好的。这里有一个或多或少很有趣的例子。因为你会看到我试着去做。你可以做得更好。我称这个问题为滚动块。只有在这个例子中,在我的演示中,它将是一本翻滚的书。
我要拿一本书,圣书,把它扔到空中。我会把它扔三种不同的方式。问题是,旋转的书是否稳定?让我告诉你们三种方法然后给出欧拉给出的三个方程。
因此,那些是三个方程。你看到他们不是线性的。而这些都是对角动量。因此,有方程有点落后了物理学。但对我们来说,这些都是三个方程。
因此,第一掷将会旋转很短的轴,这本书只是厚度,也许一英寸。所以,当我折腾的是,我现在会做,你会看到,如果我能折腾它不是太紧张,我希望。这came--它是稳定的。这本书回来我不晃动。
当然,我的神经会给它一点点摆动,而摆动将继续。这将是唯一的折中稳定。摆动不会消失。不过,这并不长成一个翻滚。好的。所以这是一个轴,短轴。
那我就也把它周围的长轴,翻转这样的。我认为,这将是稳定了。然后,最后,在中间轴,中间是长度轴。请注意,是抱着书堂橡皮筋。抱着这样的页面不开。而这一点,我们会看到,我想,将是不稳定的。
类似地,扔一个足球,扔其他飞盘,不管你扔什么。任何三维物体都有这三个轴:一个短轴,一个中轴和一个长轴。方程会告诉我们,长轴和短轴都会有一个稳定的转动。中间的轴是不稳定的。
我们如何确定微分方程的不动点,一个不动点,是一个临界点,一个稳态,我们必须找到这个稳态,然后对每个稳态进行线性化。我们求出稳态下的导数。这就得到了稳态下的一个常数矩阵。然后特征值就确定了。
因此,首先,找到关键点。其次,找到关键点的衍生物。三,衍生品是矩阵,求特征值和特征决定的稳定性。这是步骤的顺序。好的。第一次我们做过一个三乘三矩阵。也许是最后一次。好的。
在我开始之前,在我找到临界点之前,注意一些很好的性质。如果我把这个方程乘以x,这个乘以y,这个乘以z,然后相加,这些加起来等于0。当这里有一个x,一个y,一个z,我得到1 - 2和1它们加起来等于0。所以x乘以dx / dt。y乘以dy / dt。z乘以dz乘以dt等于0。
这是一个重要的事实。这告诉我,衍生的东西为0的东西将是一个常数。所以我在这里看到的是整个业务的衍生物将是导数大概一半。X的平方,因为X平方的导数将是具有一半。该衍生物是x DX DT。和y的平方和z的平方是微分为0,即直线的衍生物只是这一行。这是0,所以这是一个常数。
毫无疑问,这可能告诉我们总能量,动能,是恒定的。我把那本书扔到空中后,就再也不碰它了。它在做自己的事。它不会改变能量因为它什么都没发生。它就在那里。这是一个很好的例子。这是一个常数。
现在有另一种方式。如果我乘这一个2倍,我乘这一个Y,并添加只是这两个,抵消。所以2X DX dt-- 2X倍的第一one--和y倍的第二个给出了0。同样,我看到的东西是不变的。某物的衍生物,和的东西为x平方加上1/2ý平方是一个常数。另外一个不错的事实。多数民众赞成保守的另一个量。
当我在空间中飞行时,这个量(x²+ 1/ 2y²)不会改变。这有点——这涉及到所有的xyz。当然,这就是球面的方程。所以在能量空间中,或者在xyz空间中,我们的解在一个球面上徘徊。这是一个椭圆的方程。在球面上有一个椭圆它实际上在这个椭圆上。
而事实上,还有另外一个椭圆形,因为我已经乘这一个2Z而这一次由y和添加。然后将这些会取消。零下2 XYZ加2xyz。所以这也告诉我,这将是可能ž平方加上1/2Ÿ平方等于一个常数。这又是一个椭圆形。ž平方加上1/2ÿ平方。你看到了吗?如果我参加了衍生的是,我有2Z倍DZ DT加y次DY DT。添加给予0的导数为0的东西是一个常数。
但!但是,但是,但是!如果我从这个减去这一项,拿这两者的区别。假设我借此一减这一个。1/2Ÿ方会去。这样就告诉我说,X平方Z轴负的平方是一个常数。好家伙!我还没有解决我的三个方程。但是,我发现了一大堆有关解决方案。该解决方案停留在球上,某种程度上左右徘徊。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
教授,谁能比我做得更好呢,他在1803年的伟大演讲,微分方程,就是这个。整整一个小时来告诉你关于那个翻滚的盒子的一切。所以我要做演示,写下主要事实,理解稳定性,讨论稳定性。我准备继续讨论稳定性。
这是我的三个方程。我们得到了三个方程,所以我们得到了一个3×3矩阵。首先我要找出临界点,这个运动的稳态。我怎么能把它扔出去呢?如果我把它扔得很好,它会保持原样吗?答案是,绕轴旋转。
如果我折腾这个完美的,没有神经,它只会旋正是因为我把它扔。在x,y和z都将是不变的。现在,当我折腾它在该轴上。我期待for--这里是我的右手边。YZ,减去2XZ和XY。而我写的那些大写字母,因为这些都将是我的稳定状态。现在我所寻找的是什么地方的发生点。
如果方程的这三个右手边是0,我不会动。XYZ将留在原地。所以你可以看到这三个方程的解?万博 尤文图斯那么,他们是非常特别的方程式。我得到一个解决方案时,例如,解决方案可能是1,0,0 /万博 尤文图斯
