解代数方程组

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本主题向您展示如何使用符号数学工具箱™符号化地解决方程组。此工具箱提供数值和符号方程求解器。有关数值和符号求解器的比较，请参见选择数字或符号求解器．

的输出`解决`

假设你有这个系统

$\begin{array}{l} x^{2} y^{2} ＝ 0 \\ x - \frac{y}{2} ＝ α ， \end{array}$

你想解的是 $x$ 而且 $y$ ．首先，创建必要的符号对象。

信谊xy一个

的输出有几种方法解决．一种方法是使用双输出调用。调用返回以下内容。

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)

solx =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 一个 \\ 0 \end{array} ）$

我还=
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0 \\ - 2 一个 \end{array} ）$

将第一个方程修改为 $x^{2} y^{2} ＝ 1$ ．新系统有更多的解决方案。万博尤文图斯产生了四种不同的解。万博尤文图斯

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 1, x-y/2 == a)

solx =
                  
                    $（ \begin{array}{c} \frac{一个}{2} - \frac{\sqrt{{一个}^{2} - 2}}{2} \\ \frac{一个}{2} - \frac{\sqrt{{一个}^{2} + 2}}{2} \\ \frac{一个}{2} + \frac{\sqrt{{一个}^{2} - 2}}{2} \\ \frac{一个}{2} + \frac{\sqrt{{一个}^{2} + 2}}{2} \end{array} ）$

我还=
                  
                    $（ \begin{array}{c} - 一个 - \sqrt{{一个}^{2} - 2} \\ - 一个 - \sqrt{{一个}^{2} + 2} \\ \sqrt{{一个}^{2} - 2} - 一个 \\ \sqrt{{一个}^{2} + 2} - 一个 \end{array} ）$

因为你没有指定因变量，解决使用symvar来确定变量。

分配输出的方法解决对于“小型”系统非常成功。例如，如果您有一个10乘10的方程组，输入以下内容既笨拙又耗时。

[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve(.．.）

为了克服这个困难，解决可以返回字段为解的结构。万博尤文图斯例如，解方程组U²- v²= a²，U + v = 1，A ^2 - 2* A = 3．求解器返回包含在结构中的结果。

信谊uv一个S =解决(u v ^ ^ 2 - 2 = = ^ 2, u + v = = 1 ^ 2 - 2 * 3 = =)

S =带字段的结构:A: [2x1 sym] u: [2x1 sym] v: [2x1 sym]

的解决方万博尤文图斯案一个居住在"一个场”,年代．

s.a.

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} - 1 \\ 3. \end{array} ）$

类似的注释适用于的解决方案万博尤文图斯u而且v．结构年代现在可以由字段和索引操作以访问解决方案的特定部分。例如，要检查第二个解决方案，可以使用下面的语句提取每个字段的第二个组件。

s2 = [S.a(2)，S.u(2)，S.v(2)]

s2 =
                   $（ \begin{array}{c} 3. & 5 & - 4 \end{array} ）$

下面的语句创建解矩阵米它的行组成了系统的不同解。万博尤文图斯

M = [S.a,S.u,S.v]

M =
                  
                    $（ \begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 3. & 5 & - 4 \end{array} ）$

清晰的solx而且我还供进一步使用。

清晰的solx我还

解一个线性方程组

线性方程组也可以用矩阵除法求解。例如，解这个方程组。

清晰的uvxy信谊uvxy= [x + 2*y == u, 4*x + 5*y == v];S = solve(eqns);sol = [S.x;S.y]

索尔=
                  
                    $（ \begin{array}{c} \frac{2 v}{3.} - \frac{5 u}{3.} \\ \frac{4 u}{3.} - \frac{v}{3.} \end{array} ）$

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,x,y);z = A\b

z =
                  
                    $（ \begin{array}{c} \frac{2 v}{3.} - \frac{5 u}{3.} \\ \frac{4 u}{3.} - \frac{v}{3.} \end{array} ）$

因此,索尔而且z产生相同的解决方案，尽管结果分配给不同的变量。

返回一个方程组的完全解

解决不会自动返回方程的所有解。万博尤文图斯若要返回所有解以及解中的参数万博尤文图斯和解上的条件，请设置ReturnConditions选项真正的．

考虑下面的方程组:

$\begin{array}{l} 罪（ x ） + 因为（ y ）＝ \frac{4}{5} \\ 罪（ x ）因为（ y ）＝ \frac{1}{10} \end{array}$

