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模式搜索的非线性约束求解算法

模式搜索算法采用增广拉格朗日模式搜索(ALPS)算法来解决非线性约束问题。该算法求解的优化问题为

最小值 x f （ x ）

这样

c 我 （ x ） ≤ 0 ， 我 = 1 … 米 c e 问 我 （ x ） = 0 ， 我 = 米 + 1 … 米 t 一个 ⋅ x ≤ b 一个 e 问 ⋅ x = b e 问 l b ≤ x ≤ u b ，

在哪里c（x)为非线性不等式约束，量表信（x)表示等式约束，米是非线性不等式的数量约束，和太是非线性约束的总数。

ALPS算法试图解决具有非线性约束、线性约束和边界的非线性优化问题。在这种方法中，边界和线性约束与非线性约束分开处理。利用拉格朗日参数和惩罚参数，将目标函数和非线性约束函数结合起来，形成子问题。这样的优化问题的序列近似最小化使用模式搜索算法，以满足线性约束和边界。

每个子问题的解决方案代表一次迭代。因此，使用非线性约束时，每次迭代的函数计算次数要比使用其他约束时高得多。

子问题的提法定义为

Θ （ x ， λ ， 年代 ， ρ ） = f （ x ） − ∑ 我 = 1 米 λ 我 年代 我 日志 （ 年代 我 − c 我 （ x ） ） + ∑ 我 = 米 + 1 米 t λ 我 c e 问 我 （ x ） + ρ 2 ∑ 我 = 米 + 1 米 t c e 问 我 （ x ） 2 ，

在哪里

  • 的组件λ我向量的λ是非负的，被称为拉格朗日乘数估计

  • 的元素年代我向量的年代非负移位

  • ρ是正的惩罚参数。

该算法首先使用惩罚参数的初始值(InitialPenalty）.

模式搜索最小化子问题序列，每个子问题都是原始问题的近似值。每个子问题都有一个固定的值λ，年代,ρ。当子问题被最小化到所需的精度并满足可行性条件时，拉格朗日估计被更新。否则，惩罚参数将增加一个惩罚因子(PenaltyFactor）.这导致了一个新的子问题的公式和最小化问题。重复这些步骤，直到满足停止条件。

每个子问题的解决方案代表一次迭代。因此，使用非线性约束时，每次迭代的函数计算次数要比使用其他约束时高得多。

关于该算法的完整描述，请参见以下参考文献:

参考文献

[1]科尔达，塔玛拉G.，罗伯特迈克尔刘易斯，和弗吉尼亚托尔松。一种结合一般约束和线性约束的发电机组直接搜索增广拉格朗日优化算法。技术报告SAND2006-5315，桑迪亚国家实验室，2006年8月。

[2]康恩，n·i·m·古尔德，l·托因特博士。具有一般约束和简单边界的全局收敛增广拉格朗日优化算法数值分析杂志，第28卷第2期，第545-572页，1991年。

[3]康恩，n·i·m·古尔德，l·托因特博士。“具有一般不等式约束和简单边界的全局收敛增广拉格朗日势垒优化算法”计算数学，第66卷，第217期，261-288页，1997年。

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