多変量時系列の予測

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この例では,被捕食者の群れのシナリオにおける捕食者個体群と被捕食者個体群から測定したデータについて,多変量時系列予測を実施する方法を説明します。捕食者個体群と被捕食者個体群の変化のダイナミクスを,線形および非線形の時系列モデルを使ってモデル化します。これらのモデルの予想のパフォ，マンスを比較します。

デ，タの説明

データは捕食者1,被捕食者1の個体群(千単位)で構成される二変量時系列で,20年間にわたり毎年10回ずつ収集されたものです。デタの詳細にいては，3の個体群生態系:時系列のmatlabとc mexファルモデリングを参照してください。

時系列デ，タを読み込みます。

负载PredPreyCrowdingDataZ = iddata(y，[]，0.1，“TimeUnit”，“年”，“Tstart”, 0);

zはiddataオブジェクトであり，それぞれが捕食者個体群と被捕食者個体群を参照する2の出力信号日元とy2を含みます。zのOutputDataプロパティには個体群デ，タが201行2列の行列として含まれ，z.OutputData (: 1)は捕食者個体群，z.OutputData (: 2)は被捕食者個体群となります。

デ，タをプロットします。

情节(z)标题(“捕食者-猎物种群数据”) ylabel (“人口(千)”）

图中包含2个轴对象。标题为y1的Axes对象1包含一个line类型的对象。这个对象表示z。标题为y2的Axes对象2包含一个line类型的对象。这个对象表示z。

デ，タには，過密によって捕食者の個体数が減少することが示されています。

その最初の半分を推定用デ，タとして使用して，系列モデルを同定します。

Ze = z(1:120);

残りのデ，タはモデル次数の検索と予想結果の検証に使用します。

Zv = z(121:结束);

線形モデルの推定

時系列を線形の自己回帰過程としてモデル化します。線形モデルを多項式形式または状態空間形式で作成するには，基于“增大化现实”技术(スカラ，時系列のみ)，arx、armax、n4sidおよび党卫军などのコマンドを使用します。線形モデルはデータのオフセットを捉えることができないので(非ゼロの条件付き平均),まずデータからトレンドを除去します。

[zed, Tze] =趋势(ze, 0);[zvd, Tzv] =趋势(zv, 0);

同定にはモデル次数の指定が必要です。多項式モデルの場合は，arxstrucコマンドを使用して，適切な次数を見けることができます。arxstrucは単出力モデルでのみ機能するため，モデル次数の検索は出力ごとに別々に実行します。

Na_list = (1:10)';V1 = arxstruc(zed(:，1，:)，zvd(:，1，:)，na_list);na1 = selstruc(V1,0);V2 = arxstruc(zed(:，2，:)，zvd(:，2，:)，na_list);na2 = selstruc(V2,0);

arxstrucコマンドは，それぞれ次数が7と8の自己回帰モデルを示しています。

これらのモデル次数を使用して，クロス項が任意に選択された多分散armaモデルを推定します。

Na = [na1 na1-1;na2-1钠);Nc = [na1;钠);sysARMA = armax(zed，[na nc])