想象方程组使用fimplicit．将x轴和y轴的值设置为π，得到轴处理使用轴在一个．创建符号数组年代价值观2 *π来2 *π每隔π/ 2．将刻度设置为年代，使用XTick而且YTick的属性一个．要设置x轴和y轴的标签，请进行转换年代到字符向量。使用arrayfun应用字符到每一个元素年代返回T．设置XTickLabel而且YTickLabel的属性一个来T．

信谊xyEqn1 = sin(x)+cos(y) = 4/5;Eqn2 = sin(x)*cos(y) = 1/10;A =坐标轴;fimplicit (eqn1(2 * 2π*π)“b”）;持有在网格在fimplicit (eqn2(2 * 2π*π)“米”）;L = sym(-2*pi:pi/2:2*pi);a.XTick = double(L);a.YTick = double(L);M = arrayfun(@char, L，“UniformOutput”、假);a.XTickLabel = M;a.YTickLabel = M;标题(“方程组图”)传说(sin(x)+cos(y) = 4/5'，sin(x)*cos(y) = 1/10，.．.“位置”，“最佳”，“自动更新”，“关闭”）

图中包含一个轴对象。标题为Plot of System of Equations的坐标轴对象包含2个隐式函数线类型的对象。这些对象表示sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10。

解在两个万博尤文图斯图的交点处。这表明系统有重复的周期解。万博尤文图斯要求解这个方程组的全解集，请使用解决并设置ReturnConditions选项真正的．

S = solve(eqn1,eqn2，“ReturnConditions”,真正的)

S =带字段的结构:X: [2x1 sym] y: [2x1 sym] parameters: [z z1] conditions: [2x1 sym]

解决返回一个结构年代在田野里S.x为了解决x，S.y为了解决y，S.parameters对于解决方案中的参数，和S.conditions对于解的条件。中相同索引的元素S.x，S.y,S.conditions形成一个解。因此,S.x (1)，S.y (1),S.conditions (1)写出方程组的一个解。中的参数S.parameters可以出现在所有解中。万博尤文图斯

索引年代返回解、参数和条件。万博尤文图斯

S.x

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} z_{1} \\ z_{1} \end{array} ）$

S.y

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} z \\ z \end{array} ）$

S.parameters

ans =
                   $（ \begin{array}{c} z & z_{1} \end{array} ）$

S.conditions

ans =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} (\frac{z + 这些“可信赖医疗组织” （ σ_{3.} ）}{2 π} \in Z \lor \frac{z - 这些“可信赖医疗组织” （ σ_{3.} ）}{2 π} \in Z) \land (- \frac{π - z_{1} + σ_{1}}{2 π} \in Z \lor \frac{z_{1} + σ_{1}}{2 π} \in Z) \\ (\frac{z_{1} - π + 印度历的7月 （ σ_{3.} ）}{2 π} \in Z \lor \frac{z_{1} - 印度历的7月 （ σ_{3.} ）}{2 π} \in Z) \land (\frac{z + σ_{2}}{2 π} \in Z \lor \frac{z - σ_{2}}{2 π} \in Z) \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） \\ σ_{2} ＝ 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} ） \\ σ_{3.} ＝ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} \end{array}$

在一定条件下解方程组

要在条件下解方程组，在输入中指定条件到解决．

解上面考虑的方程组x而且y在这段时间2 *π来2 *π．将解叠加在图上使用万博尤文图斯散射．

Srange = solve(eqn1, eqn2， -2* < x, x < 2*， -2* < y, y < 2*，“ReturnConditions”,真正的);散射(Srange.x Srange.y,“k”）

图中包含一个轴对象。标题为Plot of System of Equations的坐标轴对象包含3个类型为隐式函数线、散点的对象。这些对象表示sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10。

处理返回的解决方案、万博尤文图斯参数和条件`解决`

返回的解、参数和条件万博尤文图斯解决在一段时间内或在万博尤文图斯附加条件下找到解。本节与前一节的目标相同，在搜索范围内求解方程组，但采用不同的方法。而不是直接放置条件，它展示了如何使用返回的参数和条件解决．

对于完整解年代求方程组的值x而且y在这段时间2 *π来2 *π通过解题万博尤文图斯S.x而且S.y对于参数S.parameters在这个区间内S.conditions．

在解x而且y在区间中，假设条件为S.conditions使用假设使返回的解满足条件。万博尤文图斯假设第一个解的条件。

假设(S.conditions (1))

