实验装置

磁流变液阻尼器是一种半主动控制装置，用于降低各种动力结构的振动。磁流变液的粘度取决于设备的输入电压/电流，它提供可控的阻尼力。

为了研究这些装置的行为，MR阻尼器一端固定在地面上，另一端连接到产生振动的激振台。设置阻尼器电压为1.25 v，每隔0.005 s采样一次阻尼力f(t)。每0.001 s采样一次位移，然后在0.005 s采样周期内用位移估计速度v(t)。

输入输出数据

包含输入和输出测量值的数据集存储在一个名为mrdamper.mat的MAT文件中。输入v(t)为阻尼器的速度[cm/s]，输出f(t)为阻尼力[N]。MAT文件包含3499个数据样本，对应0.005 s的采样率。该数据将用于本例中执行的所有估计和验证任务。

让我们从装载和检查数据开始。负载(fullfile (matlabroot“工具箱”，“识别”，“iddemos”，“数据”，“mrdamper.mat”））;谁

变量是F Ts V

将加载的变量F(输出力)，V(输入速度)和Ts(采样时间)打包到IDDATA对象中。

z = iddata(F, V, t，“名字”，MR阻尼器的，．..“InputName”，“v”，“OutputName”，“f”，．..“InputUnit”，“cm / s”，“OutputUnit”，“N”）;

评估和验证的数据准备

将这个数据集z分成两个子集，第一个2000个样本用于估计(ze)，其余的用于结果验证(zv)。

泽= z (1:20 00);%估计数据zv z =(2001:结束);%验证数据

让我们把两组数据放在一起，以直观地验证它们的时间范围:

情节(泽,zv)传说(“泽”，“zv”）

模型顺序选择

估计黑盒模型的第一步是选择模型顺序。订单的定义取决于模型的类型。

典型的模型顺序是通过试错来选择的。然而，线性ARX模型的阶数可以使用以下函数自动计算arxstruc和selstruc．由此得到的阶数也提示了非线性模型可能使用的阶数。让我们先试着确定线性ARX模型的最佳顺序。

V = arxstruc(ze,zv,struc(1:5, 1:5,1:5));对于na, nb, nk， % try值在1:5范围内订单= selstruc (V,“另类投资会议”）%根据赤池的信息准则选择订单

1 .单词conduct联想记忆

AIC准则选择Order = [na nb nk] =[2 4 1]，即在选定的ARX模型结构中，阻尼力f(t)由6个回归因子f(t-1)、f(t-2)、v(t-1)、v(t-2)、v(t-3)和v(t-4)预测。

有关模型顺序选择的更多信息，请参见题为“模型结构选择:确定模型顺序和输入延迟”的示例。

初步分析:创建线性模型

建议首先尝试线性模型，因为它们更容易创建。如果线性模型不能提供令人满意的结果，这些结果为探索非线性模型提供了基础。

让我们估计由上述SELSTRUC输出建议的订单的线性ARX和输出误差(OE)模型。

LinMod1 = arx(ze， [2 4 1]);% ARX模型Ay = Bu + eLinMod2 = oe(ze， [4 2 1]);% OE模型y = B/F u + e

同样，我们可以创建一个线性状态空间模型，其顺序(=状态数)将自动确定:

LinMod3 = ss(泽);%创建顺序为3的状态空间模型

现在让我们将这些模型的响应与ze中的实测输出数据进行比较:

比较(ze, LinMod1, LinMod2, LinMod3)%与估计数据比较

一个更好的模型质量测试是通过一个独立的数据集来验证它。因此，我们比较模型响应与数据集zv。

比较(zv, LinMod1, LinMod2, LinMod3)与验证数据的比较

正如所观察到的，这些最好的线性模型对验证数据集的拟合率为51%。

建立非线性ARX模型

线性模型识别表明，ARX模型对验证数据的拟合小于50%。为了取得更好的结果，我们现在探索使用非线性ARX (IDNLARX)模型。该方法还建议对这些数据建立非线性模型建议实用程序，可用于检查数据，以确定使用非线性模型比线性模型的潜在优势。

建议(泽,“非线性”）

数据中有非线性的迹象。一个[4 4 1]阶的非线性ARX模型和idTreePartition函数比对应的同阶ARX模型的输出预测效果更好。考虑使用非线性模型，如IDNLARX或IDNLHW。您也可以使用“isnlarx”命令来测试更多选项的非线性。

非线性ARX模型可以被认为是ARX模型的非线性副本，通过两种方式提供更大的建模灵活性:

