同的标准差。标准偏差的起始值来自混合物的方差公式，该公式由每个成分的均值和方差表示。

pstart = .5;MustArt = Smianile（X3，[。25 .75]）

MustArt =.1×20.3351 3.3046

sigmaStart = sqrt(var(x3) - .25*diff(muStart).²)

sigmaStart = 1.1602

start = [pstart mustart sigmastart sigmastart];

为混合概率指定0和1的界限，为标准偏差指定0的下界。将边界向量的剩余元素设为+正或-inf.，表示没有限制。

lb = [0 -Inf -Inf 0 0];ub = [1 Inf Inf Inf Inf];paramEsts =大中型企业(x3,'pdf'，pdf_normmixture，'开始'开始,．..下界的磅,'上行'乌兰巴托)

警告:最大似然估计不收敛。迭代超过限制。

paramEsts =1×50.3273 0.2263 2.9914 0.9067 1.2059

警告消息表明该函数不收敛于默认迭代设置。显示默认选项。

statset (“mlecustom”的）

ANS =.结构体字段:Display: 'off' MaxFunEvals: 400 MaxIter: 200 TolBnd: 1.0000e-06 TolFun: 1.0000e-06 TolTypeFun: [] TolX: 1.0000e-06 TolTypeX: [] GradObj: 'off' Jacobian:[]衍生步骤:6.0555e-06 FunValCheck: 'on' Robust: []

自定义分发的默认最大迭代次数为200.使用使用的选项结构覆盖默认值以增加迭代次数statset函数。同时，增加最大函数值。

选择= statset (“麦克斯特”, 300,“MaxFunEvals”, 600);paramEsts =大中型企业(x3,'pdf'，pdf_normmixture，'开始'开始,．..下界的磅,'上行'乌兰巴托,“选项”选项)

paramEsts =1×50.3273 0.2263 2.9914 0.9067 1.2059

最终的收敛迭代只在结果的最后几位有意义。然而，最佳实践是始终确保达到收敛。

为了直观地检查拟合情况，将拟合密度绘制到原始数据的概率直方图上。

直方图(x3,“归一化”那'pdf')举行在XGrid = Linspace（1.1 * min（x3），1.1 * max（x3），200）;pdfgrid = pdf_normmixture（XGrid，．..paramEsts paramEsts (1) (2), paramEsts (3), paramEsts (4), paramEsts (5));情节(xgrid pdfgrid,' - ')举行从包含(“x3”) ylabel (的概率密度)传说(样本数据的那'适合PDF'那“位置”那“最佳”的）

或者，对于混合的正态分布，您可以使用fitgmdist函数。由于迭代算法的初始估计和设置，估计值可能是不同的。

Mdl = fitgmdist (x3 ', 2)

Mdl = 1维2分量高斯混合分布。成分1:混合比例:0.329180 Mean: -0.2200成分2:混合比例:0.670820 Mean: 2.9975

mdl.sigma.

ANS = ANS（：，：，1）= 0.8274 ANS（：，:,2）= 1.4437

对精度不等的数据拟合加权正态分布

假设你有10个数据点，每个数据点实际上是1到8个观测值的平均值。原始的观测数据是不存在的，但是每个数据点的观测数据的数量是已知的。每个点的精度取决于其相应的观测数。你需要估计原始数据的均值和标准差。

X4 = [0.25 -1.24 1.38 1.39 -1.43 2.79 3.52 0.92 1.44 1.26]'m = [8 2 1 3 8 4 2 5 2 4]';

每个数据点的方差与它相应的观测数成反比，所以使用1 / m在最大似然拟合中对每个数据点的方差加权。

w = 1. /米;

在此模型中，您可以通过其PDF定义分发。但是，使用PDF的对数更合适，因为正常的PDF具有表单

C. * EXP（-0.5。* Z. ^ 2），

和大中型企业获取PDF的日志以计算Loglikelihie。所以，相反，创建一个函数，可直接计算PDF的对数。

pdf函数的对数必须计算每个点的概率密度的对数X，给定正常分布参数μ和西格玛．它还需要考虑不同的方差权重。定义一个名为helper_logpdf_wn1在一个单独的文件中helper_logpdf_wn1.m．

函数呆呆的= helper_logpdf_wn1 (x, m,μ、σ)％Helper_logpdf_wn1 PDF的对数进行重量正态分布%这个函数只支持Fit Cust万博1manbetxom Distributions示例％（customdist1demo.mlx），可能会在将来的释放中发生变化。v = sigma。^ 2 ./ m;logy =  - （x-mu）。^ 2 ./（2. * v） -  .5。* log（2. * pi。* v）;结尾

为参数估计提供一个粗略的初步猜测。在这种情况下，使用未加权样本均值和标准偏差。

开始= [(x4),性病(x4)]

开始=1×21.0280 - 1.5490

因为西格玛必须是正面的，您需要指定较低的参数界限。

[paramests1，paramcis1] = mle（x4，“logpdf”那．..@ (x,μ、σ)helper_logpdf_wn1 (x, m,μ、σ),．..'开始'开始,下界的(从0))

paramEsts1 =1×20.6244 - 2.8823

paramCIs1 =2×2-0.2802 1.6191 1.5290 4.1456

的估计μ小于样本均值估计的三分之二。估计值受到最可靠的数据点的影响，即基于最大量原始观测的数据点。在这个数据集中，这些点倾向于从未加权样本均值拉下估计。

使用参数变换适应正态分布

这大中型企业功能计算使用大样本正常近似的参数的置信区间，以便如果不可用，则估算器的分布。对于小样本尺寸，您可以通过转换一个或多个参数来改善正常近似。在这种情况下，将正态分布的比例参数转换为其对数。

首先，定义一个新的日志pdf函数helper_logpdf_wn2的转换参数西格玛．

函数呆呆的= helper_logpdf_wn2 (x, m,μ,logsigma)%HELPER_LOGPDF_WN2为权重正态分布的pdf的对数%日志(σ)参数化%这个函数只支持Fit Cust万博1manbetxom Distributions示例％（customdist1demo.mlx），可能会在将来的释放中发生变化。v = exp（logsigma）。^ 2 ./ m;logy =  - （x-mu）。^ 2 ./（2. * v） -  .5。* log（2. * pi。* v）;结尾

使用转换为新参数的相同起始点西格玛，也就是说，样本标准偏差的日志。

开始= [(x4),日志(std (x4)))

开始=1×21.0280 0.4376

因为西格玛可以是任何正值，日志(σ)无限制，您无需指定较低或上限。

[paramEsts2, paramCIs2] =大中型企业(x4,“logpdf”那．..@（x，mu，sigma）helper_logpdf_wn2（x，m，mu，sigma），．..'开始',开始)

paramEsts2 =1×20.6244 - 1.0586

paramCIs2 =2×2-0.2802 0.6203 1.5290 1.4969

因为参数化使用日志(σ)，你必须转换回原来的规模，以得到一个估计和置信区间西格玛．

sigmaHat = exp (paramEsts2 (2))

sigmaHat = 2.8823

sigmaci = exp（paramcis2（:,2））

sigmaci =2×11.8596 - 4.4677

两者的估计μ和西格玛与第一次拟合相同，因为最大似然估计对参数化是不变的。的置信区间西格玛稍微不同于paramCIs1 (: 2)．