B型スプラインと平滑化スプライン- MATLAB和Simu万博1manbetxlink MathWorks日本

B型スプラ▪▪ンと平滑化スプラ▪▪ン

このルボックスで，節点<年代p一个nclass="inlineequation">t<年代ub>j,……t<年代ub>j + kをもbスプランの定義は次で与えられます。

$B_{j ， k} （ x ）＝ B （ x | t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ）＝（ t_{j + k} - t_{j} ）［ t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ］ {（ x - \cdot ）}_{+}^{k - 1} ．$

これはbスプラ▪▪▪▪ンのいく▪▪▪▪かの妥当な正規化の1▪▪▪▪にすぎません。次となるように選択されています。

$\sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x ）＝ 1 ， t_{k} \leq x \leq t_{n + 1} ．$

ただし，bスプラaaplンの上記の公式を理解しようとする代わりに，guibspliguiのリファレンスページでBスプラインの基本プロパティを確認し,GUIを使用してこの興味深い関数を直接経験します。このルボックスの目的の最も重要な特性は，その名前に文字bが入っている理由でもあります。

与えられた次数の(一変量)区分的多項式の各空間が<年代p一个nclass="emphasis">B<年代p一个nclass="emphasis">スプラ▪▪ンで構成された基底(基础)をも▪▪(Bスプラ▪▪ンの"B"▪の由来)。"

Bスプラescンのプロパティ

B<年代ub>j, kは区間(t<年代ub>jt . .<年代ub>j₊_k)でのみ非ゼロになるため,内挿または最小二乗近似,あるいは微分方程式の近似解によって決定されるスプラインのBスプライン係数に対する線形システムは,<年代p一个nclass="emphasis">"帯状"となり，その線形システムを特に簡単に解くことができます。たとえば，i=1，…， nに対してs(x<年代ub>我) = y<年代ub>我となるように，節点シ，ケンス<年代ub>1≤t<年代ub>2≤···≤t<年代ub>n₊_kを使用して次数kのスプラaaplンsを作成するには，次のように線形システムを使用します。

$\begin{matrix} \sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x_{我} ） {一个}_{j} ＝ y_{我} & 我＝ 1 ： n \end{matrix}$

e .これは不明なB .スプラe .ン係数<年代ub>jを表し，各方程式に最大のk非ゼロエントリがあります。

また，スプラaapl .ンに関する多くの理論事項は，bスプラaapl .ンで最も簡単に記述または実証されます。たとえば，すべてのjに対して<年代p一个nclass="inlineequation">B<年代ub>j, k(x<年代ub>j)≠0である場合に限り(勋伯格-惠特尼条件)，節点シ，ケンス<年代p一个nclass="inlineequation">(t<年代ub>1,……t<年代ub>n + k）を使用して次数kのスプラ▪▪▪ンで一意にサ▪▪▪▪ト<年代p一个nclass="inlineequation"> $x_{1} < \dots < x_{n}$ の任意のデ，タと一致させることができます。Bスプラ▪▪▪ンでの計算には、安定した<年代p一个nclass="emphasis">"再帰関係"を使用すると便利です。<年代trong class="emphasis bold">

$B_{j ， k} （ x ）＝ \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j ， k - 1} （ x ） + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1 ， k - 1} （ x ）$

これは，B型からpp型への変換にも役立ます。<年代trong class="emphasis bold">この双対関数を示します。

${一个}_{j} （年代）：＝ \sum_{我 < k} {（ - D ）}^{k - 我 - 1} Ψ_{j} （ τ ） D^{我} 年代（ τ ）$

は，t<年代ub>jとt<年代ub>j + kとの間の任意のサesc escトτにおいて<年代p一个nclass="inlineequation">ψ<年代ub>j(t): = (t<年代ub>j + 1- t)···(t<年代ub>j + k - 1- t) / (k - 1) !の場合の値および微分について,スプライン年代のj番目のBスプライン係数で役に立つ式を示します。これは，a<年代ub>j(s)が区間[t .<年代ub>jt . .<年代ub>j + k]において年代と密接に関係していることを示し,pp型からb型への変換の最も効率のよい方法と考えられます。

変分アプロチと平滑化スプラン

上記の<年代p一个nclass="emphasis">"構造的"アプロチの他にもスプランを得る方法はあります。<年代p一个nclass="emphasis">"変分"アプロチでは，スプランが<年代p一个nclass="emphasis">“最適な内挿”,たとえば特定のサイトにおける,一致するすべての指定関数値の中で最も小さいm次導関数をもつ関数として得られます。結局,それらの使用可能な多くのスプラインの中で,区分的多項式または(おそらく)区分的指数のスプラインのみが多く使用されます。実際特に関心が高いのは，<年代trong class="emphasis bold">“平滑化スプラ电子邮箱ン”S = S<年代ub>pです.この場合，x∊[a.]b］、すべての i および対応する正の重み w<年代ub>我を使用する特定のデタ(x<年代ub>我y<年代ub>我)および特定の<年代trong class="emphasis bold">“平滑化パラメ，タ，”Pに対して，最小化を行います。

$p \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - f （ x_{我} ） |}^{2} + （ 1 - p ） \int_{一个}^{b} {| D^{米} f （ t ） |}^{2} d t$

上記はm階微分を持すべての関数fに対して行われます。これで,平滑化スプラインは,すべてのデータサイトにブレークを持つ次数2 mのスプラインであることがわかります。平滑化パラメ，タ，pが適切に選択され，以下の<年代p一个nclass="emphasis">"誤差測定"を

$E （年代）＝ \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - 年代（ x_{我} ） |}^{2}$

小さくし，以下の<年代p一个nclass="emphasis">“粗さ測定”を

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

小さくするという要求間の適切なバランスが保たれます。必要なのはsのデータに含まれる情報をできる限り多くし,推定されるノイズをできる限り少なくすることです。このためのアプロ，チの1<一个href="//www.tianjin-qmedu.com/jp/help/curvefit/spaps.html">spapsで使用される)は，E(f)を指定された許容誤差よりも大きくしないという条件に従って，f (D<年代up>米F)をできる限り小さくすることです。計算上、spapsは(等価の)平滑化パラメタ<年代p一个nclass="inlineequation">ρ= p / (1 - p)を使用します。まり，<年代p一个nclass="inlineequation">ρE(f) + f (D<年代up>米f)を最小化します。これは柔軟性の高い粗さ測定を使用する場合にも役に立ます。

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} λ （ t ） {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

ここでは，λに適切な正の重み関数を使用します。

B型スプラ▪▪ンと平滑化スプラ▪▪ン

Bスプラescンのプロパティ

変分アプロチと平滑化スプラン

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