为非线性ARX模型创建回归器

当具有连续滞后的线性时，回归器最容易使用顺序矩阵[na nb nk]创建，如上所述。在具有任意滞后的最一般的回归量的情况下，或当回归量是基于变量的绝对值时，使用linearRegressor对象提供了更多的灵活性。如果回归器是时滞变量的多项式，则可以使用polynomialRegressor对象。对于使用任意用户指定公式的回归器，customRegressor对象可以被使用。

我们将探索使用各种模型阶数和使用各种非线性映射函数。没有探索多项式或自定义回归器的使用。有关在IDNLARX模型中指定自定义回归器的方法，请参阅标题为“用非线性和自定义回归器构建非线性ARX模型”的示例。

估计一个默认的非线性ARX模型

首先，我们估计一个[2 4 1]阶的IDNLARX模型和一个s形网络作为非线性类型。我们将使用MaxIterations = 50和Levenberg-Marquardt搜索方法作为下面所有估计的估计选项。

选择= nlarxOptions (“SearchMethod”，“lm”）;Options.SearchOptions.MaxIterations = 50;Narx1 = nlarx(ze， [2 4 1]， idSigmoidNetwork, Options)

 Inputs: v Outputs: f regression: variable f, v Linear regression output function: Sigmoid network with 10 units Sample time: 0.005 seconds Status: using NLARX on time domain data“MR damping”拟合估计数据:95.8%(预测焦点)FPE: 6.648, MSE: 6.08

nlarx是用于估计非线性ARX模型的命令。Narx1是一个非线性ARX模型，具有回归量R:= [f(t-1)， f(t-2)， v(t-1)，…v(第四节)]。非线性是一个Sigmoid网络，它使用一个Sigmoid单位函数和线性加权回归量和来计算输出。映射函数存储在OutputFcn模型的属性。

disp (Narx1.OutputFcn)

Sigmoid Network Input: f(t-1)， f(t-2)， v(t-1)， v(t-2)， v(t-3)， v(t-4) Output: f Nonlinear Function: Sigmoid Network with 10 units Linear Function: initialized to [48.3 -3.38 -3.34 -2.7 -1.38 2.15] Output Offset: initialized to -18.9 Input: '' Output: '' LinearFcn:'<线性函数参数>'非线性fcn: ''偏移:'<偏移参数>'

通过比较模拟输出与估计和验证的数据集ze和zv来检验模型质量:

比较(泽Narx1);%与估计数据比较

比较(zv Narx1);与验证数据的比较

尝试各种模型订单

与相同阶的线性模型相比，我们看到了更好的拟合。接下来，我们可以尝试SELSTRUC建议的附近的其他订单。

问= idSigmoidNetwork;Narx2{1} = nlarx(ze， [3 4 1]， NL, Options);%使用na = 3, nb = 4, nk = 1。Narx2{1}。Name =“Narx2_1”；Narx2{2} = nlarx(ze， [2 5 1]， NL, Options);Narx2{2}。Name =“Narx2_2”；Narx2{3} = nlarx(ze， [3 5 1]， NL, Options);Narx2{3}。Name =“Narx2_3”；Narx2{4} = nlarx(ze， [1 4 1]， NL, Options);Narx2{4}。Name =“Narx2_4”；Narx2{5} = nlarx(ze， [2 3 1]， NL, Options);Narx2{5}。Name =“Narx2_5”；Narx2{6} = nlarx(ze， [1 3 1]， NL, Options);Narx2{6}。Name =“Narx2_6”；

评估这些模型在估计和验证数据集上的性能:

比较(泽、Narx1 Narx2 {:});%与估计数据比较

比较(zv、Narx1 Narx2 {:});与验证数据的比较

Narx2{6}模型似乎对估计数据集和验证数据集都提供了良好的拟合，但其阶数小于Narx1。基于此观察，我们将[1 3 1]作为后续试验的顺序，保留Nlarx2{6}进行拟合比较。这个顺序的选择对应于使用[f(t-1)， v(t-1)， v(t-2)， v(t-3)]作为回归器集合。

指定Sigmoid网络函数的单位数

接下来，让我们探讨Sigmoid Network函数的结构。这个估计量最相关的性质是它使用的s形单位数。创建一个使用12个s型单位的。

Sig = idSigmoidNetwork (12);%创建一个使用12个单元的网络Narx3 = nlarx(ze， [1 3 1]， Sig, Options);

在估计和验证数据集上，我们将该模型与Narx1和Narx2{6}进行比较:

