关于部门界限和行业指标

圆锥的行业

在其最简单的形式,一个圆锥部门由两行二维区域分隔,<年代pan class="inlineequation"> $y = 一个 u$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y = b u$ 。

阴影区域的特征是不平等的<年代pan class="inlineequation"> $(y - - - - - - 一个 u) (y - - - - - - b u) < 0$ 。更普遍的是,任何这样的部门可以参数化:

${(\begin{array}{c} y \\ u \end{array})}^{T} 问 (\begin{array}{c} y \\ u \end{array}) < 0,$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 是一个2 x2对称不定矩阵(<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有一个积极的和一个负特征值)。我们称之为<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的<年代pan class="emphasis">部门矩阵。这一概念推广到更高的维度。在一个n维空间,圆锥部门是一组:

$年代 = {z \in R^{N} : z^{T} 问 z < 0},$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 又是一个对称的不确定矩阵。

部门界限

部门界限约束在一个系统的行为。获得约束和被动约束是部门界限的特殊情况。如果对所有非零输入轨迹<年代pan class="inlineequation"> $u (t)$ ,输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ 的一个线性系统<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 满足:

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) 问 z (t) d t < 0, \forall T > 0,$

然后的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 躺在圆锥部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 。选择不同的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 矩阵对系统不同条件下的反应。例如,考虑轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y (t) = (G u) (t)$ 和下列值:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - - - - - - 我 \\ - - - - - - 我 & 0 \end{array}) 。$

这些值对应部门绑定:

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} 0 & - - - - - - 我 \\ - - - - - - 我 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t < 0, \forall T > 0 。$

这个部门相当于被动的约束条件<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ :

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0 。$

换句话说,被动是一个特别的部门绑定定义的系统:

$H = (\begin{array}{c} G \\ 我 \end{array}) 。$

频域条件

由于时域条件必须持有<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ,一个等价的频域绑定需要一点关怀和并不总是可能的。让下面的:

$问 = W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - W_{2}^{T} W_{2}$

(任何)不定矩阵的分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 为其积极和消极的部分。当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 广场和最小相位(没有不稳定零),时域的条件:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} 问 (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0$

等于频域条件:

$H (j ω)^{H} 问 H (j ω) < 0 \forall ω \in R 。$

因此,足够的检查部门不平等的真正的频率。使用分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ ,这也相当于:

${为 (W_{1}^{T} H) (W_{2}^{T} H)^{- - - - - - 1} 为}_{\infty} < 1 。$

请注意,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H$ 是广场<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有尽可能多的负特征值输入通道<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 。如果不满足此条件,它不再是足够的(一般来说)看看真正的频率。还要注意,如果<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 是方的,那么它必须是最小相位的部门。

频域特征的基础<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/it/help/control/ref/dynamicsystem.sectorplot.html" data-docid="control_ref#bu6l1bj-1" class="a">sectorplot。具体地说,sectorplot阴谋的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- - - - - - 1}$ 作为频率的函数。部门绑定满意当且仅当最大的奇异值小于1。此外,情节包含有用的信息部门绑定的频段是满意或违反的程度是满意或违反。

例如,检查部门2-output情节,2-input系统为特定部门。

负载(<年代pan style="color:#A020F0">“sectorExampleSystem.mat”,<年代pan style="color:#A020F0">“标题”)Q = [-5.12 2.16 -2.04 2.17 2.16 -1.22 -0.28 -1.11 -2.04 -0.28 -3.35 0.00 2.17 -1.11 0.00 - 0.18);sectorplot (H1, Q)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含2线类型的对象。该对象代表H1。

情节显示最大的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $(W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- - - - - - 1}$ 超过1低于0.5 rad / s和窄带大约rad / s。因此,H不满足所代表的部门绑定问。

相对行业指数

我们可以相对被动指数的概念扩展到任意的行业。让<年代pan class="inlineequation"> $H (年代)$ 是一个线性时不变系统,让:

$问 = W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - W_{2}^{T} W_{2}, W_{1}^{T} W_{2} = 0$

是一个正交分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 为其积极和消极部分,很容易从舒尔分解获得的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 。的<年代pan class="emphasis">相对行业指数 $R$ 或r指标,定义为最小的<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样对所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) z (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

因为增加<年代pan class="inlineequation"> $r$ 使<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 更消极,不平等通常是满意的<年代pan class="inlineequation"> $r$ 足够大。然而,在某些情况下当它永远不能满足,在这种情况下,r指标<年代pan class="inlineequation"> $R = + \infty$ 。显然,如果只有原来的部门绑定满意<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ 。

要理解r指标的几何解释,把家庭的锥矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问 (r) = W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 。在2 d,锥倾斜角度<年代pan class="inlineequation"> $θ$ 有关<年代pan class="inlineequation"> $r$ 通过

$棕褐色 (θ) = r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

(见下面的图)。更普遍的是,<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色 (θ)$ 成正比<年代pan class="inlineequation"> $R$ 。因此,给定一个圆锥部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ ,一个r指标的值<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ 意味着我们可以减少<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色 (θ)$ (窄锥)的一个因素<年代pan class="inlineequation"> $R$ 之前一些输出轨迹的<年代pan class="inlineequation"> $H$ 叶子圆锥部门。同样,一个值<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 意味着我们必须增加<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色 (θ)$ (扩大锥)的一个因素<年代pan class="inlineequation"> $R$ 包括所有的输出轨迹的<年代pan class="inlineequation"> $H$ 。这无疑会使r指标相对测量的反应如何<年代pan class="inlineequation"> $H$ 符合二次曲线在一个特定的领域。

在图中,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为}, d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为}, R = \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |},$