在S.x而且S.y．

paramx = intersect(symvar(S.x)，S.parameters)

paramx =
                   $z_{1}$

paramy = intersect(symvar(S.y)， s.s parameters)

paramy =
                   $z$

求解第一个解x对于参数paramx．

solparamx(1) =解决(S.x(1) > 2π,S.x(1) < 2 *π,paramx)

solparamx =
                  
                    $（ \begin{array}{c} π + 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） & 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） - π & - 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） & - 2 π - 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） \end{array} ）$

类似地，求解的第一个解y为paramy．

solparamy(1) =解决(S.y(1) > 2π,S.y(1) < 2 *π,paramy)

solparamy =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） & 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） - 2 π & - 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） & 2 π - 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） \end{array} ）$

清除由设置的假设S.conditions (1)使用假设．调用asumptions检查假设是否正确。

假设(S.parameters“清楚”)假设

ans =空sym: 1乘0

假设第二个解的条件。

假设(S.conditions (2))

解第二个解x而且y对于参数paramx而且paramy．

solparamx(2) =解决(S.x(2) > 2 *π,S.x(2) < 2 *π,paramx)

solparamx =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} π + σ_{1} & σ_{1} - π & - σ_{1} & - 2 π - σ_{1} \\ σ_{2} & π - σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - π - σ_{2} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） \\ σ_{2} ＝ 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） \end{array}$

solparamy(2) =解决(S.y(2) > 2 *π,S.y(2) < 2 *π,paramy)

solparamy =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - σ_{2} & 2 π - σ_{2} \\ σ_{1} & σ_{1} - 2 π & - σ_{1} & 2 π - σ_{1} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} ） \\ σ_{2} ＝ 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） \end{array}$

第一行paramx而且paramy形成方程组的第一个解，第二行形成第二个解。

求的值x而且y对于这些值paramx而且paramy,使用潜艇代替paramx而且paramy在S.x而且S.y．

solx(1) =潜艇(S.x (1) paramx, solparamx (1:));solx(2，:) = subs(S.x(2)， paramx, solparamx(2，:)))

solx =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} π + σ_{1} & σ_{1} - π & - σ_{1} & - 2 π - σ_{1} \\ σ_{2} & π - σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - π - σ_{2} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} - \frac{2}{5} ） \\ σ_{2} ＝ 印度历的7月 （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） \end{array}$

还(1)=潜艇(S.y (1) paramy, solparamy (1:));soly(2，:) = subs(S.y(2)， paramy, solparamy(2，:)))

我还=
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} σ_{2} & σ_{2} - 2 π & - σ_{2} & 2 π - σ_{2} \\ σ_{1} & σ_{1} - 2 π & - σ_{1} & 2 π - σ_{1} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} ） \\ σ_{2} ＝ 这些“可信赖医疗组织” （ \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{2}{5} ） \end{array}$

请注意,solx而且我还这两组解是万博尤文图斯x和y．方程组的完整解是由中值的所有可能组万博尤文图斯合所形成的两组点solx而且我还．

用散射．把它们覆盖在方程的图形上。正如预期的那样，解出现在两个方程的万博尤文图斯图的交点处。

为I = 1:length(solx(1，:))为j = 1:长度(我还(1:))散射(solx(我)还(j),“k”solx(2,i)， soly(2,j)，“k”）结束结束

图中包含一个轴对象。标题为Plot of System of Equations的坐标轴对象包含35个隐式函数线、散点类型的对象。这些对象表示sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10。

将符号结果转换为数值

符号计算提供精确的精度，而数值计算是近似值。尽管会损失精度，但您可能需要将符号结果转换为数值近似值，以便在数值计算中使用。方法提供的变精度算法可用于高精度转换vpa函数。为了标准精度和更好的性能，转换为双精度使用双．

使用vpa转换符号解万博尤文图斯solx而且我还变成数字形式。

vpa (solx)

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 2.9859135500977407388300518406219 & - 3.2972717570818457380952349259371 & 0.15567910349205249963259154265761 & - 6.1275062036875339772926952239014 \\ 0.70095651347102524787213653614929 & 2.4406361401187679905905068471302 & - 5.5822287937085612290531502304097 & - 3.8425491670608184863347799194288 \end{array} ）$

vpa(还)

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0.86983981332387137135918515549046 & - 5.4133454938557151055661016110685 & - 0.86983981332387137135918515549046 & 5.4133454938557151055661016110685 \\ 1.4151172233028441195987301489821 & - 4.8680680838767423573265566175769 & - 1.4151172233028441195987301489821 & 4.8680680838767423573265566175769 \end{array} ）$

简化复杂的结果，提高性能

如果结果看起来很复杂，解决卡住了，或者如果你想提高性能，从solve函数解决方程问题万博尤文图斯．