多変量と有理スプライン

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多変量スプライン

多変量スプラインは、テンソル積の構成により一変量から取得することができます。たとえば、B型の 3.変数スプラインは、次によって与えられます。

$F (x, Y, Z) = \sum_{U = 1.}^{U} \sum_{v = 1.}^{v} \sum_{W = 1.}^{W} B_{U, K} (x) B_{v, L} (Y) B_{W, M} (Z) {A.}_{U, v, W}$

B_U，KB_{v、 l}B_{w、 m}は一変量 Bスプラインです。それに応じて、このスプラインは xで次数 k、 yで次数 l、 zで次数 Mとなります。同様に、聚丙烯型のテンソル積スプラインは、それぞれの変数および (それにより指定された各超四角形の) 係数配列のブレークシーケンスによって指定されます。さらに、一変量の場合と同様に、係数はベクトル (通常は 2.ベクトルまたは 3.ベクトル) となり、ℜ^3.での特定の曲面などの表示を可能にします。

大きく異なる二変量スプラインは、"薄板スプライン" です。これは、次の形式の関数です。

$F (x) = \sum_{J = 1.}^{N - 3.} Ψ (x - C_{J}) {A.}_{J} + x (1.) {A.}_{N - 2.} + x (2.) {A.}_{N - 1.} + {A.}_{N}$

ψ（x）=|x|^2.对数| x|^2.は薄板スプライン基底関数で、|x|はベクトル xのユークリッド長を示します。ここでは、便宜上、xによって独立変数を示していますが、xは現在"ベクトル" で x（1）と x（2）の 2.つの成分をもち、前出の xと Yの 2.つの独立変数の役割を果たします。それに応じて、サイト C_Jは ℜ^2.内の点です。

薄板スプラインは、二変量"平滑化スプライン" として発生します。つまり、薄板スプラインは、

$P \sum_{我 = 1.}^{N - 3.} | Y_{我} - F C_{我}^{2.} | + (1. - P) \int ({| D_{1.} D_{1.} F |}^{2.} + 2. {| D_{1.} D_{2.} F |}^{2.} + {| D_{2.} D_{2.} F |}^{2.})$

すべての十分に平滑化された関数 Fにおいて上記を最小化します。ここで、Y_我はデータサイト C_我で与えられたデータ値、Pは平滑化パラメーター、およびD_JFは x（j）に関する Fの偏導関数を示しています。ℜ^2.全体に対して積分が計算されます。和の上限 n–3は、薄板スプラインの自由度 3.が多項式の部分に関連付けられているという事実を反映しています。

薄板スプラインは圣型の関数です。つまり、最大で特定の多項式の項数までの、1.つの固定関数 Ψ の任意または分散翻译型の ψ（·-c）の重み付き和となります。いわゆる薄板スプラインの基底関数、放射対称性がある点で特殊です。つまり、ψ（x）は xのユークリッド長 |x|のみに依存しています。そのため、薄板スプラインは径向基函数(放射基底関数) とも呼ばれています。詳細は、圣型スプラインの作成と操作を参照してください。

有理スプライン

"有理スプライン" は、形式r（x）=s（x）/w（x）の関数です。sと Wはどちらもスプラインで、特に Wはスカラー値スプラインですが、sは通常、ベクトル値です。

有理スプラインは、有理スプラインの範囲どおりに、円錐曲線などのさまざまな基本的な幾何学的形状を記述できるため、効果的です。たとえば、円は 2.つの区分をもつ 2.次有理スプラインで記述できます。

このツールボックスには、sと Wが同じ型で同じ次数であり、同じ節点またはブレークシーケンスをもっていなければならないという追加の要件があります。これによって、有理スプライン Rを、xの値がベクトル [s（x）；w（x）]の通常のスプライン Rとして保存できます。2.つのスプラインが B型か聚丙烯型かに応じて、ここではこのような有理スプラインの表現を铷型または反相型と呼んでいます。

Rは Rから容易に取得できます。たとえば、vが xでの Rの値である場合、v（1:end-1）/v（end）は xでの Rの値です。Rの微分に関して Rの微分を表す対応した方法があります。