sysARMA =离散ARMA模型:模型输出“日元”:一个(z) y_1 (t) = - ai (z) y_i (t) + C (z) e_1 (t) (z) = 1 - 0.885 z ^ 1 - 0.1493 z ^ 2 + 0.8089 z ^ 3 - 0.2661 z ^ 4 - 0.9487 z ^ 5 + 0.8719 z ^ 6 - 0.2896 z ^ 7 A₂(z) = 0.3433 z ^ 1 - 0.2802 z ^ 2 - 0.04949 z ^ 3 + 0.1018 z ^ 4 - 0.02683 z ^ 5 - 0.2416 z ^ 6 C (z) = 1 - 0.4534 z ^ 1 - 0.4127 z ^ 2 + 0.7874 z ^ 3 + 0.298 z ^ 4 - 0.8684 z z ^ 6 ^ 5 + 0.6106 + 0.3616 z ^ 7模型输出“y2”:(z) y_2 (t) = - ai (z) y_i (t) + C (z) e_2 (t) (z) = 1 - 0.5826 z ^ 1 - 0.4688 z ^ 2 - 0.5949 z ^ 3 - 0.0547 z ^ 4 + 0.5062 z ^ 5 + 0.4024 z ^ 6 - 0.01544 z ^ 7 - 0.1766 z ^ 8 A_1 (z) = 0.2386 z ^ 1 + 0.1564 z ^ 2 - 0.2249 z ^ 3 - 0.2638 z ^ 4 - 0.1019 z ^ 5 - 0.07821 z ^ 6 + 0.2982 z ^ 7 C (z) = 1 - 0.1717 z ^ 1 - 0.09877 z ^ 2 - 0.5289 z ^ 3 - 0.24 z ^ 4 + 0.06555 z ^ 5 + 0.2217 z ^ 6 - 0.05765 z ^ 7 - 0.1824 z ^ 8样时间:0.1年参数化:多项式订单:na=[7 6;7 8] nc=[7;8]自由系数数:43使用"polydata"， "getpvec"， "getcov"表示参数及其不确定度。状态:在时域数据“zed”上使用ARMAX估计。拟合估计数据:[89.85;90.97]%(预测焦点)FPE: 3.814e-05, MSE: 0.007533

10ステップ先(1年後)の予測出力を計算して,推定データの時間範囲にわたるモデルの検証を行います。推定のためにデータのトレンド除去を行ったので,意味のある予測を得るためにそれらのオフセットを指定する必要があります。

predOpt = predictOptions(“OutputOffset”Tze.OutputOffset ');yhat1 = predict(sysARMA,ze,10, predOpt);

预测コマンドは測定データの時間範囲にわたる応答を予測し,推定されたモデルの質を検証するためのツールになります。時間tでの応答は，t = 0，…、t-10 の時間での測定値を使って計算されます。

予測された応答と測定デ，タをプロットします。

情节(泽,yhat1)标题(“与测量数据相比，10步预测反应”）

$图中包含2个轴对象。标题为y1的axis对象1包含2个类型为line的对象。这些对象表示ze, ze\ _expected。标题为y2的Axes对象2包含2个类型为line的对象。这些对象表示ze, ze\ _expected。$

予測された応答の生成と，それを測定デ，タと併せたプロットは，比较コマンドを使用して自動化できます。

compareOpt = compareOptions(“OutputOffset”Tze.OutputOffset ');比较(泽sysARMA 10 compareOpt)

图中包含2个轴对象。坐标轴对象1包含2个line类型的对象。这些对象表示验证数据(y1)， sysARMA: 75.49%。坐标轴对象2包含2个line类型的对象。这些对象表示验证数据(y2)， sysARMA: 76.21%。

比较を使って生成したプロットには,パーセント形式で適合度を示す正規化された平方根平均二乗(NRMSE)の測定値も示されます。

デ，タを検証した後，推定デ，タの100ステップ(10年)先におけるモデルsysARMAの出力を予想し，出力の標準偏差を計算します。

forecastOpt = forecastOptions(“OutputOffset”Tze.OutputOffset ');[yf1,x01,sysf1,ysd1] = forecast(sysARMA, ze, 100, forecastOpt);

yf1は予想された応答をiddataオブジェクトとして返したものです。yf1。OutputDataには予想された値が含まれます。

sysf1はsysARMAと類似したシステムですが，状態空間形式です。sim卡コマンドを使用して初期条件x01でsysf1をシミュレ，トすることで，予想される応答yf1を再度生成します。

ysd1は標準偏差の行列です。これは，デ，タの加法性外乱の効果に起因する予想の不確かさ(sysARMA。NoiseVarianceで測定)、パラメ、タ、の不確かさ(getcov (sysARMA)で報告)、および過去のデ、タを予想に必要な初期条件にマッピングするプロセスに関連する不確かさ(data2stateを参照)を測定します。

