从系列:微分方程和线性代数
Gilbert Strang,麻省理工学院(MIT)
振荡输入COS(ωŤ)产生具有相同频率ω(以及相移的振荡输出)。
好。因此,这是一个一阶微分方程的下一个步骤。我们take--而不是指数的,现在我们有一个振荡。指数,上节课,增长或衰退,现在我们有一个振荡。我们有交流,交流在这个问题上,而不是真正的指数,我们有振荡,振动,所有涉及圆周运动,应用去了一圈又一圈,而不是去成倍关闭。
好。因此,这里的点。再次声明,我在寻找一个特定的解决方案。具体solution--这将是很好,如果我们能说的具体解决方案只是余弦的某一倍数。但是,这是行不通的。这样就使得这个问题比指数很难一步到位。
我们要考虑到在那里的迹象。因为,如果我找一个余弦,如果我想只有这部分,我可以匹配。我有次余弦,这将是余弦值。但余弦的衍生物是正弦函数。所以迹象会在那里得到,我们必须让他们到溶液中。
好。所以这是假设是正确的。实际上会有,你会看到,三种不同的方式来写这个问题的答案的问题。这是第一个排序最直接的,而不是从长远来看是最好的。
好。简单的一个,我要去那代入公式,发现M和N这就是我的工作。找到这些数字。所以它放入方程。
在左侧我想衍生物,这样我们就可以很好omega--衍生余弦为负欧米茄米正弦欧米茄吨。的衍生物带出该因子的ω。余弦的衍生物是正弦。
现在的这种衍生物带出的omega--欧米加Ñ余弦欧米加吨的一个因素。这应该等于一个时间y--有Y,所以我只是用乘法A-- A M余弦欧米茄T和A N正弦欧米茄吨。这就是AY部分。现在我有源项正的余弦欧米茄吨。而这必须是所有的时间正确的。
现在我需要方程。我该怎么办?我在找两个东西,m和N,我在找两个方程。
所以我匹配余弦项。我匹配这个项,余弦项,和源项。所以它们都乘以余弦ωt,所以我想要ωn-,我把这个带到另一边-,减去a m加上ωn等于-,这里只有一个余弦-,等于1。减去M加上ωN等于1。
现在我将匹配正弦项。所以在正弦项中,我有一个负ωM,正弦ωt。我必须把这个带到另一边,这就是负a,N,正弦ωt。在源中没有正弦ωt。
这是我的两个方程式。这是我对M和N的两个方程,所以我只需要解这两个方程,就得到了我要寻找的特殊解。
所以,这是两个方程,两个未知数。这是线性代数的基本问题。我倾向于写下我事先准备好的答案。结果是负的ω平方加上的平方。结果证明N有相同的ω平方加上,在它上面是ω。
例如,如果你检查这个方程,ω乘以M,就会得到带负号的ω。然后a乘以N也会有一个ω。同样的欧米茄平方加上一个平方,他们取消给0。并对该方程进行了求解。
所以还有一个更重要的问题解决了。好吧,我们找到了具体的解决办法。我还没有补充——我还没有达到最初的条件。
现在,在很多很多情况下,它是很关心这个特殊的解决方案。这这里 - 让我把一个盒子在我们solution--,我们取代了微分公式所示。我们发现M.我们发现N.我们已经有了这个特殊的解决方案。
这就是,保持持续的振荡。如果我们在听收音机或者如果我们的交流,这就是我们看到的,空的解决方案。这与没有源项未来的事情。
通常一个是负的,并且消失。这就是所谓的瞬态项。所以,空的解决办法是有一个AE到在一如既往。但我不这么感兴趣,由于它消失。一分钟后,你不听。这是妳...这是你的耳朵听到的解决方案。
好。因此,我们已经得到了答案的一种形式。现在,这是一个相当不错的形式,但它并不完美。我看不到exactly--这可以在一个非常好的方式来简化。所以,当我们用正弦和余弦的工作,这是这一步是很重要的。
我相信的T同样的YP可以用不同的方式是什么also--另一种形式写成,一different--以及我应该说,另一种形式为T的相同的Y。另一种形式将是T的相同的Y。你明白我不喜欢的是有一个余弦和正弦,因为这些都是淘汰,他们正在其组合成的东西,我想了解他们组合成。而且它是非常好的。他们组合成一个单一的余弦,但不只是欧米茄T,有一个滞后,相移。所涉及的角度通常被称为相位。
