切线平面和正常的隐式表面线

自R2021b以来

此示例显示了如何找到隐式表面的切线平面和正常线。此示例使用符号矩阵变量（带有Symmatrix数据类型）用于紧凑的数学符号。

可以隐式定义表面，例如球体 $$X^2+y^2+z^2=r^2$$。通常，隐式定义的表面由方程式表达 $$F（（X，，，，y，，，，z）=k$$。此示例找到了半径的切线和正常线 $$r=\sqrt{14}$$。

创建符号矩阵变量 $$r$$代表 $$⟨X，，，，y，，，，z⟩$$坐标。将球形函数定义为 $$F（（r）=r\AA r$$。

清除;关全部;CLC SYMSr[1 3]矩阵f = r*r。'

f =
                 $$r{r}^{\mathrm{t}}$$

隐式方程 $$F（（r）=14$$代表一个领域。将方程式转换为符号使用数据类型symmatrix2sym。使用fimplitic3功能。

feqn = symmatrix2sym（f == 14）

feqn =
                 $${r_{1，，，，1}}^2+{r_{1，，，，2}}^2+{r_{1，，，，3}}^2=14$$

fimplitic3（FEQN）轴平等的轴（[ -  6 6 -6 6 -6 6]）

接下来，在该点找到切线和正常线 $$r_0=⟨X_0，，，，y_0，，，，z_0⟩$$。

回想一下梯度向量的 $$F$$是 $$\nabla F（（r）=⟨F_X（（r），，，，F_y（（r），，，，F_z（（r）⟩$$。该点的切线平面的方程式 $$r_0$$然后由 $$F_X（（r_0）（（X-X_0）+F_y（（r_0）（（y-y_0）+F_z（（r_0）（（z-z_0）=0$$。在紧凑的数学符号中，切线平面方程可以写为 $$\nabla F（（r_0）\AA （（r-r_0）=0$$。

找到 $$F（（r）$$使用坡度功能。请注意，结果是3 by-1符号矩阵变量。

fgrad =渐变（f，r）

fgrad =
                 $$2r^{\mathrm{t}}$$

尺寸（fgrad）

ans =1×23 1

定义切线平面的方程式。使用潜艇在该点评估梯度的功能 $$r_0=⟨1，，，，-2，，，，3⟩$$。

r0 = [-2,1,3];fplane =（R-R0）*subs（fgrad，r，r0）

fplane =

                 

                  $$\begin{array}{l}2\left(-{\sigma }_1+r\right){{\sigma }_1}^{\mathrm{t}}\\ \\ \mathrm{在哪里}\\ \\ \mathrm{}{\sigma }_1=（（\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\end{array}）\end{array}$$
                

绘制点 $$r_0$$使用plot3，并使用fimplitic3。

抓住上Plot3（R0（1），R0（2），R0（3），，'ro'，Markersize = 10，MarkerfaceColor ='r'）fimplicit3（symmatrix2sym（fplane == 0））

该点正常线的方程式 $$r_0$$是（谁）给的 $$n（（t）=⟨X_0，，，，y_0，，，，z_0⟩+t⟨F_X（（r_0），，，，F_y（（r_0），，，，F_z（（r_0）⟩$$。在紧凑的数学符号中，方程可以写为 $$n（（t）=r_0+t\nabla F（（r_0）$$。

定义正常线的方程式。

符号tn = r0 + t*subs（fgrad，r，r0）。

n =

                 

                  $$\begin{array}{l}{\sigma }_1+2t{\sigma }_1\\ \\ \mathrm{在哪里}\\ \\ \mathrm{}{\sigma }_1=（（\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\end{array}）\end{array}$$
                

将普通线方程转换为符号使用数据类型symmatrix2sym。提取参数曲线 $$X（（t）$$，，，， $$y（（t）$$， 和 $$z（（t）$$对于正常行，通过索引n。使用正常线fplot3。

n = symmatrix2sym（n）

n =
                 $$（（\begin{array}{ccc}-4t-2& 2t+1& 6t+3\end{array}）$$

fplot3（n（1），n（2），n（3），[0 1]，，'r->'）