モデルsysARMAの測定出力，予測出力，予想出力をプロットします。

t = yf1.SamplingInstants;te = ze.SamplingInstants;t0 = z.SamplingInstants;次要情节(1、2、1);情节(t0 z.y (: 1),.．.te, yhat1.y (: 1),.．.t, yf1.y (: 1),“米”，.．.t, yf1.y (: 1) + ysd1 (: 1),“k——”，.．.t, yf1.y (: 1) -ysd1 (: 1),“k——”)包含(的时间(年)）;ylabel (“食肉动物数量，以千计”）;次要情节(1、2、2);情节(t0 z.y (:, 2),.．.te, yhat1.y (:, 2),.．.t, yf1.y (:, 2),“米”，.．.t, yf1.y (:, 2) + ysd1 (:, 2),“k——”，.．.t, yf1.y (:, 2) -ysd1 (:, 2),“k——”）使数字变大。FIG = gcf;p = fig.位置;fig.Position = [p (1), (2) - p (4) * 0.2, p (3) * 1.4, p (4) * 1.2);包含(的时间(年)）;ylabel (“猎物数量，以千计”）;传奇({“测量”，“预测”，“预测”，“预测不确定性(1 sd)”}，.．.“位置”，“最佳”）

图中包含2个轴对象。Axes对象1包含5个line类型的对象。坐标轴对象2包含5个line类型的对象。这些对象代表测量的、预测的、预测的、预测的不确定性(1 sd)。

プロットでは,線形ARMAモデルを(オフセットの処理とともに)使用した予想がある程度機能し,12 ~ 20年の期間にわたる実際の個体数と比較した場合,その結果は不確かさが大きいことが示されています。これは，個体群変化のダ。

非線形ブラックボックスモデルの推定

この節では，モデルに非線形要素を追加することにより，前節のブラックボックス同定法を拡張します。これは，非線形arxモデリングフレ，ムワ，クを使用して実行されます。非線形ARXモデルは,次の2ステップのプロセスを使用して予測出力を計算するという点で,線形モデル(上記のsysARMAなど)と概念的に類似しています。

測定信号を有限次元リグレッサ，空間にマッピングします。
線形または非線形にできる静的関数を使用して，リグレッサ，を予測出力にマッピングします。

2021 - 03 - 30 - _14 29 - 33. png

非線形性は,リグレッサーセット(ステップ1)および/または静的マッピング関数(ステップ2)という2か所のいずれかで追加できます。この節では，これらのオプションの両方にいて考えます。最初に，リグレッサ，が線形型である非線形arxモデルを作成します。ここで，すべての非線形性はリグレッサー定義のみに制限され、リグレッサーを予測出力に変換する静的マッピング関数は線形 (厳密にいえばアフィン) です。次に、ガウス過程関数を静的マッピング関数として使用し、リグレッサーを線形に維持するモデルを作成します。

多項式arモデル

2 .の出力をも入力なしの，非線形arxモデルを作成します。

L =线性回归(ze.OutputName，{1,1});sysNLARX = idnlarx(ze。OutputName,泽。InputName, L， []);sysNLARX。Ts = 0.1;sysNLARX。TimeUnit =“年”；

sysNLARXは，非線形関数を使用しない1次の非線形arxモデルです。このモデルはその1次リグレッサ，の加重合計を使ってモデル応答を予測します。

getreg (sysNLARX)

ans =2 x1细胞{“y1 (t - 1)”}{}“y2 (t - 1)”

非線形関数を導入するには，多項式のリグレッサ，をモデルに追加します。

次数2のリグレッサを作成し，クロス項(上記の標準リグレッサの積)を含めます。これらのリグレッサ，をモデルに追加します。

P =多项式回归(zee . outputname，{1,1}，2,false,true);sysNLARX.Regressors(end+1) = P;getreg (sysNLARX)

ans =5 x1细胞{y1 (t - 1)的}{y2 (t - 1)的}{y1 (t - 1) ^ 2的}{y2 (t - 1) ^ 2的}{“y1 (t - 1) * y2 (t - 1)}