比较(ze, Narx3, Narx1, Narx2{6});%与估计数据比较

比较(zv, Narx3, Narx1, Narx2{6});与验证数据的比较

新型号Narx3并不比Narx2{6}更适合。因此，我们在随后的试验中保留了10个单元。

非线性映射函数回归子集的选择

一般情况下，非线性函数(s形网络)使用所选阶(此处为[1 3 1])定义的所有回归器。如果回归器的数量很大，这可能会增加模型的复杂性。可以在不修改模型顺序的情况下，选择一个回归器子集供s形网络的组成部分使用。这可以通过称为“RegressorUsage”的属性来实现。它的值是一个表，该表指定哪些组件使用哪些回归器。例如，我们可以只使用由输入变量所贡献的回归量，这些变量将由s型函数的非线性分量所使用。这可以通过以下方式实现:

Sig = idSigmoidNetwork (10);NarxInit = idnlarx(泽。OutputName,泽。InputName， [1 3 1]， Sig);NarxInit.RegressorUsage。(“f: NonlinearFcn”) (1) = false;disp(NarxInit. regressorusage) Narx4 = nlarx(ze, NarxInit, Options);

f: LinearFcn f: NonlinearFcn  ___________ ______________ f (t - 1)真的假的v (t - 1)真的真的v(2)真的真的v(条t - 3)真的真的

这导致回归量v(t-1)， v(t-2)和v(t-3)被s型单位函数使用。没有使用基于回归器的输出变量f(t-1)。注意，idSigmoidNetwork函数还包含一个由所有回归量的加权和表示的线性项。线性项使用完整的回归器集。

创建另一个模型，使用回归器{y1(t-1)， u1(t-2)， u1(t-3)}作为其非线性成分。

使用= false (4,1);使用([1 3 4])= true;NarxInit。RegressorUsage{: 2} =使用;Narx5 = nlarx(ze, NarxInit, Options);

Narx5模型似乎在估计和验证数据集上都表现得很好。

比较(泽Narx5);%与估计数据比较

比较(zv Narx5);与验证数据的比较

尝试各种非线性映射函数

到目前为止，我们已经探索了各种模型的阶数，在Sigmoid网络函数中使用的单元数，以及由Sigmoid网络的非线性分量使用的回归子子集的规格。接下来，我们尝试使用其他类型的非线性函数。

使用具有默认属性的小波网络函数。像s形网络一样，小波网络通过线性分量和非线性分量的和将回归器映射到输出;非线性分量使用小波和。

NarxInit = idnlarx(泽。OutputName,泽。InputName， [1 3 1]， idWaveletNetwork);%只对网络的非线性分量使用回归器1和3NarxInit.RegressorUsage。(“f: NonlinearFcn”)([2 4]) = false;Narx6 = nlarx(ze, NarxInit, Options);

使用20个单位的树划分非线性函数:

TreeNet = idTreePartition;TreeNet.NonlinearFcn.NumberOfUnits = 20;NarxInit。OutputFcn= TreeNet; Narx7 = nlarx(ze, NarxInit, Options);

将结果与Narx3和Narx5进行比较

比较(ze, Narx3, Narx5, Narx6, Narx7)%与估计数据比较

比较(zv, Narx3, Narx5, Narx6, Narx7)与验证数据的比较

Narx6和Narx7模型的表现似乎比Narx5差，尽管我们还没有探索与它们的估计相关的所有选项(如非线性回归量的选择、单位数量和其他模型阶数)。

分析估计的IDNLARX模型

方法识别和验证模型之后比较命令，我们可以暂时选择一个提供最好的结果，而不会增加太多额外的复杂性。然后，可以使用如下命令对所选模型进行进一步分析情节和渣油．

为了深入了解模型的非线性性质，检查估计模型F(t) = F(F(t-1)， F(t-2)， v(t-1)，…，v(t-4)中非线性函数F()的截面。例如，在模型Narx5中，函数F()是一个s形网络。要探索作为回归器函数的F()输出的形状，请在模型上使用PLOT命令:

情节(Narx5)

绘图窗口提供了选择横截面回归器及其范围的工具。有关更多信息，请参见“帮助idnlarx/plot”。

残差检验可用于进一步检验模型。这个测试揭示了预测误差是否为白色，是否与输入数据不相关。

集(gcf,“DefaultAxesTitleFontSizeMultiplier”，1，．..“DefaultAxesTitleFontWeight”，“正常”，．..“位置”，[100 100 780 520]);渣油(zv Narx3 Narx5)

