好的。这是拉普拉斯变换的开始。这是需要不止一个短片。但是我会把这个视频一阶方程,步骤简单,很快。然后将二阶方程。所以现在开始拉普拉斯变换。
让我告诉你,我使用大写字母f的拉普拉斯变换,t的函数。f变换,一个函数(s),你会看到年代。或者解决方案我看,y (t), y s变换自然被称为资本。这就是我们想要的,我们想要找到y,我们知道f。好的。
所以我可以举个例子吗?首先,告诉你什么是拉普拉斯变换。假设函数f (t)。这是变换。我乘e -圣,积分从0到无穷大。0到无穷大。非常重要的。函数t = 0才开始,但它继续t =无穷大。
积分,当积分,t消失但仍然存在。所以我有年代的函数。好了,我要做一个例子。所以要找到是一个集成的拉普拉斯变换。和你不会惊讶,良好的功能我们知道的,我们可以做集成和发现变换,和做一个漂亮的转换表。
我们知道第一个函数是指数。所以我可以找到——这个函数,我将计算它的变换。所以我必须做什么?我要从0到无穷积分,你可能会说0到无穷大是困难的,但它实际上是最好的——我的函数,这是e。这就是我的函数乘以e -圣dt。
好的。我可以做这个积分,因为这些结合到e -圣我可以把这些放在一起到e -圣积分得到e -圣除以- s,积分。因为我在这里。整合指数,我只是除以指数。和我刚刚替代t =无穷大和t等于0。所以t等于无穷大,从0到无穷大。好的。
∞是不错的。这是简单的。我只看的比a的年代比意味着这个指数下降为0。它在t = 0无穷。所以在t =无穷大,积分上限的结束了一个0。所以我只需要减去下限。看看多好。现在我把在t = 0。好吧,那就变成了1。
这是一个下限,所以它有一个负号。所以它只是1 /,s - a的负号将翻转。世界上最重要的拉普拉斯变换。记住,这个函数是在的。变换是一个函数的原函数。依靠t和参数。结果取决于年代和一个参数。
和一个工程师会说,这里我们有指数。增长率是一个,在变换——这是变换,记住。f (x)。这是变换的变换,我看到炸毁——一个杆,称为极——s = 1/0。是一个极点。
我不惊讶。所以答案是爆炸年代平等。嗯,当然。如果s =一个,这是(1)从0到正无穷积分,它是无限的。所以我不惊讶地看到北极。炸毁的出现完全在指数。但这是一个不错的变换。好的。
我需要做一个,哦,不。我可能已经解决了方程。让我先从方程dy dt - ay等于0。哦,好吧,我可以把0 = 0的拉普拉斯变换,足够安全。y y是资本的拉普拉斯变换的变换?哦,我要为你做一个变换。
我希望改变的导数,dy dt,连接到y的变换。变换这家伙是从0到正无穷积分的功能,不管它是什么,* e -圣dt。这是变换。这拉普拉斯变换。
现在我能做些什么积分呢?这是一个步骤,回到微积分的开始。但是很容易忘记。当你看到一个导数在积分,你认为,我可以整合的部分。我可以把这个词和求导这一项。这是什么分部积分法。它的导数远离移动到,没有问题的。
你记住,一个负号进来当我这样做呢?所以我从0到正无穷积分,现在的导数是脱落,这是y (t)和导数上,这就是圣dt - se的-。好。然后你还记得在分部积分,还有另一个术语来自y乘以e -圣?这是你们的-圣在0和无穷。好的。
我用分部积分。一个非常有用的,强大的东西,而不仅仅是技巧。好的。现在,我可以认识一些这方面的吗?-(-,没有问题。我拿出——s是一个常数。带出来,s。现在,我已经离开,当我拿出那个年代?我有你们的-圣dt的积分。这就是y的拉普拉斯变换。这正是资本y。
把这里的等号。我会让0小一点,把它弄出来。好的。sY的年代,这一项有一个很好的形式。当你把一个函数的导数,用拉普拉斯变换的年代。这就是规则。函数的求导,拉普拉斯变换乘以年代。如果我们有两个衍生品,我们将乘年代两次。一件容易的事。
这就是为什么拉普拉斯变换工作。但是现在,这是最后一个学期。y在无穷远处,和e - st t等于无穷大,0。算了吧。所以我只需要减去y在0 * e -圣0,也就是1。e 0 = 1。所以你看到初始条件进入转换?这就像,很好。
我们现在有y的变换,这一切都是转换。这是我们发现的变换dy dt。现在,为什么我想要的吗?因为我计划在我的每一项的变换方程。
就像有两个步骤,使用拉普拉斯变换。一个是计算一些这样的转换,和一些这样的规则。这是准备一步。来自只看这些积分。
然后使用它们,我要把每一项的拉普拉斯变换。所以我有一个方程。我把每一项的拉普拉斯变换。我有另一个方程。所以这是sY的拉普拉斯变换的s - y为0。这是这一部分的拉普拉斯变换。
现在的拉普拉斯变换- a, x的一个常数,Y。, 0 = 0的拉普拉斯变换。你知道我们所做的吗?我已经拍了一个微分方程和我产生了一个代数方程。拉普拉斯变换的点,将微分方程——衍生品变成乘法,代数。
所有条款变成那个。现在是——这是很大的第一步。把每一项。得到一个为每个年代代数问题。我们已经改变了从t,在微分方程,拉普拉斯变换的年代。
现在解决这个问题。那我要怎么解决呢?我要把y(0)到右边。然后我有Y s s - a。所以我将除以s - a, Y s的给了我。这是很容易做的。代数问题很容易解决。微分方程更严重。
好的。代数问题是很容易的。我们完成了吗?得到了答案,但是我们在s变量s域。现在我必须回去,所以这将是一个逆变换。逆变换。给我回y (t =什么?
