构建和操纵不确定性模型

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™构建状态空间模型和不确定与不确定的元素分析反馈控制系统的鲁棒性。

我们将介绍如何指定不确定的物理参数和创建从这些参数不确定的状态空间模型。您将看到如何评估随机和坏的参数变化的影响使用功能usample和robstab。

Two-Cart和弹簧系统

在这个例子中,我们使用以下系统组成的两个无摩擦车由弹簧连接k:

图1:Two-cart和弹簧系统。

控制输入的力u1应用于左车。输出的位置控制日元正确的车。反馈控制是下面的形式:

$u_{1} = C (年代) (r - - - - - - y_{1})$

此外,我们使用一个triple-lead补偿器:

$C (年代) = 100 (年代 + 1)^{3} / (0 。 001 年代 + 1)^{3}$

我们创建这个补偿器使用这段代码:

s = zpk (“年代”);%的拉普拉斯“s”变量C = 100 * ss ((s + 1) /(措施* s + 1)) ^ 3;

框图模型

two-cart和弹簧系统建模的框图所示。

图2:two-cart和弹簧模型的框图。

不确定的实际参数

控制车的问题是复杂的,弹簧常数的值k和车质量m1, m2众所周知,只有20%的准确率: $k = 1 。 0 \pm 20 %$ , $米 1 = 1 。 0 \pm 20 %$ , $米 2 = 1 。 0 \pm 20 %$ 。捕捉这种可变性,我们将创建三个不确定真正的参数使用尿素的功能:

k =尿素的(“k”,1“百分比”,20);m1 =尿素的(“m1”,1“百分比”,20);m2 =尿素的(“平方米”,1“百分比”,20);

不确定车模型

我们车模型可以表示如下:

$G_{1} (年代) = \frac{1}{米_{1} {年代}^{2}}, G_{2} (年代) = \frac{1}{米_{2} {年代}^{2}}$

考虑到不确定参数m1和平方米,我们将构建不确定状态空间模型(号)为G1和G2如下:

G1 = 1 / s ^ 2 / m1;G2 = 1 / s ^ 2 /平方米;

不确定的闭环系统模型

首先我们将构建一个工厂模型P对应于上面所示的框图(P地图u1 y1):

% Spring-less内部块F (s)F = [0; G1] * [1] + [1; 1] * [0, G2]

不确定连续系统的状态空间模型2输出,输入,4。模型不确定性包含以下模块:m1:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m2:不确定真实,名义= 1,可变性= [-20,20]% 1 F事件类型”。NominalValue”的名义价值和“F。不确定性”与不确定的交互元素。

与春天k

P =融通(F, k)

不确定连续系统的状态空间模型1输出,输入,4。模型不确定性包含以下模块:凯西:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m1:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m2:不确定真实,名义= 1,可变性= [-20,20]% 1 P事件类型。NominalValue”的名义价值和“P。不确定性”与不确定的交互元素。

反馈控制u1 = C * (r-y1)作用于植物P如下所示:

图3:不确定的闭环系统模型。

我们将使用反馈计算闭环传递函数从r日元。

%确定的开环模型L = P * C

不确定连续系统的状态空间模型1输出,输入,7个州。模型不确定性包含以下模块:凯西:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m1:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m2:不确定真实,名义= 1,可变性=[-20,20]% 1出现“L型。NominalValue”的名义价值和“L。不确定性”与不确定的交互元素。

不确定闭环传输从r日元

T =反馈(L, 1)

不确定连续系统的状态空间模型1输出,输入,7个州。模型不确定性包含以下模块:凯西:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m1:不确定真实,名义= 1,可变性=(-20,20)%,1出现m2:不确定真实,名义= 1,可变性=[-20,20]% 1出现“T类型。NominalValue”的名义价值和“T。不确定性”与不确定的交互元素。

注意,因为G1和G2都不确定,P和T不确定状态空间模型。

提取名义植物

工厂的名义传递函数

Pnom = zpk (P.nominal)

Pnom = 1 - - - - - - - - - - - - - s ^ 2 (s ^ 2 + 2)连续时间零/钢管/增益模型。

标称闭环稳定

接下来,我们评估标称闭环传递函数Tnom,然后检查所有波兰人标称系统有负面的部分:

Tnom = zpk (T.nominal);maxrealpole = max(真正的(极(Tnom)))

maxrealpole = -0.8232

鲁棒稳定性裕度

将所有可能的值的反馈回路保持稳定的k, m1, m2在指定的不确定性范围?我们可以使用robstab严格函数来回答这个问题。

%显示报告和计算灵敏度选择= robOptions (“显示”,“上”,“敏感”,“上”);[StabilityMargin, wcu] = robstab (T,选择);

计算峰……完成百分比:100/100系统强劲稳定的建模不确定性。——它可以忍受高达288%的建模不确定性。——有一个不稳定扰动总计289%的建模不确定性。——这个扰动会导致一个不稳定的频率575 rad /秒。——敏感性对每个不确定元素是:12% k。增加k 25%降低了利润率3%。m1为47%。增加m1 25%降低了利润率11.8%。m2为47%。m2增长25%降低了利润率11.8%。

该报告表明,闭环可以容忍三倍的变化k, m1, m2之前不稳定。它还提供了有用的信息对每个参数稳定性的敏感性。的变量wcu包含最小的不稳定参数变化(相对于标称值)。

wcu

wcu =结构体字段:凯西:1.5773 m1: 0.4227平方米:0.4227

最糟糕的性能分析

请注意,在闭环传输频率峰值增益T象征的闭环阶跃响应的超调。越接近这个增益为1,较小的超调。我们使用wcgain计算最坏的收获PeakGain的T在指定的不确定性范围。

[PeakGain, wcu] = wcgain (T);PeakGain

PeakGain =结构体字段:下界:1.0424 UpperBound: 1.0731 CriticalFrequency: 4.1606

用最坏的参数变化wcu成T计算最坏的闭环传输Twc。

Twc = usubs (T, wcu);%最坏的闭环传输T

最后,从随机挑选样本不确定参数并比较相应的闭环传输与最坏的转移Twc。

Trand = usample (T, 4);% 4 T型不确定的随机样本clf次要情节(211),bodemag (Trand“b”Twc,“r”,{1000});%的阴谋预示反应次要情节(212),步骤(Trand,“b”Twc,“r”,0.2);%绘制阶跃响应

图包含2轴对象。轴与ylabel对象1级(dB)包含5线类型的对象。这些对象代表Trand, Twc。坐标轴对象2包含5线类型的对象。这些对象代表Trand, Twc。

图4:波德图和阶跃响应。

在这个分析中,我们看到,补偿器C k强劲执行指定的不确定性,m1, m2。

另请参阅

尿素的|号航空母舰|robstab|wcgain|usubs