定义资产的范围

的dowPortfolio.xlsx数据集包括30个资产和一个基准。该数据集中的七个资产构成了本例中的投资领域。无风险利率被假设为零。

T =可读的(“dowPortfolio.xlsx”）;

定义资产范围并从价格数据中提取资产收益。

assetNames = [“AA”，“美国国际集团”，“京东商城”，“微软”，“BA”，“通用电气”，“IBM”];benchmarkName =“收”；头(T (:,“日期”benchmarkName assetNames]))

ans =8×9表日期大ji AA AIG WMT MSFT BA GE IBM ___________ __________ __________ __________ __________ 03- january 2006 10847 28.72 68.41 44.9 26.19 68.63 33.6 80.13 04- january 2006 10880 28.89 68.51 44.99 26.32 69.34 33.56 80.03 05- january 2006 10882 29.12 68.6 44.38 26.34 68.53 33.47 80.56 06- january 2006 10959 29.02 68.89 44.56 26.26 67.57 33.7 82.96 09- january 2006 11012 29.37 68.57 44.4 26.21 67.01 33.61 81.76 10- january 2006 11012 28.44 69.18 44.54 26.35 67.33 33.43 82.1 11- january 2006 11043 28.05 69.6 45.23 26.63 68.333.66 82.19 12- january 2006 10962 27.68 69.04 44.43 26.48 67.9 33.25 81.61

retnsT = tick2ret(T(:， 2:end));asstretns = retnsT(:， assetNames);benchRetn = retnsT(:，“收”）;numAssets = size(assetRetns, 2);

明确市场观点

这些观点代表了投资分析师对未来市场变化的主观看法，表示为 $\mathit{问}＝\mathit{P}＊\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$,在那里v是总视图数。有关更多信息，请参阅附录部分假设及观点．与v视图和k资产, $\mathit{P}$是一个v——- - - - - -k矩阵, $\mathit{问}$是一个v-by-1向量，和 $\Omega$是一个v——- - - - - -v对角矩阵(表示视图中的独立不确定性)。的结构和视图之间并不一定需要相互独立 $\Omega$可选择解释投资分析师观点中的不确定性[4］．越小 ${\omega }_{\mathit{我}}$在 $\Omega$的分布方差越小我观点越强烈，投资者的观点就越确定我视图。这个例子假设有三个独立的视图。

V = 3;%合计3个视图P = 0 (v, numAssets);Q = 0 (v, 1);= 0 (v);%视图1P (1, assetNames = =“美国国际集团”) = 1;Q (1) = 0.05;(1,1) = 1e-3;%视图2P (2, assetNames = =“京东商城”) = 1;Q (2) = 0.03;(2,2) = 1e-3;%视图3P (3 assetNames = =“微软”) = 1;P (3 assetNames = =“IBM”) = -1;Q (3) = 0.05;Omega(3,3) = 1e-5;

将这三个视图可视化为表格形式。

viewTable = array2table([P q diag(Omega)]，“VariableNames”, (assetNames“View_Return”“View_Uncertainty”])

viewTable =3×9表AA AIG WMT MSFT BA GE IBM View_Return View_Uncertainty ________________ ______________ ________________ 00 00 00 0.05 0.001 00 00 00 0.03 0.001 00 01 00 00 -1 0.05 1e-05

因为从dowPortfolio.xlsx数据集为日收益，视图为年收益，您必须将视图转换为日收益。

Bizyear2bizday = 1/252;Q = Q *bizyear2bizday;Omega = Omega*bizyear2bizday;

根据历史资产收益估计协方差

$\Sigma$是历史资产收益的协方差。

Sigma = cov(assetRetns.Variables);

定义不确定性C

Black-Litterman模型假设 $\mathit{C}$与协方差成正比 $\Sigma$．因此, $\mathit{C}＝\tau \Sigma$,在那里 $\tau$是一个小常数。一个更小的 $\tau$表明对的先验信念有较高的置信度 $\mu$．He和Litterman的工作使用0.025的值。其他作者建议使用1/n在哪里n是用于生成协方差矩阵的数据点数[3.］．本例使用1/n．

tau = 1/size(assetRetns. t)变量,1);C = tau*Sigma;

市场隐含均衡收益

在没有任何观点的情况下，均衡收益可能等于持有均衡投资组合的隐含收益。在实践中，适用的均衡投资组合持有可以是投资分析师在缺乏市场其他观点的情况下使用的任何最优投资组合，如投资组合基准、指数，甚至是当前的投资组合[2］．在本例中，您使用线性回归来查找跟踪大疆基准回报率的市场投资组合。然后，你使用市场投资组合作为均衡投资组合，均衡收益隐含于市场投资组合。的findMarketPortfolioAndImpliedReturn函数，定义在本地函数，实现均衡收益。该函数将历史资产收益和基准收益作为市场投资组合和相应隐含收益的输入和输出。