残余测试的失败可能指向模型没有捕捉到的动态。对于Narx3模型，残差似乎大多在99%置信范围内。

创建Hammerstein-Wiener模型

先前估计的非线性模型均为非线性ARX (IDNLARX)型。现在让我们试试Hammerstein-Wiener (IDNLHW)模型。这些模型表示静态非线性元素与线性模型的串联。我们可以把它们看作是线性输出误差(OE)模型的扩展，其中我们将线性模型的输入和输出信号施加于静态非线性，如饱和或死区。

估计一个与线性OE模型相同阶的IDNLHW模型

线性OE模型LinMod2采用nb = 4, nf = 2和nk = 1阶估计。让我们用同样的阶数来估计IDNLHW模型。对于输入非线性和输出非线性，我们将使用s形网络作为非线性。估计是容易的nlhw命令。它类似于oe用于线性OE模型估计的命令。然而，除了模型顺序之外，我们还必须指定I/O非线性的名称或对象。

选择= nlhwOptions (“SearchMethod”，“lm”）;多人= idSigmoidNetwork;YNL = idSigmoidNetwork;Nhw1 = nlhw(ze， [4 2 1]， UNL, YNL, Opt)

Nhw1 = Hammerstein-Wiener模型1输出和输入的线性传递函数对应订单nb = 4, nf = 2, nk = 1输入非线性:乙状结肠网络10单元输出非线性:乙状结肠网络10单元样品时间:0.005秒状态:估计使用NLHW时域数据“MR阻尼器”。拟合估计数据:83.72% FPE: 97.72, MSE: 91.2

将该模型的响应与估计和验证数据集进行比较:

clf比较(泽Nhw1);%与估计数据比较

比较(zv Nhw1);与验证数据的比较

我们观察到约70%的数据符合Nhw1模型的验证数据。

分析估计的IDNLHW模型

对于非线性ARX模型，可以使用PLOT命令检查Hammerstein-Wiener模型的I/O非线性性质和线性组件的行为。要了解更多信息，请在MATLAB命令窗口中输入“help idnlhw/plot”。

情节(Nhw1)

默认情况下，输入非线性被绘制出来，表明它可能是一个简单的饱和函数。

通过单击Y_NL图标，输出非线性看起来像一个分段线性函数。

点击Linear Block图标，在下拉菜单中选择pole - zero Map，可以看到一个zero和一个pole非常接近，表示它们可以被移除，从而减少了模型的订单。

我们将使用这些信息来配置模型的结构，如下所示。

尝试各种非线性函数和模型阶数

输入非线性使用饱和，输出非线性使用s形网络，保持线性分量的阶数不变:

Nhw2 = nlhw(ze， [4 2 1]， idSaturation, idSigmoidNetwork, Opt);

输出采用分段线性非线性，输入采用s形网络:

Nhw3 = nlhw(ze， [4 2 1]， idSigmoidNetwork, idpiecewislinear, Opt);

使用低阶线性模型:

Nhw4 = nlhw(ze， [3 1 1]， idSigmoidNetwork, idpiecewislinear, Opt);

我们也可以选择“去除”输入、输出或两者的非线性。例如，为了只使用输入非线性(这种模型称为Hammerstein模型)，我们可以指定[]为输出非线性:

Nhw5 = nlhw(ze， [3 1 1]，idSigmoidNetwork， []， Opt);

比较所有的模型

比较(ze, Nhw1, Nhw2, Nhw3, Nhw4, Nhw5)%与估计数据比较

比较(zv, Nhw1, Nhw2, Nhw3, Nhw4, Nhw5)与验证数据的比较

通过与验证数据的比较，Nhw1仍然是所有模型中最好的，但其他模型，除了Nhw5，具有相似的性能。

结论

我们探索了描述电压输入与阻尼力输出之间关系的各种非线性模型。结果表明，在非线性ARX模型中，Narx2{6}和Narx5表现最好，而Hammerstein-Wiener模型中Nhw1表现最好。我们还发现非线性ARX模型为描述磁流变阻尼器的动力学特性提供了最佳选择(最佳拟合)。

Narx5。Name =“Narx5”；Nhw1。Name =“Nhw1”；比较(zv, LinMod2, Narx2{6}， Narx5, Nhw1)

我们发现，每种模型类型都有多种选择，可以对结果的质量进行微调。对于非线性ARX模型，我们不仅可以指定模型的阶数和非线性函数的类型，还可以配置如何使用回归器和调整所选函数的性质。对于Hammerstein-Wiener模型，我们可以选择输入输出非线性函数的类型，以及线性分量的阶数。对于这两种模型类型，我们有许多可供选择的非线性函数可供我们尝试和使用。在缺乏对模型结构或基本动态知识的特殊偏好的情况下，建议尝试各种选择，并分析它们对结果模型质量的影响。