推定デ，タ泽を使用してモデルの係数(リグレッサ，の重みとオフセット)を推定します。

sysNLARX = nlarx(ze,sysNLARX)

sysNLARX = 2个输出的非线性多元时间序列模型输出:y1, y2回归:1。变量y1 y2中的线性回归函数。2阶回归变量y1, y2输出函数:输出1:线性带偏移输出2:线性带偏移采样时间:0.1年状态:终止条件:近(局部)最小值，(范数(g) < tol)..迭代次数:0，函数求值次数:1使用NLARX对时域数据“ze”进行估计。拟合估计数据:[88.34;88.91]%(预测焦点)FPE: 3.265e-05, MSE: 0.01048更多信息在模型的“报告”属性。

10ステップ先の予測出力を計算してモデルを検証します。

yhat2 = predict(sysNLARX,ze,10);

推定デタの100ステップ先におけるモデルの出力を予想します。

yf2 = forecast(sysNLARX,ze,100);

非線形arxモデルでは，予想される応答の標準偏差が計算されません。このデータが提供されないのは,これらのモデルの推定時にパラメーター共分散の情報が計算されないためです。

測定出力，予測出力，予想出力をそれぞれプロットします。

t = yf2.SamplingInstants;次要情节(1、2、1);情节(t0 z.y (: 1),.．.te, yhat2.y (: 1),.．.t, yf2.y (: 1),“米”)包含(的时间(年)）;ylabel (“捕食者数量(数千)”）;标题(《ARX模型的多项式回归预测结果》)次要情节(1、2、2);情节(t0 z.y (:, 2),.．.te, yhat2.y (:, 2),.．.t, yf2.y (:, 2),“米”)传说(“测量”，“预测”，“预测”)包含(的时间(年)）;ylabel (“猎物数量(数千)”）;

图中包含2个轴对象。轴对象1，标题为“ARX模型的预测结果与多项式回归”，包含3个类型线对象。坐标轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象代表测量的、预测的、预测的。

プロットには,非線形ARXモデルを使用した予想によって,線形モデルを使用した場合よりも良好な予想結果が得られることが示されています。非線形のブラックボックスモデリングでは，デ，タを扱う方程式に関する事前情報が不要でした。

リグレッサーの数を減らすために,统计和机器学习工具箱™の主成分分析(主成分分析を参照)または特徴選択(sequentialfsを参照)を使用して，最適な(変換された)変数のサブセットを選択できる点に注意してください。

ガウス過程モデルの推定

モデルsysNLARXは線形マッピング関数を使用します。非線形性はリグレッサ，のみに含まれます。より柔軟性のある方法には,ガウス過程関数(GP)などの自明でないマッピング関数の選択が含まれます。線形リグレッサーのみを使用し,リグレッサーを出力にマッピングするガウス過程関数を追加する非線形ARXモデルを作成します。

复制sysNLARX，这样我们就不必再次创建模型结构sysGP = sysNLARX;移除多项式回归集sysGP.Regressors(2) = [];将线性映射函数替换为GP函数。默认情况下，GP使用平方指数核。GP = idGaussianProcess;sysGP。OutputFcn = GP;disp (sysGP)

带属性的2x0 idnlarx数组:Regressors: [1x1 linearRegressor] OutputFcn: [2x1 idGaussianProcess] RegressorUsage: [2x4 table]归一化:[1x1 struct] TimeVariable: 't' NoiseVariance: [2x2 double] InputName: {0x1 cell} InputUnit: {0x1 cell} InputGroup: [1x1 struct] OutputName: {2x1 cell} OutputUnit: {2x1 cell} OutputGroup: [1x1 struct]备注:[0x1 string] UserData:[]名称:" Ts: 0.1000 TimeUnit: 'years'报告:[1x1 idresults.nlarxhw]

これでテンプレートモデルsysGPは,線形リグレッサーおよびGPマッピング関数に基づきました。このパラメタは，二乗指数カネルの2の係数です。nlarxを使用して，これらのパラメ，タ，を推定します。

sysGP = nlarx(ze, sysGP)

sysGP = 2个输出的非线性多元时间序列模型输出:y1, y2回归函数:变量y1, y2中的线性回归函数输出函数:输出1:使用SquaredExponential核的高斯过程函数输出2:使用SquaredExponential核的高斯过程函数采样时间:0.1年状态:在时域数据“ze”上使用NLARX估计。拟合估计数据:[88.07;88.84]%(预测焦点)FPE: 3.369e-05, MSE: 0.01083更多信息在模型的“报告”属性。

getpvec (sysGP)

ans =10×1-0.6671 0.0196 -0.0000 -0.0571 -3.6447 -0.0221 -0.5752 0.0000 0.1725 -3.1068