[wtsMarket, PI] = findMarketPortfolioAndImpliedReturn(assetRetns。变量,benchRetn.Variables);

计算估计的平均收益和协方差

使用 $\mathit{P}，\mathit{问}，\Omega ，\pi ，$而且 $\mathit{C}$使用Black-Litterman模型计算混合资产回报和方差。

你可以计算 $\stackrel{-}{\mu }$而且 $\mathrm{浸}（\mu ）$直接使用这个矩阵运算:

$\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{浸}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$

mu_bl = (P ' *(ω\ P) +发票(C)) \ (C \ PI + P”*(ω\问));cov_mu = inv(P'*(Omega\P) + inv(C));

比较Black-Litterman模型的混合预期收益与预期收益的先验信念 $\pi$，你会发现Black-Litterman模型的预期收益确实是先验信念和投资者观点的混合体。例如，如下表所示，先验信念假设MSFT和IBM的收益相似，但在混合预期收益中，MSFT的收益比IBM高出4%以上。这种差异是由于强加的强烈观点，即微软的表现比IBM高出5%。

table(assetNames'， PI*252, mu_bl*252，“VariableNames”, (“Asset_Name”，.．.“Prior_Belief_of_Expected_Return”，“Black_Litterman_Blended_Expected_Return”])

ans =7×3表Asset_Name Prior_Belief_of_Expected_Return Black_Litterman_Blended_Expected_Return  __________ _______________________________ _______________________________________ " AA“0.19143 - 0.19012”美国国际集团(AIG)“0.14432 - 0.13303”京东商城“0.15754 - 0.1408”微软“0.14071 - 0.17557”英航“0.21108 - 0.2017”通用电气IBM“0.13323 - 0.12525 0.14816 - 0.12877

投资组合优化和结果

的投资组合对象在金融工具箱™实现马科维茨平均方差投资组合优化框架。使用一个投资组合对象，你可以找到在给定的风险或回报水平下的有效投资组合，你也可以最大化夏普比率。

使用estimateMaxSharpeRatio与投资组合目的是为下列投资组合找出夏普比率最高的配置:

端口=组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”，“均值-方差”）;port = setAssetMoments(port, mean(assetRetns.Variables)， Sigma);wts = estimateMaxSharpeRatio(端口);portBL =组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”，“与黑垃圾人的平均方差”）;portBL = setAssetMoments(portBL, mu_bl, Sigma + cov_mu);wtsBL = estimateMaxSharpeRatio(portBL);Ax1 = subplot(1,2,1);Idx = wts>0.001;饼(ax1, wts(idx)， assetNames(idx));标题(ax₁,端口。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);Ax2 = subplot(1,2,2);idx_BL = wtsBL>0.001;饼(ax2, wtsBL(idx_BL)， assetNames(idx_BL));标题(ax2 portBL。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);

table(assetNames'， wts, wtsBL，“VariableNames”, (“AssetName”，“Mean_Variance”，.．.“Mean_Variance_with_Black_Litterman”])

ans =7×3表AssetName Mean_Variance Mean_Variance_with_Black_Litterman  _________ _____________ __________________________________ " AA“1.1823 e-16 0.1115”美国国际集团(AIG)“1.2052 e-17 0.23314”京东商城“4.6763 e-18 0.098048”微软0.059393 - 0.15824“BA”0.32068 - 0.10748“通用电气”1.576 e15汽油0.1772“IBM”0.61993 - 0.11439

当你在均值-方差优化中使用来自Black-Litterman模型的混合资产回报和协方差的值时，最优配置直接反映了投资分析师的观点。如饼图所示，Black-Litterman模型的分配更加多样化。此外，Black-Litterman模型中资产的权重与投资分析师的观点一致。例如，当您将Black-Litterman结果与普通的均值-方差优化结果进行比较时，您可以看到Black-Litterman结果对MSFT的投资大于对IBM的投资。这是因为这位投资分析师强烈认为，微软的表现将超过IBM。

本地函数

函数[wtsMarket, PI] = findMarketPortfolioAndImpliedReturn(assetRetn, benchRetn)找出跟踪基准的市场投资组合及其相应的隐含预期收益。。

隐含收益通过逆向优化计算。无风险利率被假设为零。投资组合优化的一般公式由马科维茨优化问题给出: $$\underset{\omega }{\mathrm{参数}\mathrm{马克斯}}{\omega }^T\mu -\frac{\delta }{2}{\omega }^T\Sigma \omega$$．在这里 $$\omega$$是一个N-资产权重的元素向量， $$\mu$$是一个N-预期资产收益的元素向量， $$\Sigma$$是N——- - - - - -N资产收益的协方差矩阵，和 $$\delta$$为正的风险规避参数。鉴于 $\delta$，在没有约束条件的情况下，此问题的封闭形式解为 $$\omega ＝\frac{1}{\delta }{\Sigma }^{-1}\mu$$．因此，对于市场投资组合，隐含的预期收益为 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$．