我要做反变换如何?所以现在我有变换的答案,和我想要的答案。我必须反变换和s和t。嗯,y(0)是一个常数。拉普拉斯变换是线性的,没有问题。所以有y为0。现在我有1 / s - a。
我问自己,什么是函数的变换是1 / s - a ?然后这个函数,我想放在那里。什么是函数的变换是1 / s - a ?这是我们做的。这里的这一个。1 / s - e的来自函数。
1 / s - a,当我将回来,是e。我是金色的。你认识,当然,作为正确答案,正确的解微分方程。初始值y(0)与指数e的起飞。没有问题。好的。
我可以做一个一阶方程的例子吗?现在我要把它放在一个f (t。我要把源项。我会做同样的东西,但我要有一个f (t)和我需要,我会再带一个指数,e的ct。这就是我的右边。
我可以做同样的想法,中心思想?把我的微分方程,将每一项。我开始一次方程和我要得到一个方程。所以,dy dt - ay,转换,转换到什么?s的sY - y为0。来自那里。- aY 0, -是的。- aY年代。
右边,我有e ct的变换。我们擅长于此变换。1 / s - c,而不是在c。好的。这是我们的方程变换。现在代数。我只是把Y (s。我要怎么把方程Y的年代吗?
好吧,我将y(0)到另一边。我要除以s - a。看看。Y (s -好的。我有1 / s - c。我有一个s - a,除以。S - a。然后我y (0) / (S - a。
我改变了一个s方程的微分方程。我刚刚做了简单的代数方程来解决。我有两个条件。两届。你看到这个词吗?这就是我之前。这是我刚刚在那里。这是反变换。没有问题。空出来的解决方案的初始值。
新学期的来自e ct,来自力量,是这一个。我必须做它的逆矩阵变换。我必须找出函数变换。你可能会说,这是全新的。但我们可以将它连接到一个我们知道的。
好的。这样会给我同样的逆变换,日益增长的指数。但是这个给什么呢?这是一个关键问题。我们所能做的——转化,找出函数变换吗?函数将涉及a和c、t。年代,改变变量,将成为t的时期。
这是最大的问题。我做什么?注意,它有两个极点。它吹在年代平等,炸毁s = c。我必须弄清楚,实际上,祝你好运,我想单独的两极。因为如果我单独的两极,我知道如何处理一个炸毁s = s = c和炸毁。
问题是,现在我都吹起。所以我要独立。这就叫做部分分式。所以我必须说更多关于部分分式。现在,让我来做。那表情,我将带走这个家伙。因为它让我们知道这个词。
这是这一个。是一个。这两极的事情,我想单独的两极。这是代数。部分分式是代数。没有微积分。在这里没有衍生品。我只是想把它写成1 / s - c。事实证明,看。有一种方式记住答案。
s - c * c - a和1 / s - a - c。现在。你看到只有一个极s = c ?这只是一个数字。这一杆在s =。这只是一个数字。事实上,这些数字是相反的。
现在,我们是金色的吗?我可以用一只极逆变换。现在给我的解决方案y——这是一个常数,1 / c - a。逆变换的是什么?简单的钢管在c。它来自一个纯指数,e的ct。对吧?
现在这个家伙,这一个。好的。好吧,这是- c, c - a的对立面。如果我把一个负号,我能把它们全c -。看看这个。看看这个。C - a是在这两种。这是一个加号。变换来自这个函数。这是一个负号。所以我想要一个减号。
和变换函数给了我什么?e的,对吧?这是我们知道的。难忘的变换的一个简单的指数,e。这是特解。所以拉普拉斯变换,我们改变了微分方程。我们得到了一个代数方程。我们解决代数方程,然后我们不得不回到找到这个变换函数所y。
并清楚地看到,我们不得不使用这部分分式的想法分离这些两极到一个极点,当s c,和另一个杆,当s。我们有两个简单的分数。简单的分数都给了我一个指数。最后的结果是这个。我不知道你是否记得。正确的解决方案的一阶常系数线性方程,简单的方程,当右侧e ct。
那么我们最终的解决方案是零解的初始值。函数来自右侧,来自于力量,e的ct。这就是拉普拉斯变换是如何工作的。把每一项的拉普拉斯变换。解出y (s)和尽力反变换。好的。更多的进入下节课在拉普拉斯变换。谢谢你！