前と同様に，予測された応答および予想される応答を計算して，結果をプロットします。

10ステップ先の予測出力を計算してモデルを検証します。

yhat3 = predict(sysGP,ze,10);

推定デタの100ステップ先におけるモデルの出力を予想します。

yf3 = forecast(sysGP,ze,100);

測定出力，予測出力，予想出力をそれぞれプロットします。

t = yf2 . samplinginstants;次要情节(1、2、1);情节(t0 z.y (: 1),.．.te, yhat3.y (: 1),.．.t, yf3.y (: 1),“米”)包含(的时间(年)）;ylabel (“捕食者数量(数千)”）;标题(《高斯过程模型的预测结果》)次要情节(1、2、2);情节(t0 z.y (:, 2),.．.te, yhat3.y (:, 2),.．.t, yf3.y (:, 2),“米”)传说(“测量”，“预测”，“预测”)包含(的时间(年)）;ylabel (“猎物数量(数千)”）;

图中包含2个轴对象。标题为“高斯过程模型预测结果”的坐标轴对象1包含3个类型为line的对象。坐标轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象代表测量的、预测的、预测的。

結果は，線形モデル全体で精度が向上したことを示しています。Gpに基づくモデルを使用する利点は，ウェ，ブレットネットワ，ク(idWaveletNetwork)またはシグモ:ドネットワ:ク(idSigmoidNetwork)などの他の形式と異なり，パラメ，タ，をほとんど使用しないことです。これにより，パラメ，タ，推定において，低い不確かさで学習が容易になります。

非線形グレ，ボックスモデルの推定

システムダイナミクスについての事前情報がある場合,非線形グレーボックスモデルを使用して推定データをあてはめることができます。ダイナミクスの性質に関する情報は,一般的に,モデルの品質と予想の正確性を改善するのに役立つことがあります。捕食者と被捕食者のダesc escナミクスの場合，捕食者(日元)および被捕食者(y2)の個体群における変化を次のように表すことができます。

${y_{}^{˙}}_{1} （ t ）＝ p_{1} ＊ y_{1} （ t ） + p_{2} ＊ y_{2} （ t ）＊ y_{1} （ t ）$

${y_{}^{˙}}_{2} （ t ）＝ p_{3.} ＊ y_{2} （ t ） - p_{4} ＊ y_{1} （ t ）＊ y_{2} （ t ） - p_{5} ＊ y_{2} （ t ）^{2}$

方程式の詳細にいては，3の個体群生態系:時系列のmatlabとc mexファルモデリングを参照してください。

これらの方程式に基づいて非線形グレ，ボックスモデルを作成します。

捕食系のモデル構造を記述するファ@ @ルを指定します。このファイルは状態微分およびモデル出力を,時間,状態,入力およびモデルパラメーターの関数として指定します。ダイナミクスの非線形状態空間記述を導出するため,状態として2つの出力(捕食者個体群と被捕食者個体群)が選択されます。

文件名=“predprey2_m”；

モデルの次数(出力数，入力数および状態数)を指定します。

Order = [2 0 2];

$p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、 $p_{3.}$ 、 $p_{4}$ 、 $p_{5}$ の各パラメ，タ，の初期値を指定し，すべてのパラメ，タ，が推定されるように指示します。ブラックボックスモデルsysARMAおよびsysNLARXの推定時には，パラメ，タ，の初期推定値は指定の必要がなかった点に注意してください。

参数= struct(“名字”, {“生存因素，捕食者”“死亡因素，掠食者”.．.“生存因素，猎物”“死亡因素，猎物”.．.“拥挤因素，猎物”}，.．.“单位”, {1 /年的1 /年的1 /年的1 /年的1 /年的}，.．.“价值”，{-1.1 0.9 1.1 0.9 0.2}，.．.“最低”，{-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf}，.．.“最大”，{Inf Inf Inf Inf Inf Inf}，.．.“固定”，{假假假假假});