要计算隐含预期收益，你需要 $$\Sigma ，{\omega }_{米kt}，\delta$$．

1)找到 $$\Sigma$$．

$$\Sigma$$是根据历史资产回报率计算的。

Sigma = cov(assetRetn);

2)找到市场组合。

寻找市场组合，逆大指数回归。施加的约束是完全投资的，只有长: $$\underset{我＝1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_{我}＝1，0\le {\omega }_{我}，\forall 我\in ｛1，．．．，n｝$$

numAssets = size(asset tretn,2);LB = 0 (1,numAssets);Aeq = ones(1,numAssets);Beq = 1;Opts = optimoptions(“lsqlin”，“算法”，“内点”，“显示”，“关闭”）;wtsMarket = lsqlin(assetRetn, benchRetn， []， []， Aeq, Beq, LB， []， []， opts);

3)找到 $$\delta$$．

两边乘以 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$与 $${\omega }_{米kt}^T$$输出 $$\delta ＝\frac{\mathrm{年代}h\mathrm{一个}rpeR\mathrm{一个}t我o}{{\sigma }_{米}}$$．在这里，假设基准是最大化夏普比率，相应的值作为市场夏普比率。或者，您可以将年化夏普比率校准为0.5，这将导致shpr= 0.5 /√6(252) (1］． $${\sigma }_{米}$$是市场组合的标准差。

shpr = mean(benchRetn)/std(benchRetn);delta = shpr/√(wtsMarket'*Sigma*wtsMarket);

4)计算隐含预期收益。

假设市场投资组合最大化夏普比率，隐含收益，不受约束的影响，直接计算为 $$\pi ＝\delta \Sigma \omega$$．

PI = delta*Sigma*wtsMarket;结束

附录:贝叶斯框架下的Black-Litterman模型

假设及观点

假设投资宇宙是由k资产和资产回报向量 $\mathit{r}$被建模为一个随机变量，遵循多元正态分布 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$． $\Sigma$是历史资产收益的协方差。未知的模型参数是预期收益 $\mu$．Black-Litterman模型从贝叶斯统计的角度进行估计 $\mu$通过结合投资分析师的观点(或“对未来的观察”)和一些先前的知识 $\mu$．

另外，假设先验知识是 $\mu$是正态分布随机变量吗 $\mu ～\mathit{N}（\pi ，\mathit{C}）$［1、2］．在没有任何观点(观测)的情况下，先验平均值 $\pi$可能是均衡收益，从均衡投资组合中得到。在实践中，适用的均衡投资组合持有不一定是均衡投资组合，而是投资分析师在缺乏对市场的其他观点(如投资组合基准、指数甚至当前投资组合)时使用的目标最优投资组合。 $\mathit{C}$表示先验中的不确定性，Black-Litterman模型假设的结构为 $\mathit{C}$是 $\tau \Sigma$． $\tau$是一个小常数，许多作者使用不同的值。详细讨论 $\tau$可在[3.］．

进行统计推断，观察是必要的 $\mu$．在Black-Litterman模型中，观察结果是在投资组合层面上表达的对未来资产回报的看法。一个观点是一个投资组合的预期回报组成的宇宙k资产。通常情况下，投资组合的收益具有不确定性，因此添加一个误差项来捕捉偏离。假设总共有v的观点。对于视图 $\mathit{我}$， ${\mathit{p}}_{\mathit{我}}$行向量的维数是x吗k, ${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$是标量[2］．

${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$＝ ${\rm E}［{\mathit{p}}_{\mathit{我}}＊\mathit{r}|\mu ］+{\epsilon }_{\mathit{我}}，\mathit{我}＝1，2，．．．，\mathit{v}$

你可以把v垂直视图，以及 $\Omega$是所有不确定性的协方差。假设不确定性是独立的。

$\mathit{问}＝{\rm E}［\mathit{P}＊\mathit{r}|\mu ］+\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

请注意, $\Omega$不一定是对角矩阵。投资分析师可以选择的结构 $\Omega$为解释他们对意见的不确定性[4］．

在前面的假设下 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，因此，

$\mathit{问}＝\mathit{P}＊\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

Black-Litterman模型的贝叶斯定义

根据贝叶斯统计可知: $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}＊\mathrm{之前}$．

在Black-Litterman模型的背景下， $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能性}＊\mathrm{之前}$表示为 $\mathit{f}（\mu |\mathit{问}）$ $\propto$ $\mathit{f}（\mathit{问}|\mu ）$＊ $\mathit{f}（\mu ），$其中每个贝叶斯项定义如下[2]：

如前所述，的后验分布 $\mu$也是正态分布。通过完成平方，你可以推导后验均值和协方差为 $\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{浸}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$．

最后结合贝叶斯的后验分布 $\mu$以及资产收益模型 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，则得到资产收益率的后验预测为 $\mathit{r}～\mathit{N}（\stackrel{-}{\mu }，\Sigma +\mathrm{浸}（\mu ））$．

参考文献