如果三个中的两个,如果y和z等于0。y = 0, z = 0, y和z = 0,得到0。所以这是一个稳定的状态。x = 1 y和z = 0和0。这个稳态是绕一个轴旋转的。实际上,我也可以有- 1。我已经找到了,y和z为0的两个稳态。然后还有两个x和z0。这可以是——它会绕着中轴旋转。然后0 0 1或- 1,它会绕着第三个轴旋转,也就是长轴。
因此,这些都是我的稳定状态。我猜,想起来了,0,0,0也将是一个稳定的状态。我想我找到了他们。这些是XY的。这些都是X,Y,Z稳定状态。好的。
所以,现在,一旦你知道的稳定状态,这通常是乐趣,因为它是在这里。现在略显不足乐趣步骤是找到所有的衍生物,发现该衍生雅可比矩阵。所以,我有三个方程。三个未知数,XYZ。三个右手边。我必须find--我将有一个三乘三矩阵衍生物。这个雅可比矩阵。所以J表示雅可比,一阶导数的矩阵。
那么,进入一阶导数的矩阵?让我写雅可比。据雅各比的名字命名。这是一阶导数的矩阵。在顶行是第一函数的相对于x的衍生物。那么,相对于x的衍生物是0的衍生物相对于与y为z。相对于z中的衍生物为y。那些是偏导数。他们告诉我多少钱第一未知的X移动。他们告诉我这是用在临界点无论它是第一个未知的X发生。
好的。第二个方程的偏导数呢?它的偏导数就在这一行。所以x有- 2z。y的导数是0。z的导数是- 2x。第三个,z的导数是0。y在x中的导数,x的导数是y,我已经找到了带有9个偏一阶导数的3×3矩阵。好的。
它是矩阵的特征值在这个地方,决定稳定。所以我写下来。在关键点的J特征值X,Y,Z这正是我需要的。这就是决定的稳定性。
我们取第一个临界点。矩阵是什么?我要算出这一点的矩阵是什么?我只取1,0,0。1,0,0。如果x = 1,我得到,这是x = 1的点。y和z等于0。如果x = 1,那么这就是- 2和1。我认为其他的都是0。
所以它将是那个矩阵的特征值决定那个不动点的稳定性。记住,这是绕窄轴的投掷。这是绕短轴的投掷。好的。
那么矩阵的特征值呢?嗯,我可以看到这里实际上是3×3。但实际上,所有这些0,它的特征值是0。所以这里的特征值是0。然后我将从矩阵的一部分得到特征值,也就是2×2矩阵。这里是= 0。这里有两个特征值。
我看着它,我看到了什么?这是一个2乘2的问题。我看到trace是0。0 + 0。我的特征值是一个正对和一个负对因为它们加到0。它们相乘得到行列式。这个矩阵的行列式是2。这个矩阵的行列式是2。好的。
所以它的行列式是正的。这有利于稳定。但trace仅为0。它不是很负面。这不是积极的。它在0处。所以这是中性稳定的情况。特征值将会是——从这里我将会有一个0特征值。这个2×2矩阵的特征值会是——会有根2乘以i a减去根2乘以i,我想这些就是特征值。
我看到的是它们都是虚构的。这是一个纯振荡。抖动一直在抖动。不会变得更糟。不会消失。这是中性的稳定性。所以中性稳定是我们希望再次看到的。是的。我想,如果我在长轴上翻转。好。 Did you see that brilliant throw? It's neutral stability. It came back without doing anything too bad.
我终于有机会做到这一点,我们都强烈地等待着,中间轴的轴。而中轴线是书时开始翻滚,这将是我是否能赶上与否的问题。我可以试一下?然后,我可以find--什么我期待在中性轴?我期待不稳定。我认为,实际上这将是一个鞍点。但是,将是一个积极的特征值。
将会有一个积极的特征值。它是负责翻滚,野生翻滚,你会看到的。而且它与这个双曲线奇迹是远from--所以它是这一个,现在我做的点保持联系。这家伙是曲风我把一个盒子around--它周围的双框。这是不稳定的一个,我快要来证明。
准备?好的。哎呦。好的。花了两只手抓住它。让我再试试。问题的关键是它开始翻滚,并且它会在各个方向。这就像一个足球,一个实在太差抛出足球。这就像一个足球被抛出去的是端到端的。整个飞行打破了,球是一个烂摊子。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
在这一点上我将以特征值结束。那么这一点的特征值,我能擦掉我的矩阵吗?所以这是一个中性稳定的,稳定语言的中心。这是一个中心,你可以绕着它转一圈又一圈。但现在我要让x和z等于0 y等于1。我可以擦掉这个矩阵,然后
如果x和z是0,y是1,所以这里是1。上面是1。而不是其它。其它的都是0。好的。这就是我的3×3矩阵。它的特征值是什么?这个3×3矩阵的特征值是什么?
这是——这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点,对应于中间轴。好的。我又看到了一些0。我将把它化简成那个2×2矩阵和这个矩阵。实际上,我在xz中有一个2×2的矩阵,这个在y中,这个呢?
你能从这个矩阵中看出我们在看什么。有了这个矩阵,我可以告诉你特征值。我们可以看到trace是0。特征值加到0。它们乘以行列式。行列式是- 1。所以这里的特征值是1和- 1。然后这个给0。
这个特征值是不稳定的。1的特征值是不稳定的。好的。所以数学显示了实验的结果:一个不稳定的旋转围绕着中间的轴打转。谢谢你!
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