从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
什么时候-通过2减慢的生长,并且使方程的非线性,将溶液接近稳定状态Y(∞)= A / B。
好?现在,终于,一个非线性方程。增长,但it's--通过competition--放慢我的竞争生长被切断。
让我给你看看方程式。在某种程度上,这是我能想到的最简单的非线性方程。我们有通常的dy/dt相等的ay。这将带来指数增长。增长将永远持续下去。但是,当y变大时,如果我们把y看作人口,那么当出生率高于死亡率时,增长是指数的,我们就增长了。我们有——这就是发生的事。
但是,我们的世界人口并没有增长纯指数增长,直到永远。这是一个简单的名词,一个简单的模型不是很准确,但它是正确的开端。对于竞争,当你有太多的人,不知何故乘以y倍的Ÿ给你一个数全部Y人自身的相互作用。而那些interactions--竞争减慢生长,所以系数也为负。
我们要解决的是非线性方程,并从中吸取教训。,这就是所谓的逻辑方程。That's--它必须是一个著名的例子。而且它有一个巧妙的方法,让你轻松解决这个问题。
让我告诉你那招。诀窍是让z--在一个新的z作为带来1 / Y。然后,如果我写的用于Z的方程,它会变成是线性的。所以你看,我总是希望,在这里成功,要回一个简单的线性方程。并且该装置刚好工作这个问题。
我们需要在年底,这将适用于其他的问题,比如可能会有一些常数项有采伐,从不断变化的公式更系统的方式。让我走这一个。
那么什么是用于Z的方程,然后,DZ / dt的。该衍生物的是,这是Y到减1为零下1个y以负2倍DY / dt的,是吗?y的衍生物的减1的DY / dt的减1,y以将减去2倍的衍生物。但现在DY / DT为AY的平方减去。
和我有什么?我有一个,带有负,唉超过ÿ平方。这将通过z。这样的减AZ。减去减去给我a与b。Ÿ平方以上Ÿ平方仅仅是一个常数。
现在看看公式针对z。不能再好了。DZ / dt为负AZ和加上一个常数。我们知道解决这个等式。所以,我可以写下来解决这个方程。我会的。然后,我只取Y中1比该解决方案。也许,我只是写Ÿ直行。我只写答案Y,这是1 / Z。和Z是解决这个方程。 And let me see. So I'm going to have an exponential, but it's going to be-- the exponential e to the minus at is going to show up in z.
他们会更加有。它会在z显示了。然后,当我做1 / Z要回Y,该指数是进入分母。这就是新的。这就是新的。让我把整个事情是正确的。我有一个。否则,这些都是常量这里D及B钮去那里。我只是要告诉你,d是那里。
d将涉及初始值,0ÿ在0时,我们开始的地方,0 Y和我们将开始增长。我们会成长。但随着减缓长期保持我们。并且,在最后,它不能永远,因为这个词变得比一个更大的增长。
如果是开,并继续增大的话,就不会发生。所以,它真的is--它只能增加,而这是积极的,而这仅仅是线下积极。这里的曲线做什么。它去向上,但随后有中场休息也不能越过这条线,因为上面那行,对于大Y--高于行大Y这种负面的词指的斜率为负。
如果我开始与一个大数目,我不得不降下来。但是我能不能绘制的图片?但它确实这里 - 之间的这些线,我在想,世界人口之间。因此,在开始一段时间负无穷归途。而它 - 不管。它走到时间0。这是T等于0,起始群体。而且,当然,T等于0可能是2000年。
因为我们希望我们可以移动时间轴。因此T等于0可能是在2000年我们的人口仍在增长,但它不会永远持续下去。它会慢下来,接近这个极限/ b--接近A / B。
所以这个数字A / B是这个公式完全特殊的。让我想想那部分。我们给一个名字到这条曲线。它通常被称为逻辑曲线。没关系。但我喜欢这个名字的S曲线。这是一个S形曲线。在某些方式 - 或S形曲线。在某种意义上,它看起来有点像一个S,非常伸出S.所以that--,你会看到why--做你 - 只需要like--这里看看。
当t变为无穷大时,它变为0。当t变大时,这个指数就消失了。我只有a或b的极限。当t是负无穷大时,回到起始时间,当t是负无穷大时,这是一个巨大的数字。这是——我除以一个巨大的数字。我在0点。所以在时间减去无穷大的时候,它是从0开始的。
这些两种可能性,y等于0和y等于A / B,是关键的东西看该方程。所以我打算花几分钟的时间,看看那里做那些进来,这些都是稳定状态。让我用这个词,告诉你我是什么意思。
稳定状态,关键点,我方程DY / DT。让我再写出逻辑方程。稳态是y的值,其中所述衍生物是0什么也没有发生。它只是坐在那里。因此,如果这是0--这样一个稳定的state--让我用这些资金Y代表稳定状态。这些只是数字。他们在哪里,这是0,AY数量减去平方为0。
你看,如果我为y开始时,在首都Y,一个稳定的状态,即0的导数为0。我呆在那里。并有两种可能性。如果我start--这给了我两种可能,不是吗?什么是这个方程的解决方案?万博 尤文图斯
这给了我y等于0是一个解决方案清楚。或Y equals--让我们来看看。如果这等于说,我可以取消年。ÿ将是A / B,确切地在两个图片中。如果我从0开始,我留在0无人口。没有什么能发生。但是,如果我动了一下了,如果我两个人,我们的成长。我们成倍增长一段时间,但随后被平方项需要它 - 获得在那里,让我们放慢脚步。
我们慢下来,我们达到这个A / B。如果我们在A / B已经开始,我们会留在A / B。使S曲线的图片确实是该解决方案的一个不错的图形。这里是解决方案在稳定状态下,无处可去。有一个在人口,竞争和合作的稳定状态的解决方案是平衡的,并没有任何反应。
否则,每当我们有曲线美,那么他们不交叉。we're--取决于初始值,其中根据,我们会得到一个超越或其他这些曲线。他们都去到那个承载能力,即限制人口,A / B。
所以,这个等式的最后带回家的消息是,与稳定状态方程的一个例子,这种稳定状态,因为如果我们开始接近y等于0,我们起飞称为不稳定。如果我们开始接近y等于0,我们开始越来越多。我们离开那个稳定状态。因为如果我们是附近的A / B,我们得到越来越接近A / B这种稳定状态被称为稳定。
我来举个例子。这将是一个普遍问题的例子。dy/dt是y的一个函数,它是一个依赖于y的右手边,这将是我们的下一个视频,要理解这些方程,dy/dt是y的f,注意它们不是线性的。
但是,我们可以解决稳定状态。一个稳定的状态将是当f在y为0。然后,没有任何反应。但是,这是稳定状态的稳定吗?或者是不稳定?这是所有应用程序的关键的东西。我们是沉淀下来的东西是否可以接受?或者,我们炸毁的东西是不可能的?这是下一个视频。谢谢。
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