和

$棕褐色 (θ) = \frac{d_{1}}{d_{2}} = R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} 。$

当<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 广场和最小相位,r指标也可以在频域特征是最小的吗<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样:

$H (j ω)^{H} (W_{1}^{T} W_{1} - - - - - - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}) H (j ω) < 0 \forall ω \in R 。$

利用初等代数,这将导致:

$R = \underset{ω}{马克斯} 为 (W_{1}^{T} H (j ω)) (W_{2}^{T} H (j ω))^{- - - - - - 1} 为。$

换句话说,r指标是(稳定)的峰值增益传递函数<年代pan class="inlineequation"> $Φ (年代) : = (W_{1}^{T} H (年代)) (W_{2}^{T} H (年代))^{- - - - - - 1}$ 的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $Φ (j w)$ 可以被视为“本金”R-indices在每个频率。这也解释了为什么策划r指标和频率看起来像一个奇异值(见阴谋<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/it/help/control/ref/dynamicsystem.sectorplot.html" data-docid="control_ref#bu6l1bj-1" class="a">sectorplot)。之间有一个完整的类比相对部门指标和系统获得。但是请注意,这个比喻时才举行<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H (年代)$ 广场和最小相位。

定向行业指数

同样的,我们可以定向被动指数的概念扩展到任意部门。给定一个圆锥部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ ,一个方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ ,定向部门指数是最大的<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样对所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z (t) = (H u) (t)$ :

$\int_{0}^{T} z^{T} (t) (问 + τ δ 问) z (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

定向被动指数系统<年代pan class="inlineequation"> $G (年代)$ 对应:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - - - - - - 我 \\ - - - - - - 我 & 0 \end{array}) 。$

定向部门指数措施多少我们需要变形方向的部门<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 使其符合严格的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 。部门绑定满意当且仅当定向指数是正的。

常见的行业

有很多方法来指定部门的界限。接下来我们复习常见的表情和给相应的系统<年代pan class="inlineequation"> $H$ 和部门矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 使用的标准形式getSectorIndex和sectorplot:

$\int_{0}^{T} (H u) (t)^{T} 问 (H u) (t) d t < 0, \forall T > 0 。$

为简单起见,这些描述使用的符号:

$为 x 为_{T} = \int_{0}^{T} 为 x (t) 为^{2} d t,$

和省略<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ 要求。

被动

被动是一个部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 0 & - - - - - - 我 \\ - - - - - - 我 & 0 \end{array}) 。$

获得约束

获得约束<年代pan class="inlineequation"> ${为 G 为}_{\infty} < γ$ 是一个部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 我 & 0 \\ 0 & - - - - - - γ^{2} 我 \end{array}) 。$

距离的比例

考虑到“内部”约束,

$为 y - - - - - - c u 为_{T} < r 为 u 为_{T}$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $c, r$ 标量和<年代pan class="inlineequation"> $y (t) = (G u) (t)$ 。这是一个部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 我 & - - - - - - c 我 \\ - - - - - - c 我 & (c^{2} - - - - - - r^{2}) 我 \end{array}) 。$

底层圆锥部门与尊重是对称的<年代pan class="inlineequation"> $y = c u$ 。同样,“外部”约束,

$为 y - - - - - - c u 为_{T} > r 为 u 为_{T}$

是一个部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} - - - - - - 我 & c 我 \\ c 我 & (r^{2} - - - - - - c^{2}) 我 \end{array}) 。$

双不平等

在处理静态非线性时,通常要考虑圆锥部门的形式

$一个 u^{2} < y u < b u^{2},$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $y = ϕ (u)$ 是非线性的输出。虽然这种关系不是一个行业本身,它清楚地表明:

$一个 \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t < \int_{0}^{T} y (t) u (t) d t < b \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t$

在所有I / O轨迹<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ 。这种情况反过来相当于部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} ϕ (。) \\ 1 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 1 & - - - - - - (一个 + b) / 2 \\ - - - - - - (一个 + b) / 2 & 一个 b \end{array}) 。$

产品形式

广义部门界限的形式:

$\int_{0}^{T} (y (t) - - - - - - K_{1} u (t))^{T} (y (t) - - - - - - K_{2} u (t)) d t < 0$

对应:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = (\begin{array}{cc} 2 我 & - - - - - - (K_{2} + K_{1}^{T}) \\ - - - - - - (K_{1} + K_{2}^{T}) & K_{1}^{T} K_{2} + K_{2}^{T} K_{1} \end{array}) 。$

和之前一样,静态部门绑定:

$(y - - - - - - K_{1} u)^{T} (y - - - - - - K_{2} u) < 0$

意味着上述积分部门绑定。

近年耗散

一个系统<年代pan class="inlineequation"> $y = G u$ QSR-dissipative如果它满足:

$\int_{0}^{T} {(\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array})}^{T} (\begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array}) (\begin{array}{c} y (t) \\ u (t) \end{array}) d t > 0, \forall T > 0 。$

这是一个部门绑定:

$H (年代) = (\begin{array}{c} G (年代) \\ 我 \end{array}), 问 = - - - - - - (\begin{array}{cc} 问 & 年代 \\ {年代}^{T} & R \end{array}) 。$

引用

[1],M。,P. Gahinet, N. Abroug, C. Buhr, and E. Laroche. “Sector Bounds in Stability Analysis and Control Design.”国际期刊的健壮和非线性控制30日,没有。18日(2020年12月):7857 - 82。<一个href="https://doi.org/10.1002/rnc.5236" target="_blank">https://doi.org/10.1002/rnc.5236。

另请参阅
getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">sectorplot|<年代pan itemscope itemtype="//www.tianjin-qmedu.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorCrossover

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