这个例子用。来探讨阻尼谐振子的物理性质
在没有驱动力的情况下求解运动方程,
研究过低、过低和临界阻尼的情况
推导运动方程
解运动方程(F = 0)
欠阻尼的情况下( )
过阻尼情况下( )
临界阻尼情况( )
结论
考虑如下所示的带阻尼的强制谐振子。将阻力与振荡器的运动速度成正比。
定义运动方程,其中
是质量
为阻尼系数
是弹簧常数
是一种驱动力
信谊x (t)米ckF (t)eq = m*diff(x,t,t) + c*diff(x,t) + k*x == F
eq (t) =
用 和 .
信谊γomega_0Eq = subs(Eq, [c k], [m*gamma, m* _0^2])
eq (t) =
除去质量 .现在我们有了一个方便分析的形式。
Eq = collect(Eq, m)/m
eq (t) =
用公式求解运动方程dsolve
在没有外力的情况下
.使用单位位移和零速度的初始条件。
韦尔= diff (x, t);Cond = [x(0) == 1, vel(0) == 0];情商=潜艇(eq, F, 0);Sol = dsolve(eq, cond)
索尔=
检查如何通过扩展来简化解决方案。
索尔=扩大(sol)
索尔=
注意每一项都有一个因子
,或
,使用收集
收集这些术语
Sol =收集(Sol, exp(-gamma*t/2))
索尔=
这个词 出现在解决方案的各个部分。通过引入阻尼比,用更简单的形式重写它 .
将ζ代入上面的项得到:
信谊ζ;索尔=潜艇(溶胶,...√伽马^ 2 - 4 * omega_0 ^ 2),...2 * omega_0 *√(ζ^ 2 - 1))
索尔=
通过代入进一步简化了解 而言, 和 ,
Sol = sub (Sol, 2* * _0)
索尔=
推导了无动力阻尼谐振子运动的通解。接下来,我们将探讨阻尼比的三种特殊情况 运动以更简单的形式出现。这些案例被称为
欠阻尼的 ,
过阻尼 ,
临界阻尼 .
如果 ,然后 纯粹是虚构的
solUnder = subs(sol,根号(zeta^2-1), 1i*根号(zeta^2))
solUnder =
请注意条款 在上面的等式和回忆的身份
把解写成 .
solUnder = coeffs(solUnder, zeta);solUnder = solUnder (1);C = exp(- _0 * * t);solUnder = c *重写(solUnder / c,“因为”)
solUnder =
solUnder(t, omega_0, zeta) =
solUnder(t, _0,) =
系统以的固有频率振荡 并以指数速率衰减 .
用fplot
作为…的函数
和
.
Z = [0 1/4 /2 /4];w = 1;T = 4 *π;线型= {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solUnder (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solUnder (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含(“t / \ omega_0”);ylabel (“振幅”);乐金显示器=传奇(' 0 ',“1/4”,“1/2”,“3/4”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(“欠阻尼的”);
如果 ,然后 是纯实数,解可以重写为
solove =溶胶
solove =
solOver = coeffs(solOver, zeta);solove = solove (1)
solove =
请注意条款 回忆一下身份 .
把这个表达式写成 .
c = exp (-omega_0 * t *ζ);solOver = c*重写(solOver / c,“cosh”)
solove =
solOver(t, _0) = solOver
solOver(t, _0,) =
画出解,看看它在没有振荡的情况下衰减。
Z = 1 + [1/4 / 3/4];w = 1;T = 4 *π;线型= {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solove (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solove (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);乐金显示器=传奇(“1 + 1/4”,“1 + 1/2”,“1 + 3/4”,' 2 ');标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(过阻尼的);
如果 ,则解简化为
solCritical(t, _0) =极限(sol, 1)
solCritical (t, omega_0) =
画出临界阻尼情况的解。
w = 1;T = 4 *π;fplot(solCritical(t, w), [0 t]) xlabel(“\ omega_0 t”);ylabel (“x”);标题('临界阻尼,\ = 1');网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});
通过求解用阻尼比表示谐振子运动的ode,我们研究了谐振子的不同阻尼状态 .将这三种情况放在一起进行比较和对比。
zOver =π;zUnder = 1 / zOver;w = 1;T = 2π*;线型= {“- - -”,“——”,”:k”};fplot(@(t)solOver(t, w, zOver), [0 t], lineStyle{1},“线宽”2);持有在;fplot(solCritical(t, w), [0 t], lineStyle{2},“线宽”,2) fplot(@(t)solUnder(t, w, zUnder), [0 t], lineStyle{3},“线宽”2);持有从;输入textColor =线(3);文本(3 *π/ 2,0.3,“阻尼状态”,“颜色”输入textColor (:));文本(π* 3/4,0.05,“临界阻尼”,“颜色”:输入textColor (2));文本(π/ 8,-0.1,“欠阻尼”);网格在;包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',‘\π/ 2,“\π”,‘3 \π/ 2,“2 \π”});Yticks ((1/exp(1))*[-1 0 1 2 exp(1)]);yticklabels ({“1 / e”,' 0 ',“1 / e”,2 / e的,' 1 '});乐金显示器=传奇(“\π”,' 1 ',“1 / \π”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(阻尼谐振子的);