条件均值模型的MMSE预测

什么是MMSE预测？

时间序列模型的共同目标是生成预测在未来一段时间地平线的过程。也就是说，给出一个观察系列ÿ₁，ÿ₂，...，ÿ_ñ并预测地平线H，生成预测 $ÿ_{ñ + 1} ， ÿ_{ñ + 2} ， ... ， ÿ_{ñ + H} 。$

让 ${\hat{ÿ}}_{Ť + 1}$ 表示预测为在时间过程中Ť+ 1，有条件的过程中达到时间的历史Ť，H_Ť和外源性协系列可达时间Ť+ 1，X_{Ť+ 1}，如果回归成分包括在模型中。最小均方误差（MMSE）的预测是预测 ${\hat{ÿ}}_{Ť + 1}$ 最小化预期平方损失，

$Ë {（ ÿ_{Ť + 1} - {\hat{ÿ}}_{Ť + 1} | H_{Ť} ， X_{Ť + 1} ）}^{2} 。$

最小化这个损失函数产生的MMSE预测，

${\hat{ÿ}}_{Ť + 1} = Ë （ ÿ_{Ť + 1} | H_{Ť} ， X_{Ť + 1} ）。$

怎么样`预测`产生MMSE预测

该预测的函数递归生成MMSE预测。您打电话的时候预测，你指定模型MDL，预测期numperiods和样品前体反应Y0。您可以选择指定的样品前创新'E0'，条件方差'V0'和外生数据'X0'通过使用名称 - 值对的参数。虽然预测不需要X0或预测样本外生数据XF，如果您指定X0那么你还必须指定XF。

要根据观测系列，年底开始预测说ÿ使用的最后几意见ÿ作为样品前回应Y0初始化预测。有几点要记住，当你指定样品前数据：

所需的初始化预测响应的最小数目存储在属性P的华宇模型。如果您提供过少的样品前观察，预测返回一个错误。
如果预测与MA部件的模型，然后预测需要样品前创新。需要创新的数量存储在属性Q的华宇模型。如果你也有一个条件方差模型，则还必须考虑任何样品前创新它要求。如果指定样品前体的创新，但还不够，预测返回一个错误。
如果不指定任何样品前体的创新，但指定足够的样品前回复（至少P+Q）和外源性协变量的数据（至少在样品前体应答减去的数P），然后预测自动推断样品前创新。在一般情况下，您所提供的时间越长，样品前响应系列，更好的推断样品前创新会。如果你提供样品前体反应和外生协变量数据，但还不够，预测套样品前创新等于零。
如果预测与回归部件的模型，然后预测需要在预测期间所有时间点的未来外生协变量数据（numperiods）。如果你提供未来的外生协变量数据，但还不够，那么预测返回一个错误。

考虑生成预测的AR（2）过程中，

$ÿ_{Ť} = C + φ_{1} ÿ_{Ť - 1} + φ_{2} ÿ_{Ť - 2} + ε_{Ť} 。$

鉴于样品前观察 $ÿ_{ñ - 1}$ 和 $ÿ_{ñ} ，$ 预报递归生成如下：

${\hat{ÿ}}_{ñ + 1} = C + φ_{1} ÿ_{ñ} + φ_{2} ÿ_{ñ - 1}$
${\hat{ÿ}}_{ñ + 2} = C + φ_{1} {\hat{ÿ}}_{ñ + 1} + φ_{2} ÿ_{ñ}$
${\hat{ÿ}}_{ñ + 3} = C + φ_{1} {\hat{ÿ}}_{ñ + 2} + φ_{2} {\hat{ÿ}}_{ñ + 1}$

$⋮$

对于静止的AR过程，这个递归收敛到过程的无条件均值，

$μ = \frac{C}{（ 1 - φ_{1} - φ_{2} ）} 。$

对于MA（2）过程中，例如，

$ÿ_{Ť} = μ + ε_{Ť} + θ_{1} ε_{Ť - 1} + θ_{2} ε_{Ť - 2} ，$

你需要2个样品前创新初始化的天气预报。所有的时间创新ñ+ 1和更大的被设置为它们的期望，为零。因此，对于MA（2）过程中，对于任何时间在未来超过2个步骤的预测是无条件均值，μ。

预测误差

预测均方根误差为小号- 工序提前预测由下式给出

$MSE = Ë {（ ÿ_{Ť + 小号} - {\hat{ÿ}}_{Ť + 小号} | H_{Ť + 小号 - 1} ， X_{Ť + 小号} ）}^{2} 。$

考虑给出的条件均值模型

$ÿ_{Ť} = μ + X_{Ť}^{“} β + ψ （大号） ε_{Ť} ，$

哪里 $ψ （大号） = 1 + ψ_{1} 大号 + ψ_{2} {大号}^{2} + ...$ 。综上所述滞后创新的差异来获得小号-step MSE，

$（ 1 + ψ_{1}^{2} + ψ_{2}^{2} + ... + ψ_{小号 - 1}^{2} ） σ_{ε}^{2} ，$

哪里 $σ_{ε}^{2}$ 表示创新方差。

对于平稳过程，无限滞后算多项式的系数是绝对可，并且MSE收敛于该过程的无条件方差。

对于非平稳过程，这一系列不收敛，并预测误差随时间增长。

也可以看看

华宇|预测