同様に，モデルの初期状態を指定して，両方の初期状態が推定されるように指示します。

InitialStates = struct(“名字”, {捕食者种群的“猎物人口”}，.．.“单位”, {的大小(千)的大小(千)}，.．.“价值”{1.8 - 1.8},.．.“最低”， {0 0}，.．.“最大”{正正无穷},.．.“固定”,{假假});

モデルを連続時間システムとして指定します。

Ts = 0;

指定された構造，パラメタおよび状態をも非線形グレボックスモデルを作成します。

sysGrey = idnlgrey(文件名，顺序，参数，初始化状态，Ts，“TimeUnit”，“年”）;

モデルのパラメ，タ，を推定します。

sysGrey = nlgreyest(ze,sysGrey);礼物(sysGrey)

sysGreyGrey = ' preprey2_m '定义的连续时间非线性灰盒模型(MATLAB文件):dx/dt = F(t, x(t)， p1，…， p5) y(t) = H(t, x(t)， p1，…，p5）+e(t) with 0 input(s), 2 state(s), 2 output(s), and 5 free parameter(s) (out of 5). States: Initial value x(1) Predator population(t) [Size (thou..] xinit@exp1 2.01325 (estimated) in [0, Inf] x(2) Prey population(t) [Size (thou..] xinit@exp1 1.99687 (estimated) in [0, Inf] Outputs: y(1) y1(t) y(2) y2(t) Parameters: Value Standard Deviation p1 Survival factor, predators [1/year] -0.995895 0.0125269 (estimated) in [-Inf, Inf] p2 Death factor, predators [1/year] 1.00441 0.0129368 (estimated) in [-Inf, Inf] p3 Survival factor, preys [1/year] 1.01234 0.0135413 (estimated) in [-Inf, Inf] p4 Death factor, preys [1/year] 1.01909 0.0121026 (estimated) in [-Inf, Inf] p5 Crowding factor, preys [1/year] 0.103244 0.0039285 (estimated) in [-Inf, Inf] Status: Termination condition: Change in cost was less than the specified tolerance.. Number of iterations: 6, Number of function evaluations: 7 Estimated using Solver: ode45; Search: lsqnonlin on time domain data "ze". Fit to estimation data: [91.21;92.07]% FPE: 8.613e-06, MSE: 0.005713 More information in model's "Report" property. Model Properties

10ステップ先の予測出力を計算してモデルを検証します。

yhat4 = predict(sysGrey,ze,10);

推定デ，タの100ステップ先におけるモデルの出力を予想して，出力の標準偏差を計算します。

[yf4,x04,sysf4,ysd4] = forecast(sysGrey,ze,100);

測定出力，予測出力，予想出力をそれぞれプロットします。

t = yf4.SamplingInstants;次要情节(1、2、1);情节(t0 z.y (: 1),.．.te, yhat4.y (: 1),.．.t, yf4.y (: 1),“米”，.．.t, yf4.y (: 1) + ysd4 (: 1),“k——”，.．.t, yf4.y (: 1) -ysd4 (: 1),“k——”)包含(的时间(年)）;ylabel (“捕食者数量(数千)”）;标题(《灰盒模型的预测结果》)次要情节(1、2、2);情节(t0 z.y (:, 2),.．.te, yhat4.y (:, 2),.．.t, yf4.y (:, 2),“米”，.．.t, yf4.y (:, 2) + ysd4 (:, 2),“k——”，.．.t, yf4.y (:, 2) -ysd4 (:, 2),“k——”)传说(“测量”，“预测”，“预测”，“预测不确定性(1 sd)”)包含(的时间(年)）;ylabel (“猎物数量(数千)”）;

图中包含2个轴对象。标题为“灰盒模型预测结果”的坐标轴对象1包含5个类型为line的对象。坐标轴对象2包含5个line类型的对象。这些对象表示测量的、预测的、预测的、预测的不确定性(1 sd)。