于是两人,正弦和余弦,结合给一些幅度的相移,也许我会叫它G,增益。或者经常将它称为资本[R只是for--因为it's--的排序,你现在看到的是极坐标。所以我想匹配这个,它有G和alpha--极坐标是真的想这样做的正确方法。G和α,幅度和角度。我想匹配与形式我已经有了。
所以我会用一个小三角这里要记住,这等于中场休息我有一个G.你还记得上一个减B的余弦公式?一个差的余弦值是欧米茄的T余弦,阿尔法的余弦,plus--这是一个加号这里,因为它是一个负那里 - 正弦欧米茄牛逼正弦阿尔法。所以,我刚才写了这一点,在两任的形式,而我做了,这样我可以匹配两个长期的形式我已经有了。
所以我可以做匹配吗?余弦ωt,M必须是G余弦α。它们必须是G正弦α。
所以我现在有两个方程。在M和N,我还记得那些是什么。我想通了这些。
但现在我想将M×N个形式转化的G字母的形式,这是我必须做的。而且这与极坐标平常的事情。我怎样才能get--我怎么发现G是什么在那里,阿尔法是什么?诀窍is--的一个基本恒等式,当你看到余弦和sines--是要记住,余弦的平方加上正弦平方为1。我要使用,必须使用它。
所以,我会广场两侧。我会为M的平方,然后我会添加。所以,我会为M的平方加N的平方为G平方余弦平方阿尔法。ģ平方乘以余弦平方alpha--当我平方该one--和正弦平方阿尔法当我正方形,一个。再次,关键是这一个。所以,这只是摹平方。
所以,我该怎么学?G是这样的平方根。G是平方根的M个平方加N的平方。我总是自由的插件在M和N,我发现。
好吧——啊,阿尔法呢?这就是角度。所以我必须——再说一遍,我在想特里格。我怎么才能拿到阿尔法?我想把G从这个公式中去掉,把注意力集中在alpha上。以前我把阿尔法弄出来,然后拿到G。
现在的方式做的是采取比例。如果我利用这一给该比例,除以一个由另一个时,G公司将取消。所以,我要的,要的比率以获得摹正弦阿尔法被g余弦阿尔法分是那么N在M.而G公司取消,因为我想要的。
所以,现在我有阿尔法的方程。或者更确切地说,我对阿尔法的切线方程。正弦超过余弦为α的正切是N比M.
所以,这就是所谓的曲风,你可以把它叫做正弦身份。那是什么字正弦曲线?正弦曲线为正弦和余弦,正弦和相同的ω吨的余弦的任何混合物的任何混合物的词。
所以正弦身份说,我可以重写该解决方案在该溶液中。我真的看到了整个事情的关键数字是增益幅度。这是如果我们调整无线电台的音量来通过。所以,再次,这是这是响应不断向前,因为余弦振荡,直到永远。将有也由初始条件未来,我们希望消亡的东西。
所以,我在起步时,有三种形式这个问题的答案余弦输入的提到了,我已经给你们两个。我给你的M和N的形式。你可能会说矩形coordinates--余弦和正弦。我给你极坐标的形式,这是一个增益,幅度和相位。而第三个涉及到复杂的数字。我不得不做出这样一个单独的演讲,也许甚至是两个。
如此复杂的数字,他们在哪里进来的?这是一个完全真实的方程。如果我想这一切,我已经做了,这一切都是完全真实的,但有一个链接 - 关于复数的关键事实,欧拉公式大会给我随e之间余弦欧米茄吨和正弦欧米茄吨连接的I OMEGA吨。因此,在引入的价格是复数,虚数I或J电气工程师,我们又回到了指数。我们又回到了指数。所以这会来在下一讲。
这是一个很好的源函数的又一个例子。也许我可以说,什么是最好的源函数?这是源函数,很好。指数型甚至更好。常数是最好的。
我想——我想介绍的另一个是delta函数。那就是-,delta函数是一个脉冲,一瞬间发生的事情。这是一个有趣,非常有趣,非常重要的可能性。
好。谢谢。
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