プロットでは,非線形グレーボックスモデルを使用した予想から良好な結果が得られ,予想出力の不確かさが低いことが示されています。

予想のパフォ，マンスの比較

同定されたモデルsysARMA、sysNLARXおよびsysGreyから取得した，予想される応答を比較します。最初の2は離散時間モデルで，sysGreyは連続時間モデルです。

CLF plot(z,yf1,yf2,yf3,yf4)图例({“测量”，“ARMA”，“多项式AR”，“全科医生”，“方框”})标题(“预测反应”) xlim([7 23])

图中包含2个轴对象。标题为y1的Axes对象1包含5个类型为line的对象。这些对象代表了Measured, ARMA, Polynomial AR, GP, Grey-Box。标题为y2的Axes对象2包含5个类型为line的对象。这些对象代表了Measured, ARMA, Polynomial AR, GP, Grey-Box。

非線形arxモデルを使った予想では，線形モデルでの予想よりも良好な結果が得られます。非線形グレーボックスモデルにダイナミクスに関する情報を含めることで,モデルの信頼性はさらに改善され,予想の正確性は高まります。

グレーボックスモデリングで使われる方程式は,非線形ARXモデルで使われる多項式リグレッサーと密接に関連している点に注意してください。基礎方程式内の導関数を1次差分で近似すると，以下に類似した方程式が得られます。

$y_{1} （ t ）＝ {年代}_{1} ＊ y_{1} （ t - 1 ） + {年代}_{2} ＊ y_{1} （ t - 1 ）＊ y_{2} （ t - 1 ）$

$y_{2} （ t ）＝ {年代}_{3.} ＊ y_{2} （ t - 1 ） - {年代}_{4} ＊ y_{1} （ t - 1 ）＊ y_{2} （ t - 1 ） - {年代}_{5} ＊ y_{2} （ t - 1 ）^{2}$

ここで， ${年代}_{1} ，．．．， {年代}_{5}$ は元のパラメタ $p_{1} ，．．．， p_{5}$ および差分に使われるサンプル時間に関連するいくかのパラメタです。これらの方程式は,非線形ARXモデルの作成に際して,最初の出力に必要なリグレッサーはy1 (t - 1)と* y1 (t - 1) * y2 (t - 1)の2つだけであり,2番目の出力に必要なのは3つであることを示唆しています。このような事前情報がない場合でも,多項式リグレッサーを使用しリグレッサーが線形であるモデル構造が,実際上よく使用される選択肢であることに変わりはありません。

非線形グレボックスモデルを使用して200年間にわたる値を予想します。

[yf5，~，~，ysd5] = forecast(sysGrey, ze, 2000);

1 sdの不確かさを示す，デ，タの後半部分をプロットします。

t = yf5.SamplingInstants;N = 700:2000;次要情节(1、2、1);情节(t (N) yf5.y (N, 1),“米”，.．.t (N), yf5.y (N - 1) + ysd5 (N, 1),“k——”，.．.t (N), yf5.y (N, 1) -ysd5 (N, 1),“k——”)包含(的时间(年)）;ylabel (“捕食者数量(数千)”）;标题(“200年后的人口预测”) ax = gca;斧子。YLim = [0.8 1];斧子。XLim = [82 212];次要情节(1、2、2);情节(t (N) yf5.y (N, 2),“米”，.．.t (N), yf5.y (N, 2) + ysd5 (N, 2),“k——”，.．.t (N), yf5.y (N, 2) -ysd5 (N, 2),“k——”)传说(人口预测的，“预测不确定性(1 sd)”)包含(的时间(年)）;ylabel (“猎物数量(数千)”）;Ax = gca;斧子。YLim = [0.9 1.1];斧子。XLim = [82 212];

图中包含2个轴对象。轴对象1的标题为“200年后的预测人口”，包含3个类型线对象。坐标轴对象2包含3个line类型的对象。这些对象代表预测总体，预测不确定性(1 sd)。

プロットには,捕食者数が約890で定常状態に達し,被捕食者数は990に達するという予想が示されています。

多変量時系列の予測

デ，タの説明

線形モデルの推定

非線形ブラックボックスモデルの推定

多項式arモデル

ガウス過程モデルの推定

非線形グレ，ボックスモデルの推定

予想のパフォ，マンスの比較

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